新型三自由度混合冗余驅(qū)動機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)研究

張啟升，李瑞琴，梁晶晶

(中北大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山西 太原 030051)

0 引 言

混合驅(qū)動機(jī)構(gòu)由Tokuz[1]首次提出，是當(dāng)今機(jī)構(gòu)學(xué)研究的一大熱點(diǎn)，它具有傳統(tǒng)機(jī)構(gòu)的大功率的優(yōu)點(diǎn)和智能機(jī)構(gòu)柔性化的特點(diǎn).混合驅(qū)動機(jī)構(gòu)基本驅(qū)動原理是：對于一個多自由度機(jī)構(gòu)，其運(yùn)動輸入由不可控的恒速電動機(jī)和實(shí)時可控的伺服電機(jī)組成，其中恒速電機(jī)提供主要的動力，伺服電機(jī)承擔(dān)較小的動力，通過聯(lián)合控制兩種類型的電機(jī)在機(jī)構(gòu)的運(yùn)動軌跡輸出端能夠?qū)崿F(xiàn)高精度運(yùn)動軌跡.混合驅(qū)動研究經(jīng)過20余年發(fā)展已經(jīng)基本建立了平面構(gòu)型的理論基礎(chǔ)，包括構(gòu)型綜合，運(yùn)動學(xué)分析，動力學(xué)分析和應(yīng)用等方面的內(nèi)容[2-7].國內(nèi)外關(guān)于混合驅(qū)動機(jī)構(gòu)的研究的成果都停留于平面機(jī)構(gòu)，研究的對象以平面二自由度的五桿機(jī)構(gòu)、六桿機(jī)構(gòu)和七桿機(jī)構(gòu)為主.空間桿系的混合驅(qū)動機(jī)構(gòu)的研究幾乎難見于文獻(xiàn)，混合驅(qū)動理論在向空間化發(fā)展的過程中受到構(gòu)型的制約，在技術(shù)上沒有獲得突破.若將其向空間拓展必將在眾多領(lǐng)域發(fā)揮積極作用.

Zhang[8-9]等提出了具有被動鏈的三、四、五自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu).其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是，由一條被動鏈完全提供并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度，然后并聯(lián)幾條無約束支鏈，主動鏈的數(shù)目等于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度數(shù).被動鏈只提供了動平臺需要的所有約束，而主動鏈只提供對動平臺的驅(qū)動.若在中間支鏈上加入驅(qū)動則形成一類新型的冗余驅(qū)動機(jī)構(gòu)[10-11].得到的新型冗余驅(qū)動機(jī)構(gòu)相對于一般并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有剛度高、力操作性能優(yōu)、承載能力大和定位精度高等優(yōu)點(diǎn)，近年已成為機(jī)器人研究的一個熱點(diǎn).

基于冗余機(jī)構(gòu)和混合驅(qū)動的這些優(yōu)點(diǎn)，將混合驅(qū)動機(jī)構(gòu)理論和冗余驅(qū)動理論有機(jī)結(jié)合，構(gòu)造出一種新型混合冗余驅(qū)動的機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)的自由度由中間的支鏈約束，中間支鏈動力由常速電機(jī)和伺服電機(jī)共同驅(qū)動，與對稱靜、動平臺分布的其他支鏈一起構(gòu)成冗余驅(qū)動，具有大功率、大剛度和工作時無奇異的特點(diǎn).常速電機(jī)提供主要的動力來源，解決了伺服電機(jī)驅(qū)動力矩不足的缺點(diǎn).文中構(gòu)造出一種3-PSS-6R混合冗余驅(qū)動機(jī)構(gòu)，建立該機(jī)構(gòu)位置反解，對其運(yùn)動學(xué)進(jìn)行分析.

1 3-PSS-6R混合冗余驅(qū)動機(jī)構(gòu)構(gòu)型

將混合驅(qū)動理論運(yùn)用于冗余驅(qū)動機(jī)構(gòu)，形成新型混合冗余驅(qū)動機(jī)構(gòu)(簡稱為HRDM)，構(gòu)造出新型3-PSS-6R三自由度空間HRDM簡圖如圖 1 所示.

3-PSS-6R機(jī)構(gòu)由動平臺、靜平臺、連接動平臺和定平臺的4條支鏈構(gòu)成.其中連接動、靜平臺的3條支鏈PSS(移動副—球鉸—球鉸)構(gòu)型完全相同，對機(jī)構(gòu)的自由度不產(chǎn)生約束，初始位姿下對稱分布于動、靜平臺的圓周上，驅(qū)動完全一樣.中間的支鏈6R由平面五桿機(jī)構(gòu)和空間連桿串聯(lián)而成(簡稱為HRDL).6R支鏈對整個機(jī)構(gòu)的自由度產(chǎn)生約束，限制動平臺眼Y2軸線方向的移動和繞X2,Z2軸線轉(zhuǎn)動自由度，使機(jī)構(gòu)具有兩維移動和一維轉(zhuǎn)動3個自由度.機(jī)構(gòu)有3個自由度為 5個驅(qū)動，其中，4個為實(shí)時可控的伺服電機(jī)和1個為不可控的常速電機(jī)，故機(jī)構(gòu)兼有混合驅(qū)動機(jī)構(gòu)和冗余驅(qū)動機(jī)構(gòu)的特征(簡稱為混合冗余驅(qū)動機(jī)構(gòu))，6R支鏈為混合冗余驅(qū)動支鏈.通過改變3條對稱分布支鏈的驅(qū)動桿的位移和改變6R支鏈伺服電機(jī)的驅(qū)動角位移，機(jī)構(gòu)的動平臺可在工作空間范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)3個自由度的活動(2T1R).

2 機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)分析

在3-PSS-6R HRDM靜、動平臺上分別建立坐標(biāo)系如圖 1 所示，靜坐標(biāo)系O1X1Y1Z1安置于靜平臺上，3條PSS支鏈的移動副軸線與定坐標(biāo)系相交于Bi(i=1,2,3)點(diǎn)，其均勻分布于半徑R=360 mm 的圓周上, 相對圓心夾角為π/3，B1,B3關(guān)于X1軸對稱，X1軸經(jīng)過B2點(diǎn)指向右.動坐標(biāo)系O2X2Y2Z2建立于動平臺上，機(jī)構(gòu)處于初始狀態(tài)時Z1軸和Z2軸同軸線，X1軸、Y1軸分別同X2軸和Y2軸平行.球鉸中心Pi(i=1,2,3)均勻分布于平面X2O2Y2上半徑r=160 mm的圓周上.

圖 13-PSS-6R HRDM的構(gòu)型及其坐標(biāo)系Fig.1 The configuration and coordinate system of the 3-PSS-6R HRDM

3-PSS-6R HRDM的位置逆解是已知動平臺的位姿X=[x,z,β]T和常速電機(jī)的運(yùn)動規(guī)律，求三個驅(qū)動移動副的位移hi(i=1,2,3)和中間支鏈的伺服電機(jī)的驅(qū)動角位移.由于機(jī)構(gòu)對稱支鏈3-PSS和中間HRDL待求的位置矢量方程和參數(shù)不同，下面分別求出各條支鏈的逆解方程.

2.1 對稱支鏈3-PSS位置逆解

根據(jù)上文機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)，求出O1Bi(i=1,2,3,)在靜坐標(biāo)系下的坐標(biāo)矢量O1Bi=[O1Bix,O1Biy,O1Biz]T(i=1,2,3)，動平臺球鉸中心點(diǎn)在動坐標(biāo)下的坐標(biāo)矢量O2Pi=[O2Pix,O2Piy,O2Piz]T(i=1,2,3).設(shè)動坐標(biāo)系原點(diǎn)O2為參考點(diǎn)在靜坐標(biāo)系下的坐標(biāo)矢量為P=[O1x,O1y,O1z]T, 通過歐拉變換(Z-Y-X)法，將O2Pi(i=1,2,3)轉(zhuǎn)化為靜坐標(biāo)系下的坐標(biāo)矢量O1Pi(i=1,2,3)，表示為

(1)

由封閉矢量法，建立第i條PSS支鏈的矢量方程

O1Bi+BiSi=O1Si,

(2)

O1Si+SiPi=O1P,

(3)

Li=|SiPi|,

(4)

hi=|BiSi|,

(5)

式中：Li(i=1,2,3)為PSS支鏈連桿的長度，Li=L.

因?yàn)闄C(jī)構(gòu)動平臺位于靜坐標(biāo)系O1-x1y1z1平面上方，由式(1)～(5)求得移動副的驅(qū)動位移中心點(diǎn)O2的坐標(biāo)(x,y,z)中z恒為正值且z>hi，hi代表移動副Si移動的距離，所以hi為正值，因此進(jìn)一步得到PSS支鏈的位置逆解方程

(6)

2.2 HRDL支鏈逆解

混合冗余驅(qū)動支鏈由混合驅(qū)動的平面五桿機(jī)構(gòu)CDEFG串聯(lián)一個空間連桿EO2構(gòu)成，它是一個復(fù)雜的并、串聯(lián)機(jī)構(gòu)組成的分支.分支的約束作用直接決定了整個機(jī)構(gòu)的自由度.工作狀態(tài)下，五桿機(jī)構(gòu)固定于定平臺上，由常速電機(jī)和伺服電機(jī)共同驅(qū)動.常速電機(jī)驅(qū)動FG桿，伺服電機(jī)驅(qū)動CD桿，運(yùn)動輸出通過EFG分支和CDE分支在E點(diǎn)耦合，通過連桿EO2共同作用于機(jī)構(gòu)的動平臺中心O2.伺服電機(jī)驅(qū)動分支CDEO2和常速電機(jī)驅(qū)動分支GFEO2末端位姿即為機(jī)構(gòu)的位姿，通過D-H方法確定.建立分支6R的關(guān)節(jié)坐標(biāo)系，如圖 2 所示，D-H參數(shù)見表 1.

表 1HRDL D-H參數(shù)

圖 2支鏈6R坐標(biāo)系Fig.2 The coordinate system of 6R limb

(7)

E點(diǎn)的坐標(biāo)可通過齊次變換得到

(8)

由式(8)得到

(9)

混合冗余驅(qū)動的雙動力安置于平面5R機(jī)構(gòu)的兩驅(qū)動轉(zhuǎn)動副上，如圖 3 所示，其中機(jī)架為CG桿，CD桿由伺服電機(jī)驅(qū)動，F(xiàn)G桿由常速電機(jī)驅(qū)動，CD桿FG桿共同作為混合冗余驅(qū)動支鏈的驅(qū)動.在兩驅(qū)動桿作用下，驅(qū)動從動件DE桿和EF桿運(yùn)動，以使E點(diǎn)輸出柔性軌跡.此處設(shè)混合驅(qū)動平面5R并聯(lián)機(jī)構(gòu)中各構(gòu)件的桿長分別為l1,l2,l3,l4, 2l6，相鄰桿件之間的夾角分別為q1,q2,q3,q4，其中qi=θi,i=1,2.

圖 3平面5R并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.3 Planar 5R parallel mechanism

如圖 3 所示，用封閉矢量法分別建立五桿機(jī)構(gòu)伺服驅(qū)動支鏈和常速驅(qū)動支鏈?zhǔn)噶糠匠?/p>

O1E=O1C+CD+DE,

(10)

O1E=O1G+GF+FE.

(11)

式(10)和式(11)分別向x,z軸投影，利用三角函數(shù)關(guān)系，得到

(12)

式(10)即為支鏈逆解，各有兩個解.因FG為常速驅(qū)動只能單向運(yùn)動，軌跡規(guī)劃完成后，在給定的時刻角度是一定的，因此，在給定位姿時q4確定，q3為l3向l4過渡的轉(zhuǎn)角根據(jù)初始機(jī)構(gòu)的裝配關(guān)系也能確定.

3 機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)實(shí)例

對救援機(jī)器人進(jìn)行直線運(yùn)動軌跡的仿真，規(guī)劃機(jī)構(gòu)末端參考點(diǎn)相對動平臺中心點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律為

(13)

假設(shè)常速驅(qū)動電機(jī)的角速度ω4=5 rad/s，機(jī)構(gòu)動平臺中心點(diǎn)做勾速直線運(yùn)動，機(jī)構(gòu)末端參考點(diǎn)位置從初始點(diǎn)p0(0,0,720)，到終止點(diǎn)pe(100,0,670)，運(yùn)動時間為20 s，仿真步數(shù)為200，在空間的軌跡如圖 4 所示.

圖 4 HRDM做直線運(yùn)動Fig.4 The HRDM makes linear motion

仿真結(jié)束后，進(jìn)入結(jié)果處理窗口，應(yīng)用對象測量功能，測量 4 個驅(qū)動桿的位移、速度和加速度隨時間變化的曲線，混合冗余驅(qū)動支鏈伺服電機(jī)的角度、角速度和角加速度變化曲線如圖 5 所示.

圖 5HRDM的運(yùn)動變化曲線

由圖 5 可以看出，3條PSS支鏈由于結(jié)構(gòu)的對稱性和參數(shù)完全一樣，得到的驅(qū)動滑塊1和驅(qū)動滑塊3的位移、速度和角加速度完全一樣.動平臺參考點(diǎn)O2的速度沿直線勻速運(yùn)動時，驅(qū)動器的最大位移量均在其運(yùn)動范圍內(nèi)，驅(qū)動器的最大運(yùn)動速度在電動機(jī)的額定運(yùn)動速度之內(nèi)，加速度變化平緩，有利于機(jī)構(gòu)的運(yùn)動控制.

4 結(jié) 論

本文提出了新型3-DOF 3-PSS-6R 混合冗余驅(qū)動機(jī)構(gòu),建立了機(jī)構(gòu)的幾何模型和運(yùn)動學(xué)方程，利用DH矩陣得到中間混合冗余驅(qū)動支鏈的逆解，矢量法得到對稱3條PSS支鏈的逆解.主要得出以下結(jié)論：

1) 新型3-DOF HRDM自由度由中間支鏈約束，該支鏈由常速電機(jī)和伺服電機(jī)共同驅(qū)動，是機(jī)構(gòu)的主要動力來源；

2) 應(yīng)用坐標(biāo)變換方法和矢量法所建立的HRDM的位置方程對于3-DOF該方法是正確有效的，運(yùn)動學(xué)模型的建立為后續(xù)3-PSS/6R并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)分析及控制系統(tǒng)的開發(fā)奠定了基礎(chǔ).