非共振耗散腔耦合系統(tǒng)的發(fā)射光譜

張 楊，呂樹臣

(哈爾濱師范大學(xué) 光電帶隙材料教育部重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150025)

1 引 言

腔量子電動力學(xué)(Cavity quantum electrodynamics)主要研究受限空間中的電磁場與物質(zhì)(主要有原子、離子以及量子點等)間相互作用的動力學(xué)過程[1]，并且為研究各種量子現(xiàn)象提供了一種自然的環(huán)境[2]。在腔量子電動力學(xué)中，腔內(nèi)的原子系統(tǒng)可以作為存儲量子位，而光子可以在整個系統(tǒng)中分布信息[2]。因此，腔量子電動力學(xué)的研究對于量子通信[3]、量子信息處理[4]、量子計算[5]、量子糾纏[6]等領(lǐng)域有重要意義。在研究單個理想二能級原子與單模腔場相互作用的Jaynes-Cummings(簡稱J-C)模型[7]建立以后，人們對原子和腔場相互作用過程的本質(zhì)進行了很多研究，并且發(fā)現(xiàn)許多量子現(xiàn)象，如輻射光場的壓縮效應(yīng)[8]、光場的真空拉比分裂[9]、輻射光譜的坍縮和復(fù)起[10]、J-C模型中的非線性[11]、光子的反群聚和亞泊松分布[12]等。隨著研究的深入，模型推廣到了兩個二能級原子與單模腔場相互作用的Tavis-Cummings(簡稱T-C)模型[13]。

由于腔場譜和原子發(fā)射譜是獲取原子和腔場相互作用信息的重要手段[14]，并被實驗所證實[15-16]。因此，發(fā)射光譜的研究一直備受重視，人們研究了單個二能級原子與高品質(zhì)因子單模腔場相互作用的發(fā)射光譜[17]、單個二能級原子與單模腔場雙光子發(fā)射光譜[18]、兩個二能級原子與單模腔場在強耦合機制下相互作用的透射譜[19]以及兩個二能級原子與單模光場在偶極子相互作用影響下的發(fā)射光譜[20]。近年來，雙原子與雙單模腔耦合系統(tǒng)模型也受到了人們的廣泛關(guān)注，Zhang 等[21]討論了雙原子與雙單模腔系統(tǒng)的量子態(tài)轉(zhuǎn)移，Wang等[22]研究了驅(qū)動情況下雙原子與雙單模腔的光子分布，F(xiàn)erretti等[23]研究了雙原子與雙單模腔在相干驅(qū)動和耗散下的光子相關(guān)性。

隨著實驗技術(shù)的發(fā)展，實驗上能夠?qū)崿F(xiàn)量子點與半導(dǎo)體腔的耦合[24]，也能實現(xiàn)量子點與光子晶體腔的耦合[25]，實驗上能觀測到量子點與腔耦合的Mollow三重峰[26-27]，并對解釋中峰的出現(xiàn)產(chǎn)生了極大的興趣，然而，目前關(guān)于中峰出現(xiàn)的解釋說法不一[28]。本文目的之一就是根據(jù)我們的研究結(jié)果對中峰的出現(xiàn)給出解釋。

到目前為止，有關(guān)雙原子與雙單模腔場相互作用系統(tǒng)發(fā)射光譜的相關(guān)報道很少。因此，本文將研究雙原子與雙單模腔場相互作用系統(tǒng)的發(fā)射光譜，著重討論腔場與原子失諧、原子與腔場失諧、腔場衰減率以及原子的失相對發(fā)射光譜的影響。

2 腔耦合系統(tǒng)模型

本文在以往模型研究的基礎(chǔ)上，即兩個單模腔彼此相互耦合，每一個腔中都有一個二能級原子(或量子點)[29-30]，考慮了腔1由于光子滲漏造成的腔場衰減，腔2受到非相干泵浦及兩個原子的失相，研究模型如圖1所示。每個腔中原子與該腔場在偶極作用近似下，其耦合強度為Ωi(i=1,2)，兩個單模腔場間通過偶極-偶極相互作用，其光子隧穿強度為J。這里不考慮兩個原子間的相互作用，以及原子與相鄰腔場間的相互作用。

圖1 二能級雙原子與雙單模腔耦合系統(tǒng)模型

Fig.1 Two double-level atoms coupled with two single-mode cavity system

該體系的Hamiltonian在旋波近似(RWA)和電偶極近似下可表示為(?=1)：

H=H0+H1,

(1)

其中

(2)

(3)

考慮到腔衰減、純失相、非相干泵浦等因素的影響，這種耦合原子-腔系統(tǒng)的演化在玻恩-馬爾可夫近似下可以用量子耗散主方程來描述，此時耦合體系的量子主方程可寫為[28]：

(4)

其中，κ1為腔場1的衰減率，κ2為腔場2的非相干泵浦率，γ*為原子的失相。

對本文考慮的模型，第二個腔引進非相干泵浦，通過兩個腔的耦合，使得這個非相干泵浦去平衡第一個腔的衰減，從而使整個系統(tǒng)能建立起一種穩(wěn)態(tài)，這樣系統(tǒng)的初始條件不需要人為設(shè)定。由公式(4)，利用單光子關(guān)聯(lián)近似[31]〈σza〉=-〈a〉及Bose統(tǒng)計，我們得到如下方程組：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

令方程組(5)～(14)的時間導(dǎo)數(shù)為零，可得到平均值的穩(wěn)態(tài)解，如

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

根據(jù)Wiener-Khintchine定理，該系統(tǒng)的發(fā)射光譜可按下式計算：

(21)

(22)

3 耦合系統(tǒng)的發(fā)射光譜

下面分別討論腔場與原子失諧Δca=ωc-ωa、原子與腔場失諧Δac=ωa-ωc、腔場衰減率κ1以及原子失相γ*對該體系發(fā)射光譜的影響，并將原子發(fā)射譜和腔場譜進行了對比分析。取定腔場的固有頻率ω0=1014Hz，原子的躍遷頻率和腔場的躍遷頻率均與固有頻率有相同的數(shù)量級。腔場的衰減率、腔場的非相干泵浦率、失相分別為κ1=κ2=γ*≈109Hz。原子和腔場間耦合強度、兩腔場間耦合強度分別取為Ω1=Ω2=J≈1010Hz。在本文研究過程中取定ωci/Ω1=ωai/Ω1=10 000(i=1,2),J/Ω1=1.8,Ω1/Ω1=1，κ1/Ω1=0.5,κ2/Ω1=0.1,以及γ*/Ω1=0.1。

3.1 腔場與原子失諧影響下的譜結(jié)構(gòu)

圖2給出了耦合系統(tǒng)的腔場譜及原子發(fā)射光譜隨腔場與原子失諧Δca/Ω1=(ωc1-ωa1)/Ω1的變化關(guān)系。保持其他參量不變，只改變ωc1，使Δca/Ω1=-2,-1,0,1,2。結(jié)果表明：腔場譜譜線有3個發(fā)射峰，如圖2(a)所示，原子發(fā)射譜譜線有兩個發(fā)射峰，如圖2(b)所示。從圖2(a)可以看出腔場譜當(dāng)且僅當(dāng)Δca=0，即共振時，譜線表現(xiàn)為對稱性，而其余失諧情況均為非對稱峰，并且隨著失諧的增大，兩邊峰向低頻段漂移，中峰的位置固定不變(位于ω=ω0處)。

共振情況下，不僅腔場譜的譜線對稱，原子發(fā)射譜的譜線也對稱，且腔場譜的峰位比原子發(fā)射譜的峰位偏移中心位置更多一些。失諧情況下，腔場譜和原子發(fā)射譜位于高頻段峰位差變小，位于低頻段腔場譜和原子發(fā)射譜峰位差變大。

在腔場譜中，如圖2(a)所示,位于高頻段邊峰的光譜強度隨著腔場與原子正失諧的增大而增大；隨著腔場與原子負(fù)失諧的增大而逐漸減小；位于低頻段的邊峰光譜強度的變化剛好相反，而失諧的變化對中間峰位的光譜強度幾乎無影響。在原子發(fā)射譜中，如圖2(b)所示，位于高頻段的發(fā)射強度隨著腔場與原子失諧的增大在逐漸增大；位于低頻段的發(fā)射強度隨著腔場與原子失諧的增大而逐漸減小。對于同一失諧影響下的兩個邊峰，光譜強度變化規(guī)律相似，即其中任一邊峰在腔場譜中光譜強度大(小)，在原子發(fā)射譜中的光譜強度也大(小)。

圖2 腔場與原子失諧影響下，(a)腔場譜的變化關(guān)系；(b)原子發(fā)射譜的變化關(guān)系；(c)兩腔場間耦合強度為零時腔場譜的變化關(guān)系。

Fig.2 Under the influence of the detuning between the cavity field and atom: (a) change of cavity field spectra; (b) change of atomic emission spectra; (c) change of cavity field spectrum when the coupling strength between two cavity fields is zero.

在討論單腔模與二能級單原子耦合系統(tǒng)中，無論在理論還是實驗上，都發(fā)現(xiàn)了Mollow三重峰的存在[27,32]。一個令人特別感興趣且迷惑的現(xiàn)象是解釋中峰的出現(xiàn)，在以往的報道中，Mollow三重峰的出現(xiàn)要么與外加泵浦場相關(guān)[27]，要么與聲子耦合相關(guān)[33-34]。從我們的研究結(jié)果可以得出這樣的結(jié)論：只要單腔模與二能級單原子耦合系統(tǒng)受到外界相干場的作用，理論上就應(yīng)出現(xiàn)Mollow三重峰，例如在本文所研究的系統(tǒng)中，由于腔間耦合的存在(J≠0)，由方程(19)和(21)不難看出腔1發(fā)射譜Mollow三重峰必然存在(當(dāng)然不排除有兩個峰重疊的情況)。

3.2 原子與腔場失諧影響下的譜結(jié)構(gòu)

圖3闡述了耦合系統(tǒng)的腔場譜及原子發(fā)射光譜隨原子與腔場失諧Δac/Ω1=(ωa1-ωc1)Ω1的變化關(guān)系。在保持其他參量不變的情況下，只改變ωa1，使Δac/Ω1=-2,-1,0,1,2。由圖3(a)不難發(fā)現(xiàn)，在失諧的情況下，隨著Δac的增加，腔場譜中峰的強度明顯增大，且中峰峰位明顯偏離ω=ω0的位置，從高頻向低頻移動。特別是，中峰的強度關(guān)于Δac=0呈對稱性增長。

在腔場譜中，如圖3(a)所示，高頻段的光譜強度隨著原子與腔場正失諧的增大而增大；隨著原子與腔場負(fù)失諧的增大而逐漸減??；低頻段的邊峰光譜強度的變化剛好相反。對原子發(fā)射譜而言，如圖3(b)所示，位于高頻段的光譜強度隨著Δac的增大而減小；位于低頻段的光譜強度隨著Δac的增大而增大。圖2(b)和圖3(b)均表明當(dāng)原子與腔場負(fù)失諧時，低頻側(cè)發(fā)射譜強度弱于高頻側(cè)發(fā)射譜強度，當(dāng)原子與腔場正失諧時，低頻側(cè)發(fā)射譜強度大于高頻側(cè)發(fā)射譜強度。

圖3 原子與腔場失諧影響下，(a)腔場譜的變化關(guān)系；(b)原子發(fā)射譜的變化關(guān)系。

Fig.3 Under the influence of the detuning between the atom and the cavity field: (a) change of cavity field spectra; (b) change of atomic emission spectra.

3.3 腔場衰減率影響下的譜結(jié)構(gòu)

圖4為共振情況時，耦合系統(tǒng)的腔場譜及原子發(fā)射光譜隨腔場衰減率κ1的變化關(guān)系。保持其他參量不變，κ1/Ω1=0.5，0.6，0.7，0.8。從圖4(a)可以看出，隨著腔場衰減率的增大，腔場譜3個峰的峰位均無變化，兩個邊峰的強度均逐漸降低，且降低的幅度也在逐漸減小，兩邊峰譜線的線寬變得寬化。對應(yīng)于同一腔場衰減率，腔場譜兩邊峰的強度相同，如圖4(a)所示。

對于原子發(fā)射譜來說，隨著腔場衰減率的增加，兩個峰的強度也在減小，兩個峰的峰位均有向內(nèi)微弱的移動，譜線的線寬均向內(nèi)寬化；對應(yīng)于同一腔場衰減率，原子發(fā)射譜兩邊峰的強度也是相同的，如圖4(b)所示。 在本文所研究的模型中，雖然我們未考慮原子的自發(fā)輻射(即原子發(fā)射的衰減率)對原子發(fā)射譜帶來的影響，但從方程(20)可以推斷腔場衰減率通過腔場與原子的耦合作用，間接影響到原子發(fā)射譜的發(fā)射強度，這一推斷為圖4(b)所證實。

圖4 共振時，腔場衰減率影響下，(a)腔場譜的變化關(guān)系；(b)原子發(fā)射譜的變化關(guān)系。

Fig.4 Under the influence of cavity decay rate in the case of resonance: (a) change of cavity field spectra; (b) change of atomic emission spectra.

圖5為失諧情況時，耦合系統(tǒng)的腔場譜及原子發(fā)射光譜隨腔場衰減率κ1的變化關(guān)系。保持其他參量不變的情況下，取定ωa1/Ω1=9 998，κ1/Ω1=0.5，0.6，0.7，0.8。從圖5(a)可以看出，對于腔場譜來說，失諧時，對應(yīng)于同一腔場衰減率，中峰光譜強度最大，低頻段邊峰的光譜強度大于高頻段邊峰的光譜強度。隨著腔場衰減率的增大，3個峰的強度均逐漸降低，且降低的幅度均逐漸減小，中峰衰減的幅度最大，其次是低頻段邊峰，最后是高頻段邊峰；中峰和低頻段邊峰的峰位均無明顯變化，而高頻段邊峰向低頻側(cè)有微弱的移動。此外，3個峰譜線的線寬變得寬化，如圖5(a)所示。

對于原子發(fā)射譜來說，失諧時，對應(yīng)于同一腔場衰減率，高頻段邊峰的光譜強度大于低頻段邊峰的光譜強度。隨著腔場衰減率的增加，兩個峰的強度均在減少，高頻段邊峰衰減的幅度大于低頻段邊峰衰減的幅度；兩個峰的峰位無明顯變化，譜線的線寬變得寬化，如圖5(b)所示。隨著κ1的增大，對于腔場譜來說衰減的幅度大于原子發(fā)射譜，說明作用在腔場上的衰減率對腔場譜的影響更大一些，這是因為腔場的衰減率通過原子和腔場耦合間接地影響原子發(fā)射譜。

圖5 失諧時，腔場衰減率影響下，(a)腔場譜的變化關(guān)系；(b)原子發(fā)射譜的變化關(guān)系。

Fig.5 Under the influence of cavity decay rate in the case of detuning: (a) change of cavity field spectrua; (b) change of atomic emission spectra.

3.4 原子失相影響下的譜結(jié)構(gòu)

圖6為共振情況時，耦合系統(tǒng)的腔場譜及原子發(fā)射光譜隨原子的失相γ*的變化關(guān)系。保持其他參量不變，γ*/Ω1=0.1，0.2，0.3,0.4。隨著γ*的增大，邊峰均逐漸降低，而且降低的幅度逐漸減小，對于腔場譜來說衰減的幅度小于原子發(fā)射譜，說明作用在原子上的失相對原子發(fā)射譜的影響更大一些，這是因為原子的失相通過原子和腔場耦合間接地影響腔場譜。對應(yīng)于同一失相下，腔場譜中邊峰的強度相同，原子發(fā)射譜兩個峰的強度也相同。

在腔場譜中，如圖6(a)所示，隨著失相的增大中峰的強度逐漸減小，但減小的幅度非常小。隨著失相的增加，譜線的線寬向內(nèi)寬化。在原子發(fā)射譜中，如圖6(b)所示，隨著失相的增大，兩個峰的位置均有向外微弱的移動，譜線線寬均向外寬化。原子的失相導(dǎo)致發(fā)射光譜強度降低和譜線寬化，這與文獻(xiàn)[35]考慮失相的單模腔與單原子耦合系統(tǒng)得到的結(jié)論是一致的。

圖6 共振時，原子失相影響下，(a)腔場譜的變化關(guān)系；(b)原子發(fā)射譜的變化關(guān)系。

Fig.6 Under the influence of atom dephasing in the case of resonance: (a) change of cavity field spectra; (b) change of atomic emission spectra.

圖7為失諧情況時，耦合系統(tǒng)的腔場譜及原子發(fā)射光譜隨原子的失相γ*的變化關(guān)系。保持其他參量不變的情況下，取定ωa1/Ω1=9 998，γ*/Ω1=0.1，0.2，0.3,0.4。從圖7(a)可以看出，對于腔場譜來說，失諧時，對應(yīng)于同一原子失相，中峰的光譜強度最大，低頻段邊峰的光譜強度大于高頻段邊峰的光譜強度。隨著腔場衰減率的增大，3個峰的強度均逐漸降低，且降低的幅度均逐漸減小，中峰衰減的幅度最大，其次是低頻段邊峰，最后是高頻段邊峰；3個峰的峰位均無明顯變化。此外，3個峰譜線的線寬變得寬化。

對于原子發(fā)射譜來說，失諧時，對應(yīng)于同一腔場衰減率，高頻段邊峰的光譜強度大于低頻段邊峰的光譜強度。隨著腔場衰減率的增加，高頻段邊峰衰減的幅度明顯；而兩個峰的峰位無明顯變化，譜線的線寬變得寬化，如圖7(b)所示。隨著γ*的增大，對于腔場譜來說衰減的幅度小于原子發(fā)射譜，說明作用在原子上的失相對原子發(fā)射譜的影響更大一些，對腔場譜的影響小一些，這是因為原子的失相通過原子和腔場耦合間接地影響腔場譜。

圖7 失諧時，原子失相影響下，(a)腔場譜的變化關(guān)系；(b)原子發(fā)射譜的變化關(guān)系。

Fig.7 Under the influence of atom dephasing in the case of detuning: (a) change of cavity field spectra; (b) change of atomic emission spectra.

4 結(jié) 論

本文研究了二能級雙原子與雙單模腔耦合系統(tǒng)的發(fā)射光譜。我們發(fā)現(xiàn)腔場與原子失諧和原子與腔場失諧對發(fā)射譜有著不同的影響，腔場與原子失諧的增大可使邊峰向低頻段漂移，并改變其光譜強度；原子與腔場失諧的增大可使光譜整體向低頻段漂移，并改變其光譜強度。隨著腔場衰減率的增大或失相的增大，耦合系統(tǒng)邊峰的強度減小，并且寬化。本文的研究結(jié)果可以例證：單腔模與二能級單原子耦合系統(tǒng)受到外界相干場的作用，理論上就應(yīng)出現(xiàn)Mollow三重峰。