基于雙線性軟化模型魯灰花崗巖斷裂特征研究

林建偉，高經(jīng)武，武晉文，王學(xué)懷，呂 琪

(中北大學(xué) 理學(xué)院，山西 太原 030051)

0 引 言

大量研究表明，巖石的破損可以認(rèn)為是微裂隙的發(fā)展過程[1].隨著裂縫擴(kuò)展，巖石剛度下降，粘聚力削弱，這種現(xiàn)象稱為巖石的軟化[2].在軟化現(xiàn)象中，巖石和其他脆性材料的斷裂表現(xiàn)為裂紋尖端附近的一個非線性區(qū)域，稱為斷裂過程區(qū).巖石的軟化現(xiàn)象與其斷裂過程區(qū)移動息息相關(guān)，過程區(qū)的確定對分析脆性材料斷裂的力學(xué)性能至關(guān)重要[3].確定斷裂過程區(qū)的方法包括直接法和間接法.直接法基本思想是通過聲波發(fā)射法[4]和數(shù)字散斑測量法等[5]，直接對斷裂過程區(qū)的材料斷裂和開口位移進(jìn)行測量.間接法則是通過對實驗結(jié)果的參數(shù)擬合來間接識別過程區(qū)[6].

20世紀(jì)70年代后期，Hillerborg[7]提出脆性材料虛擬裂縫模型(也稱粘聚裂縫模型)，虛擬裂縫模型把裂縫分解為真實物理裂縫(完全開裂區(qū))和虛擬裂縫(微裂縫區(qū))兩部分.該模型在斷裂力學(xué)中得到了廣泛的應(yīng)用.Hillerborg通過將混凝土直接拉伸實驗的應(yīng)力-應(yīng)變軟化曲線近似為一條直線，提出直線型軟化曲線，對其斷裂過程進(jìn)行分析，從中給出特征長度的概念，認(rèn)為特征長度與斷裂過程區(qū)長度存在著一定的關(guān)系.

單線性軟化關(guān)系不能準(zhǔn)確地反應(yīng)粘聚應(yīng)力與裂縫張開位移的關(guān)系，對斷裂過程的分析有較大的影響.基于Hillerborg的工作，很多學(xué)者在隨后的研究中進(jìn)一步提出了雙線性軟化曲線.雙線性曲線的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)折點的選取，根據(jù)不同材料實驗結(jié)果分析，對于轉(zhuǎn)折點的取值給出了多種經(jīng)驗性的公式.其中，Petersson[8]假定轉(zhuǎn)折點粘聚應(yīng)力與抗拉強(qiáng)度比值為1/3，從而得到軟化曲線.對此，M.Elices[9]提出了另一種混凝土軟化曲線的雙線性曲線，采用抗拉強(qiáng)度、斷裂能、軟化曲線面積形心橫坐標(biāo)和初始線性部分延伸線的水平截距四個參數(shù)建立混凝土軟化曲線，避免了對材料經(jīng)驗性參數(shù)的確定，并提出斷裂與混凝土骨料的大小相關(guān).徐世烺[10]基于上述理論針對混凝土骨料大小與軟化曲線的關(guān)系給出了混凝土雙線性修正公式.

脆性材料軟化曲線描述了斷裂過程區(qū)的特性，是很多脆性材料斷裂模型的基礎(chǔ)，尤其是在有限元程序模擬脆性材料非線性性能的時候，軟化曲線與抗拉強(qiáng)度以及斷裂能是必要的輸入?yún)?shù).因此，建立巖石軟化模型對巖石斷裂分析有著重要意義.目前，對巖石斷裂的分析，多數(shù)通過直接觀察，或通過分析摩擦角和粘聚力的變化來描述巖石軟化和斷裂過程，而通過建立脆性材料軟化模型來分析巖石斷裂過程的研究較少.基于脆性材料軟化的雙線性模型，本文建立魯灰花崗巖軟化模型，對其斷裂特性進(jìn)行分析，得到其臨界裂縫尖端張開位移wq和臨界裂縫張開位移wc.

1 脆性材料雙線性軟化曲線

M.Elices等[9]提出的雙線性模型對于微裂區(qū)(如圖 1)做出以下假設(shè)：

1) 對于軟化曲線，當(dāng)預(yù)制裂縫尖端最大主應(yīng)力σ1達(dá)到粘聚力強(qiáng)度臨界值(抗拉強(qiáng)度)σt時，粘聚裂紋開始出現(xiàn)，此時應(yīng)力值為軟化曲線的起始值，粘聚裂紋與主應(yīng)力的方向垂直.

2) 微裂縫出現(xiàn)，微裂縫面之間的粘聚應(yīng)力是裂紋張開位移的函數(shù).對于I型裂紋，粘聚應(yīng)力σ與裂紋面垂直，是裂紋張開位移w的一元函數(shù)

σ=f(w),

(1)

式中：f(w)稱為軟化函數(shù).抗拉強(qiáng)度σt是微裂縫萌生的初始應(yīng)力，即

σt=f(0).

(2)

斷裂能Gf是裂縫完全張開(粘聚應(yīng)力σ=0)單位面積所消耗的能量，由軟化曲線下的面積給出，如圖 1(b) 所示，即

(3)

式中：wc為臨界裂縫張開位移，裂縫超過wc后粘聚應(yīng)力變?yōu)榱?

圖 1斷裂過程區(qū)模型和軟化曲線Fig.1 The cohesive zone model and softening curve

圖 2雙線性軟化曲線Fig.2 Bilinear softening curve

2 魯灰花崗巖雙線性軟化曲線

2.1 雙線性曲線參數(shù)的確定

2.1.1 抗拉強(qiáng)度σt

采用巴西劈裂實驗測定魯灰花崗巖抗拉強(qiáng)度:

(4)

式中：σt為抗拉強(qiáng)度；Pu為最大載荷；t為圓柱體長度；D為圓柱體的直徑.

巴西劈裂試樣為Φ50 mm×25 mm的圓盤，通過公式得到魯灰花崗巖的抗拉強(qiáng)度在9.35～11.4 MPa之間，平均值為10.355 MPa，具體測試結(jié)果見表 1.

表 1巴西劈裂實驗測試結(jié)果

圖 3試樣制備及規(guī)格Fig.3 Specimen preparation and specification

根據(jù)Rilem[11]提出的計算方案，斷裂能Gf表達(dá)式為

(5)

式中：WF為帶預(yù)制裂縫的矩形梁試件靜態(tài)斷裂所做的功；B，H分別為試件的厚度和高度；a0為預(yù)制裂縫的長度.

(6)

式中：α為一個無量綱參數(shù)，取決于軟化函數(shù)的形狀，對于雙線性型軟化曲線，應(yīng)取α=0.987[8].

Manuel Elices等[13]認(rèn)為雙線性軟化曲線轉(zhuǎn)折發(fā)生在三點彎曲的峰值荷載后，w1與斷裂能和抗拉強(qiáng)度的比值相關(guān)，根據(jù)Guinea G V等[14-15]給出w1的確定方法，得到魯灰花崗巖w1計算公式為

(7)

圖 4三點彎曲實驗荷載-撓度曲線Fig.4 Load-deflection curve at three point bending test

試件編號跨徑l/mm厚度B/mm高度H/mm預(yù)制裂縫長度a0/mmW-116021.1638.0017.56W-216020.6538.8217.05W-316019.2938.4517.20平均值16020.3738.4217.27試件編號抗拉強(qiáng)度σt/MPa斷裂能Gf/(N·mm)曲線面積形心橫坐標(biāo)/mm曲線前段水平截距w1/mmW-110.3550.2290.021 80.017 7W-210.3550.1700.016 20.013 2W-310.3550.2060.019 70.015 9平均值10.3550.2020.019 20.015 6

2.2 雙線性型軟化曲線的確定

(8)

雙線性軟化曲線拐點對應(yīng)的坐標(biāo)wq和σq表示為

(9)

(10)

圖 5魯灰花崗巖軟化曲線Fig.5 The softening curve of Lu grey granite

由圖 5 表示的軟化曲線，可將魯灰花崗巖斷裂過程分為起裂、穩(wěn)定擴(kuò)展和失穩(wěn)擴(kuò)展三個階段[10].起裂階段，即w=0時，初始裂縫尖端處的粘聚應(yīng)力等于其抗拉強(qiáng)度σt；裂縫張開位移從零到wq為穩(wěn)定擴(kuò)展階段，裂縫張開位移為wq時，裂縫處于穩(wěn)定擴(kuò)展的臨界狀態(tài)，巖石的粘聚應(yīng)力下降到抗拉強(qiáng)度的50%，巖石剛度減小，粘聚力減弱；裂縫張開位移從wq到wc為失穩(wěn)擴(kuò)展階段，當(dāng)裂縫張開位移達(dá)到臨界裂縫張開位移wc時，粘聚應(yīng)力為零，形成宏觀裂縫.

根據(jù)魯灰花崗巖軟化曲線，拐點處裂縫張開位移wq在0.007～0.009 mm之間，臨界裂縫張開位移wc在0.05～0.07 mm之間.魯灰花崗巖雙線性軟化曲線模型參數(shù)分別為：σt=10.355±0.876 mm；wq=0.008 0±0.000 8 mm；wc=0.062 3±0.005 5 mm.花崗巖是非均質(zhì)材料，模型參數(shù)有一定的離散性，相對平均值離散程度為9%左右.

3 實驗驗證與分析

Shah S P[16]采用聲波觀測的方法證實預(yù)制裂縫尖端的張開位移的臨界值(CTODc)為材料屬性，與試件尺寸無關(guān)，可作為判斷材料失穩(wěn)斷裂的材料參數(shù)，并且根據(jù)實驗數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)折點wq與實驗測得的CTODc比較接近.基于上述研究，徐世烺[10]采用改進(jìn)的雙線性公式，認(rèn)為在三點彎曲實驗中，荷載達(dá)到峰值時，CTODc對應(yīng)雙線性軟化曲線上轉(zhuǎn)折點的橫坐標(biāo)wq，此時粘聚應(yīng)力對應(yīng)轉(zhuǎn)折點處的σq.

鑒于上述研究結(jié)果，將測定的魯灰花崗巖峰值荷載下預(yù)制裂縫尖端張開位移CTODc與wq進(jìn)行對比，以此驗證雙線性軟化曲線的合理性.

3.1 實驗設(shè)備

實驗設(shè)備包括電子萬能試驗機(jī)和ARAMIS三維全場動態(tài)應(yīng)變測試系統(tǒng)，如圖 6 所示.設(shè)置加載速率為0.05 mm/min，圖像采集頻率為2 Hz/s，DIC分辨率為2 448×2 050，物面分辨率為0.021 95 mm/像素，位移精度為0.01像素，實際位移精度為0.000 219 5 mm.

圖 6DIC測試設(shè)備Fig.6 DIC test equipment

如圖 6，在試樣預(yù)制裂縫尖端同一水平上取點1和點3，兩點之間的距離變化即為預(yù)制裂縫尖端的CTOD，峰值荷載時對應(yīng)CTODc.

3.2 實驗結(jié)果與分析

圖 7 為魯灰花崗巖三點彎曲實驗中DIC數(shù)字散斑測量系統(tǒng)測得的加載過程中荷載P與裂縫尖端張開位移CTOD的關(guān)系.70%～80%峰值荷載前P-CTOD曲線呈線性關(guān)系，70%～80%峰值荷載到峰值荷載，P-CTOD曲線呈非線性，此階段材料內(nèi)部存在較好的粘聚力，對應(yīng)軟化曲線的裂縫穩(wěn)定擴(kuò)展階段；當(dāng)荷載超過峰值，粘聚應(yīng)力大幅降低，進(jìn)入失穩(wěn)破壞階段.表 3 為本文建立的魯灰花崗巖雙線性軟化曲中關(guān)鍵點(wq與wc)數(shù)值與實測數(shù)值的對照表.實驗測定的峰值荷載時刻預(yù)制裂縫尖端裂縫張開位移CTODc在0.008～0.011 mm之間，平均值0.009 mm；軟化曲線計算得的臨界裂縫尖端張開位移wq為0.007～0.009 mm，平均值為0.008 mm，兩者接近.這與徐世烺提到臨界裂縫尖端張開位移與峰值荷載下CTOD接近的結(jié)論一致，驗證了所建魯灰花崗巖雙線性軟化曲線的合理性.

圖 7 三點彎曲實驗P-CTOD曲線圖Fig.7 P-CTOD curve at three point bending test

編號模型峰值荷載下裂縫尖端張開位移wq/mm實測峰值荷載下裂縫張尖端開位移CTODc/mm模型臨界裂縫張開位移wc/mm實測最大裂縫尖端張開位移CTODm/mmW-10.0090.0080.0700.117W-20.0070.0080.0530.117W-30.0080.0110.0640.127平均值0.0080.0090.0620.120

由表 3 可知，雙線性軟化曲線中，臨界裂縫張開位移wc為0.053～0.07 mm，根據(jù)虛擬裂縫模型假設(shè)，wc為巖石失去粘聚應(yīng)力的臨界狀態(tài).雖然wc對于材料本身來講是一個很重要的斷裂參數(shù)，但在實驗過程中沒有明顯的斷裂特征與其對應(yīng)，故無法通過實驗直接測量其準(zhǔn)確數(shù)值.驗證實驗結(jié)束時測得最大裂縫張開位移CTODm為0.117～0.127 mm，由軟化模型計算得到的wc介于CTODm和CTODc之間，大約是CTODc的 7～8 倍.

4 結(jié) 論

臨界裂縫尖端張開位移CTODc作為材料斷裂屬性，裂縫張開位移CTOD達(dá)到這一數(shù)值時，巖石失穩(wěn)破壞開始.根據(jù)魯灰花崗巖雙線性軟化曲線，其臨界裂縫尖端張開位移wq為0.007～0.009 mm.通過實驗方法測定臨界裂縫尖端張開位移平均值為0.009 mm，驗證了魯灰花崗巖雙線性軟化曲線的合理性.

魯灰花崗巖軟化曲線中臨界裂縫張開位移wc為0.05～0.07 mm，大約是wq的7～8倍.wc為巖石內(nèi)部粘聚力為零的裂縫張開位移，是微裂縫區(qū)的末端.