數(shù)學建模案例

黃文婧

摘 要：近年來，糖尿病發(fā)病率呈逐年上升的趨勢，影響糖尿病的因素有很多，例如睡眠不足、飲食不合理等等，這些都與我們的生活習慣息息相關。本文以數(shù)學建模賽題為例糖尿病發(fā)病率問題進行分析。針對問題一，首先，根據(jù)糖尿病診斷的相關資料本文將空腹血糖濃度分為三個階段，以此為標準來判斷發(fā)病率大小。其次，從性別、年齡和總體情況三個方面來比較兩家單位的發(fā)病率。年齡方面，通過相關分析比較兩家單位患病率與年齡之間的相關性，得到設計研究院中的年齡與發(fā)病概率的相關系數(shù)大于網(wǎng)絡公司。并且兩家單位的患病率都隨著年齡的增長而增長。性別方面，通過獨立樣本非參數(shù)檢驗來判斷，得到不同單位的性別相同的員工患病情況不存在顯著性差異，且網(wǎng)絡公司男女患病率之間的差異要略大于設計研究院。總體上，直接比較兩單位的平均患病率，設計研究院的糖尿病發(fā)病率為12.76%，要高于網(wǎng)絡公司的發(fā)病率11.64%。針對問題二，題目要求分析不同的工作、生活行為方式對糖尿病患病率產(chǎn)生的影響。因為樣本數(shù)據(jù)量過少，所以采用建立灰色模型的方法對影響因素進行分析。首先，計算出每種情況的人數(shù)占總體的概率，其次，通過灰色生成中的均值生成對樣本數(shù)據(jù)進行擴充，并利用灰色關聯(lián)分析求出各種情況與患病率的關聯(lián)度。結(jié)果表明，不加班和自帶飯與患病率關聯(lián)度最大，關聯(lián)度分別為0.4593和0.4478，且兩種因素與患病率都呈負相關，即經(jīng)常加班和吃盒飯容易誘發(fā)糖尿病?？傮w上，加班情況和用餐情況與患病率的相關度分別為0.4634及0.4145，也就是說加班情況對糖尿病患病率的影響比用餐情況更大。

關鍵詞：相關分析;獨立樣本非參數(shù)檢驗;均值生成;灰色關聯(lián)分析

中圖分類號：R184 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2019）06-0190-04

1 問題重述

糖尿病是一種常見的內(nèi)分泌代謝疾病，其發(fā)病率呈逐年上升的趨勢。本文計劃通過研究不同年齡、不同職業(yè)人群中糖尿病患病情況，分析各種工作、生活行為方式對糖尿病患病率的影響，對糖尿病防治提供參考。附件中給出了某設計研究院和網(wǎng)絡公司體檢數(shù)據(jù)，以及對兩家單位員工訪談的數(shù)據(jù)。問題一：請根據(jù)上述附件的數(shù)據(jù)資料比較兩家單位糖尿病發(fā)病率，提出本文的結(jié)論;問題二：在前一問基礎上分析不同的工作、生活行為方式可能對糖尿病患病率產(chǎn)生的影響。

2 問題假設

（1）假設糖尿病診斷結(jié)果由空腹血糖濃度決定;（2）假設附錄中血糖數(shù)據(jù)可以反映樣本的真實血糖狀況，即樣本空腹血糖濃度高于7.0mmol/L情況下一定患糖尿病，空腹血糖值低于6.1mmol/L一定不患病;（3）假設在空腹血糖受損階段（6.1mmol/L-7mmol/L），血糖越高發(fā)病率越大，且概率服從均勻分布;（4）假設抽取的訪談人數(shù)能反應兩家單位的基本情況。

3 符號說明

符號說明表1所示[1-2]。

4 模型的建立

4.1 問題一模型的建立和求解

4.1.1 衡量發(fā)病率

通過查閱有關糖尿病診斷的資料得知[3]，血糖濃度高于7mmol/L即診斷為患糖尿病，發(fā)病率視為1，血糖濃度低于6.1mmol/L為正?；蛘叩脱菭顩r，發(fā)病率視為0。血糖濃度介于7mmol/L和6.1mmol/L之間為空腹血糖受損階段，也是從正常到糖尿病的一個過渡階段，有可能發(fā)展成為糖尿病，發(fā)病概率可以視作幾何概型，空腹血糖受損階段發(fā)病率表達式如下：

（1）

由此我們可以得到每一個樣本較為準確的發(fā)病率。

4.1.2 年齡因素比較

由于直接觀察圖一無法得出患病率和年齡的關系，也難以比較兩家單位的患病率。所以將年齡按每五歲為一區(qū)間分成8類[4-5]。求出每一區(qū)間的患病率平均值，如圖1所示。

在年齡這一因素下比較兩家單位患病率。兩家單位的不同點在于：由圖1可見，在中年階段設計院平均患病率要高于網(wǎng)絡公司，在青年和老年階段網(wǎng)絡公司的平均患病率高于設計研究院。兩家單位的相同點在于，患病率都隨著年齡的增長而增長，由圖1中的趨勢線可以判斷。

比較兩家單位年齡與發(fā)病率的相關程度，通過相關分析中的雙變量相關來分析，將數(shù)據(jù)導入SPSS，得到表2、 表3的數(shù)據(jù)[6-7]。

由表2、表3可以得到設計研究院中的年齡與發(fā)病概率的Pearson相關系數(shù)為0.091，而網(wǎng)絡公司年齡與發(fā)病率的Pearson相關系數(shù)為0.046，這兩個相關系數(shù)都是小于0.3的，所以可以得知兩家單位的年齡與發(fā)病率相關性較小。又由于設計研究院的年齡與發(fā)病率的Pearson相關系數(shù)大于網(wǎng)絡公司，所以得到設計研究院的年齡與發(fā)病率的相關性要略大于網(wǎng)絡公司年齡與發(fā)病率的相關性。

4.1.3 性別因素比較

分別求出設計研究院和網(wǎng)絡公司的男女患病率進行比較，結(jié)果如表4所示。

由表4可見，在設計研究院中女性的患病率比男性高;在網(wǎng)絡公司中男性患病率比女性高。

在比較兩家單位的發(fā)病率的過程中，對兩家單位男女的患病率進行頻率估計，得到兩家單位患病率的頻率分布直方圖如圖2-3所示。

通過觀測圖發(fā)現(xiàn)兩家單位的患病率數(shù)據(jù)明顯不服從正態(tài)分布，并且無法通過變量變換將發(fā)病率的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為近似正態(tài)分布。為了達到分析兩家單位男女患病率是否存在顯著性差異的目的，本文通過獨立樣本非參數(shù)檢驗中的檢驗來判斷：單位內(nèi)部男女患病率是否存在顯著性差異，以及不同單位的同一性別樣本是否存在顯著性差異[8]。

首先計算網(wǎng)絡公司男女員工患病率是否存在顯著性差異，將男性記為1，女性記為2，根據(jù)之前求出的男女患病率，代入中進行計算，得出含有檢驗統(tǒng)計量和概率值的表5所示。同理得到表6所示。

通過分析表5可以得到，檢驗統(tǒng)計量為0.349，概率值為1.000，因為顯著性水平，即檢驗統(tǒng)計量取值為0.349時，原假設成立的概率為1.000，所以接受原假設，即網(wǎng)絡公司的男女的患病率不存在顯著性差異。通過分析表6可以得到，檢驗統(tǒng)計量為0.562，概率值為0.910，同理可得設計研究院男女的患病率不存在顯著性差異。但是通過比較漸進顯著性可以得到，網(wǎng)絡公司男女患病率之間的差異要略大于設計研究院。

其次分別計算設計研究院和網(wǎng)絡公司中男性和女性患病率是否存在顯著性差異，同樣將男性記為1，女性記為2，根據(jù)之前求出的兩家單位中男女的患病率，代入進行計算，得到含有檢驗統(tǒng)計量和概率值，如表7、8所示。

通過分析兩表可以得到，判斷兩家單位男性患病率顯著性差異情況時，檢驗計量為0.603，概率值為0.860。因為顯著性水平，，即在檢驗統(tǒng)計量為0.603時，原假設成立的概率為0.860，所以接受原假設，網(wǎng)絡公司的男性患病率和設計研究院的男性患病概率不存在顯著性差異;判斷兩家單位女性患病率顯著性差異情況時，檢驗統(tǒng)計量為0.463，概率值為0.983，，同理可得，兩家單位的女性的患病率同樣不存在顯著性差異。

4.1.4 總體比較

算出兩家單位患病率平均值，并繪制兩家單位患病占總體的百分比情況，如圖4-5所示。

發(fā)現(xiàn)設計研究院的平均發(fā)病率為12.76%，網(wǎng)絡公司平均發(fā)病率為11.64%。也就是設計研究院的平均發(fā)病率要高于網(wǎng)絡公司。

設計研究院和網(wǎng)絡公司男女比例均為3：2，并且已經(jīng)證明兩家單位男女患病率均無顯著性差異。同時，設計研究院員工的平均年齡為48.20歲，明顯高于網(wǎng)絡公司員工的平均年齡36.48歲，所以可以初步推斷年齡可能對患病率的影響比性別大。性別和年齡與患病率相關性的比較結(jié)果符合我們查閱的相關資料[9]，可以間接驗證我們的分析是正確的。

4.2 問題二模型的建立和求解

在問題二中，我們需要分析不同的工作、生活行為方式可能對糖尿病患病率產(chǎn)生的影響。各種加班情況的嚴重程度及各種午餐情況的不健康程度無法進行數(shù)量化，所以將八種情況當做并列因素。為了便于直觀分析，根據(jù)訪談人數(shù)分別計算在設計研究院和網(wǎng)絡公司中經(jīng)常加班、偶爾加班、不加班、說不清、單位餐廳、自帶、盒飯、其他情況的頻率。如表9所示。

由于只有兩組數(shù)據(jù)，樣本數(shù)據(jù)量達不到數(shù)據(jù)處理的要求，所以通過均值生成法對樣本進行增廣擴充，將第一組和第二組數(shù)據(jù)求平均得到了第三組數(shù)據(jù)，將第二組和第三組數(shù)據(jù)求平均得到了第四組數(shù)據(jù)，以此進行了數(shù)據(jù)擴展的處理，擴充后的樣本與原樣本如表10所示。

得到擴充過的數(shù)據(jù)之后，通過灰色關聯(lián)分析求各指標與患病率的關聯(lián)度。

（1）確定比較對象（評價對象）和參考數(shù)列（評價標準）。把影響糖尿病患病率的八個指標作為比較對象，

。四組糖尿病患病率作為參考數(shù)列，即

（2）對指標數(shù)據(jù)進行無量綱化處理并確定各指標對應的權(quán)重，，為第個評價指標對應的權(quán)重。無量綱化處理的公式如下：

（2）

無量綱化后的數(shù)據(jù)如下矩陣：

參考數(shù)列，由于本題中八個評價指標為平行指標并且無權(quán)重差異，所以我們認定這八個指標權(quán)重相同，。

（3）計算灰色關聯(lián)系數(shù)并計算灰色加權(quán)關聯(lián)度。

計算出無量綱化矩陣后，構(gòu)建綜合評價模型，計算灰色關聯(lián)系數(shù)的方程如下：

（3）

為比較數(shù)列對參考數(shù)列在第個指標上的關聯(lián)系數(shù)，分別為兩級最小差和兩級最大差，其中為分辨系數(shù)，分辨系數(shù)越大，分辨率越大，一般情況下取。

計算得到八個指標關聯(lián)系數(shù)矩陣如下：

其中，， =3.9268。

在求出各指標的關聯(lián)系數(shù)后，計算灰色加權(quán)關聯(lián)度?；疑訖?quán)關聯(lián)度的計算公式為：

（4）

其中，為第個指標與患病率的灰色加權(quán)關聯(lián)度，因為各指標所占權(quán)重相同且均為，所以各指標與患病率的關聯(lián)度分別為：

（4）評價分析，灰色關聯(lián)度越大，該評價指標與患病率關聯(lián)越緊密。由灰色關聯(lián)度排序可以看出在八種情況中，加班情況說不清和其他用餐情況這兩種與患病率的關聯(lián)度最大。在不考慮說不清和其他者兩種指標的情況下，關聯(lián)度最大的是不加班和自帶午餐這兩種情況，關聯(lián)度分別為0.4593和0.4478。求出加班情況和用餐情況與患病率的相關度分別為0.4634及0.4145。也就是說在這兩家單位的員工中，加班情況對糖尿病患病率的影響比用餐情況更大。而在其他糖尿病發(fā)病率研究的文獻中，可以得知缺乏睡眠會干擾胰島素的血糖調(diào)節(jié)機制，對肥胖和胰島素耐受性產(chǎn)生明顯的影響。而飲食對糖尿病患病率的影響也表現(xiàn)在每日鹽和油的攝取上。這說明了不加班和自帶飯與患病率呈負相關，即經(jīng)常加班和吃盒飯容易誘發(fā)糖尿病。

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