數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中的有效運(yùn)用

沈申文

[摘? 要] 以高中數(shù)學(xué)為主要論述對(duì)象，探析數(shù)形結(jié)合思想在解答不同種類(lèi)的數(shù)學(xué)題目時(shí)所起到的重大作用.數(shù)形結(jié)合思想作為高中數(shù)學(xué)解題的最重要的思想之一貫穿于高中數(shù)學(xué)的始末，必須被教師和學(xué)生牢牢掌握.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;數(shù)學(xué)思想;解題運(yùn)用

引言

過(guò)去有句流傳甚廣的俗語(yǔ)：“學(xué)好數(shù)理化，走遍天下都不怕.”此言雖然過(guò)分重視了理科對(duì)于學(xué)生發(fā)展的作用和意義，然而學(xué)好自然科學(xué)對(duì)于每一個(gè)高中生而言都有著極為重大的意義，這一點(diǎn)不言而喻.學(xué)好數(shù)學(xué)的最直觀體現(xiàn)便在于使用數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的能力，教師在解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)題目時(shí)也應(yīng)該使用這些重要而簡(jiǎn)便的數(shù)學(xué)思想，使自身的解題運(yùn)算變得更加快捷高效，達(dá)到事半功倍的效果. 簡(jiǎn)而言之，數(shù)形結(jié)合是一種必須被高中生牢牢掌握的數(shù)學(xué)思想，教師也應(yīng)該格外重視，在教學(xué)中重點(diǎn)把握，力求令學(xué)生領(lǐng)悟得到.

關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想

1. 什么是數(shù)形結(jié)合思想

所謂數(shù)形結(jié)合思想便是通過(guò)“以形助數(shù)，以數(shù)解形”的方式來(lái)解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.對(duì)此數(shù)學(xué)大家華羅庚教授曾于1964年發(fā)表的《談?wù)勁c蜂巢結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題》中，以一首詩(shī)來(lái)闡述了數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)：“數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛. 數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形缺數(shù)時(shí)難入微. 數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事休. 幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離.”數(shù)學(xué)應(yīng)該堅(jiān)持幾何、代數(shù)的聯(lián)系，堅(jiān)持?jǐn)?shù)字與形狀相聯(lián)系.

2. 數(shù)形結(jié)合思想可以用于哪些題型

（1）集合

集合是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，是學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的入門(mén)課，對(duì)于非空集合、交集、并集、補(bǔ)集等內(nèi)容需要使用適當(dāng)?shù)臄?shù)形結(jié)合思想來(lái)加以解題.使用韋恩圖便是數(shù)形結(jié)合的一個(gè)重要體現(xiàn).

（2）函數(shù)

函數(shù)是學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的極為重要的內(nèi)容，要確定其定義域、值域時(shí)離不開(kāi)數(shù)形結(jié)合;分析冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)趨勢(shì)時(shí)也離不開(kāi)數(shù)形結(jié)合.

（3）方程與不等式

高中數(shù)學(xué)是在初中數(shù)學(xué)所構(gòu)建的知識(shí)體系上建立起來(lái)的. 例如y=ax2+bx+c（a≠0）可以驗(yàn)證出這是一條拋物線. 在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的相關(guān)內(nèi)容時(shí)，也可以通過(guò)使用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)確定一個(gè)方程有沒(méi)有實(shí)數(shù)根，有幾個(gè)實(shí)數(shù)根，其軌跡是如何變化的等等. 關(guān)于不等式的問(wèn)題通過(guò)使用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)確定它的解集.這樣的題型在高中數(shù)學(xué)中比比皆是.

（4）三角函數(shù)

三角函數(shù)也是不可缺少數(shù)形結(jié)合思想所介入分析的高中數(shù)學(xué)內(nèi)容. 對(duì)于特殊角的正弦、余弦、正切的值，學(xué)生可以通過(guò)背誦的方式加以銘記. 然而對(duì)于一些非特殊角、數(shù)值較大的角，如果不能確定自身的計(jì)算結(jié)果，可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)加以確認(rèn).

（5）向量

對(duì)于向量的加減問(wèn)題也可以使用數(shù)形結(jié)合方法. 例如向量的加法問(wèn)題便是“首尾相接連首尾”;對(duì)于向量的減法問(wèn)題則是“同起點(diǎn)、連終點(diǎn)，方向指向被減向量”. 這都需要使用數(shù)形結(jié)合法.

（6）線性規(guī)劃

線性規(guī)劃問(wèn)題是在題目給出的條件下通過(guò)解答出目標(biāo)函數(shù)以求得函數(shù)最值的問(wèn)題.在解答此類(lèi)題目時(shí)也要使用數(shù)形結(jié)合方法[1].

（7）數(shù)列

數(shù)列作為一種較為特殊的函數(shù)，在解答等比數(shù)列、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的問(wèn)題的時(shí)候，也可以使用數(shù)形結(jié)合的方法予以相應(yīng)解答，同時(shí)也可以佐證自己所解公式正誤.

（8）解析幾何

幾何題目包含解析幾何與立體幾何.其中占較大分量和比重的是解析幾何. 例如研究圓、橢圓等問(wèn)題時(shí)，要時(shí)刻扣住數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，將幾何性質(zhì)與代數(shù)研究牢牢結(jié)合，通過(guò)幾何性質(zhì)來(lái)求出方程;再根據(jù)所求的方程來(lái)解答幾何問(wèn)題. 這二者相互依存，不可偏廢其中一個(gè).

（9）立體幾何

解答立體幾何的相關(guān)問(wèn)題也可以用到數(shù)形結(jié)合思想. 數(shù)形結(jié)合可以輔助學(xué)生更好地了解點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，對(duì)于垂直、平行、相切、二面角的求證、面面垂直、面線垂直等問(wèn)題有著更為直觀形象的理解. 使用數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)于一些較棘手問(wèn)題，可以通過(guò)使用添加輔助性等方式，化難為易，利于解題.

3. 數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)作用

（1）化難為易

使用數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)和初衷便是使得較為煩瑣艱深的數(shù)學(xué)題目變得相對(duì)簡(jiǎn)單一點(diǎn)，如果沒(méi)有了化難為易的初衷就不會(huì)有使用數(shù)形結(jié)合的必要了[2].

（2）化抽象為具象

數(shù)形結(jié)合的鮮明特點(diǎn)便是使得相對(duì)抽象的數(shù)學(xué)方程、定義能夠以相對(duì)具象、直觀的方式呈現(xiàn)而出. 例如在解決函數(shù)的極大值、極小值的問(wèn)題時(shí)，再求出導(dǎo)函數(shù)之后，就要使用到數(shù)形結(jié)合方法來(lái)加以分析、驗(yàn)證，這不僅有助于解答，也可以在解答的同時(shí)保證做題的正確性.

使用數(shù)形結(jié)合應(yīng)注意的問(wèn)題

1. 等價(jià)性原則

使用數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，最應(yīng)該把握的便是等價(jià)性原則. 所謂等價(jià)性原則指題目中出現(xiàn)的條件、關(guān)系，如果以外形呈現(xiàn)，絕不能有絲毫的偏差和背離. 培根說(shuō)過(guò)數(shù)學(xué)使人精細(xì)，很大程度上便在于數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)習(xí)者的觀察能力、分析能力、運(yùn)用能力都是一種考驗(yàn)和提升. 如果學(xué)生在賦形的過(guò)程中，擴(kuò)大了題目所給的定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則等關(guān)鍵條件，就會(huì)離題千里.

2. 雙向性原則

使用數(shù)形結(jié)合思想，應(yīng)該牢記八個(gè)字“以形助數(shù)，以數(shù)解形”. 簡(jiǎn)而言之，便是學(xué)生必須使用兩條腿走路. 如果只有一方面的努力和運(yùn)行，就會(huì)誤入歧途. 在數(shù)學(xué)題目中較為綜合且復(fù)雜的題目便是需要使用運(yùn)算和圖形共同推進(jìn)來(lái)解題的題目.

3. 簡(jiǎn)單性原則

如前文所論述，使用數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)是希望題目可以變得相對(duì)簡(jiǎn)單. 如果使用數(shù)形結(jié)合不但沒(méi)有使得題目變得更加簡(jiǎn)單而是變得更加復(fù)雜，那么一定是自身的解題出了問(wèn)題：可能是方程的求解出了問(wèn)題，也可能是圖形的呈現(xiàn)出了問(wèn)題. 因?yàn)閿?shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題而不是制造問(wèn)題的[3].

4. 實(shí)用性原則

使用數(shù)形結(jié)合的目的是為了解題，而不是為了使用數(shù)形結(jié)合而使用數(shù)形結(jié)合，因此學(xué)生在使用的過(guò)程中一定要注意實(shí)用性原則，唯有符合實(shí)踐的需要才要使用數(shù)形結(jié)合. 所以在某些比較簡(jiǎn)單的題目上不必非使用數(shù)形結(jié)合不可，節(jié)省時(shí)間留到較為復(fù)雜的題上.

教師和學(xué)生應(yīng)該如何使用好數(shù)形結(jié)合思想

1. 針對(duì)教師

（1）夯實(shí)基礎(chǔ)

高中數(shù)學(xué)就要以基礎(chǔ)為本，所謂“以本為本”. 以根本為根本才能保證自己這座高中數(shù)學(xué)大廈不會(huì)傾覆倒塌. 基礎(chǔ)不牢，地動(dòng)山搖. 對(duì)于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，尤其要注意基礎(chǔ). 例如在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的問(wèn)題中，針對(duì)特殊角的函數(shù)值必須爛熟于心. 只有基礎(chǔ)掌握得足夠扎實(shí)，使用數(shù)形結(jié)合方法才能得心應(yīng)手.

（2）勤加督導(dǎo)

教師對(duì)學(xué)生應(yīng)該勤加督導(dǎo).唯有大量的高質(zhì)量、有針對(duì)性的練習(xí)才能使得自己的解題能力得到大的進(jìn)步和提升，如果只是在頭腦中領(lǐng)悟了數(shù)形結(jié)合而在實(shí)際中沒(méi)有真正使用，那么所謂的會(huì)做題便是一句空話.

（3）加強(qiáng)實(shí)戰(zhàn)運(yùn)用能力

除了有意識(shí)地使用數(shù)形結(jié)合方法之外，更為重要的便是尋找高質(zhì)量、有針對(duì)性的題目來(lái)勤加練習(xí).不能只有方法而空無(wú)實(shí)踐，否則變成“紙上談兵”. 對(duì)于高質(zhì)量的數(shù)形結(jié)合題目、高考中出現(xiàn)的經(jīng)典的數(shù)形結(jié)合題目都應(yīng)該勤加練習(xí)，牢牢掌握.

2. 針對(duì)學(xué)生

（1）抓住根本

高中生應(yīng)該具備足夠強(qiáng)大的知識(shí)提煉能力. 數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)便是數(shù)與形的結(jié)合. 如果沒(méi)有了數(shù)、形中的任何一個(gè)，便也就沒(méi)有了數(shù)形結(jié)合. 所以學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合解題的時(shí)候一定要抓住根本，兩條腿走路.

（2）熟能生巧

英語(yǔ)有云：practice makes perfect.對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)而言同樣如此. 如果沒(méi)有了高頻率、高質(zhì)量的練習(xí)，那么學(xué)生便不會(huì)真正掌握一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，也不會(huì)將此知識(shí)點(diǎn)投入具體的使用層面上.

（3）用心掌握

所謂“運(yùn)用之妙，存乎一心”. 如果沒(méi)有用心掌握、用心使用，那么所學(xué)習(xí)到的知識(shí)是僵化的、凝固的，真正掌握知識(shí)的一個(gè)明顯特征便是無(wú)論題目如何改變，學(xué)生都能抓住根本. 如果學(xué)生能達(dá)成這點(diǎn)便是真正掌握了知識(shí). 為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)學(xué)習(xí)目標(biāo)，就必須用心掌握.

小結(jié)

本文以高中的數(shù)學(xué)為內(nèi)容論述了數(shù)形結(jié)合解題的定義、重要性及適用對(duì)象，同時(shí)也論述分析了使用數(shù)形結(jié)合解題時(shí)應(yīng)該注意的問(wèn)題以及教師應(yīng)該如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的解題意識(shí)，如何提升學(xué)生的解題能力. 同時(shí)也對(duì)學(xué)生使用數(shù)形結(jié)合解題給出了一定的建議.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 彭再云，唐平. 數(shù)形結(jié)合思想在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用淺析[J]. 教育教學(xué)論壇，2013（50）.

[2]? 陳飛. 數(shù)形結(jié)合在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J]. 價(jià)值工程，2013（22）.

[3]? 柯愛(ài)超. “數(shù)形結(jié)合”創(chuàng)高效[J]. 內(nèi)蒙古教育，2013（8）.