應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想指導(dǎo)數(shù)學(xué)解題

楊渭革

[摘? ?要]高中數(shù)學(xué)題型越來(lái)越抽象，學(xué)生在解題過(guò)程中分析題干信息不全面導(dǎo)致問(wèn)題頻出，而應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，有助于學(xué)生將抽象問(wèn)題直觀化，從而有效解決問(wèn)題.教師可從繪制圖形、構(gòu)造圖形、轉(zhuǎn)化圖形和觀察圖形四個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

[關(guān)鍵詞]數(shù)形結(jié)合思想;數(shù)學(xué)解題;高中數(shù)學(xué)

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2019）08-0035-02

“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)主要方面，這兩個(gè)方面相輔相成，通過(guò)彼此之間的轉(zhuǎn)換和建構(gòu)，以“形”代“數(shù)”，則可以使原本抽象的數(shù)學(xué)等式、題干立意在圖形的表示中一目了然，尋找到數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而有效解決問(wèn)題.數(shù)形結(jié)合對(duì)學(xué)生解題能力和解題效率的提升都有很大的幫助.因此，筆者從以下四個(gè)方面就如何應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想指導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題展開論述.

一、繪制圖形，化靜為動(dòng)

高中數(shù)學(xué)習(xí)題中，常有求值域、取值范圍等題型，尤其在處理有某種函數(shù)關(guān)系的取值范圍時(shí)，學(xué)生常存在分析不清楚題干或分析問(wèn)題不全面等問(wèn)題.筆者認(rèn)為，在處理這些問(wèn)題時(shí)，應(yīng)通過(guò)建立坐標(biāo)系，化靜態(tài)為動(dòng)態(tài)，在變化中求解問(wèn)題.這樣的方式既便捷又全面.

例如，在求解函數(shù)中未知項(xiàng)的取值范圍時(shí)，如有向線段PQ，P的坐標(biāo)為（-1，1），Q的坐標(biāo)為（2，2），已知一條直線l：x+my+m=0與有向線段PQ的延長(zhǎng)線相交，試求l中m的取值范圍.筆者在指導(dǎo)學(xué)生解決此題時(shí)，首先做的就是引導(dǎo)學(xué)生全面分析題意，如抓住“有向”等關(guān)鍵字眼，這個(gè)是解決本題的關(guān)鍵點(diǎn).之后便引導(dǎo)學(xué)生采用數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)解決問(wèn)題.第一步就是將l的表達(dá)式換為點(diǎn)斜式，即y+1=-1/m·x，則可得出l的斜率為-1/m，且直線l恒過(guò)定點(diǎn)A（0，-1），在求有向線段PQ所在直線的斜率kPQ=1/3，A與Q連線斜率為kAQ=3/2，則之后繪制坐標(biāo)圖，在圖中分析，當(dāng)斜率-1/m取最小值時(shí)，即直線l與PQ所在直線趨于平行時(shí)，即-1/m[>]1/3，而直線l的斜率取最大值時(shí)，則是l的斜率趨近于kAQ，即-1/m[<]3/2，在這樣一個(gè)范圍內(nèi)，直線l都可以與PQ延長(zhǎng)線相交，則1/3[<] -1/m[<]3/2.因此，通過(guò)解答，學(xué)生便得出了m的取值范圍為-3[<]m[<]-2/3.

上述教學(xué)中，通過(guò)轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)，繪制圖形，化靜態(tài)為動(dòng)態(tài)，在動(dòng)態(tài)中分析問(wèn)題，使學(xué)生可以迅速理解和掌握此類題目的解題方法，并在日后遇到此類問(wèn)題時(shí)能高效解決.

二、構(gòu)造圖形，凸顯關(guān)鍵

在高中數(shù)學(xué)中，最值問(wèn)題是學(xué)生感到最頭疼的內(nèi)容，究其原因是抓不住題中的關(guān)鍵點(diǎn).筆者認(rèn)為，通過(guò)構(gòu)造圖形，凸顯關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，是最為簡(jiǎn)單有效的解題方法.

例如，在求最值問(wèn)題時(shí)，筆者通過(guò)以下問(wèn)題指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題，如已知關(guān)系式y(tǒng) = cosθ-31/2/sinθ+1，求y的最小值.筆者會(huì)先引導(dǎo)學(xué)生尋找題干中的關(guān)鍵點(diǎn)，如該關(guān)系式恒過(guò)定點(diǎn)A（sinθ，cosθ），B（-1，31/2），這是學(xué)生可以從題干中分析出來(lái)的，而A是圓x2+y2=1上的點(diǎn)，B則是定點(diǎn)，對(duì)此可以利用已知構(gòu)造圖形，通過(guò)在坐標(biāo)系中表示各數(shù)據(jù)，連接BO、AO之后，再尋找它們的關(guān)系，分析判斷之后便可以得出AO=1，而通過(guò)B的坐標(biāo)點(diǎn)得出BO=2，DO=AO=1，根據(jù)學(xué)過(guò)的三角形知識(shí)可知∠ABO=∠DBO=30°，則關(guān)系式y(tǒng) = cosθ-31/2/sinθ+1的最小值就為tan150°的值，即為-31/2/3，至此問(wèn)題迎刃而解.

這樣的教學(xué)，使學(xué)生學(xué)會(huì)通過(guò)構(gòu)造圖形尋找最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)關(guān)系，則在解決問(wèn)題時(shí)，便凸顯出了關(guān)鍵點(diǎn)，為學(xué)生分析難題提供了行之有效的方法.

三、轉(zhuǎn)化圖形，尋求正解

利用習(xí)題中的條件尋找某種關(guān)系，然后將其轉(zhuǎn)化為圖形，再分析圖中蘊(yùn)含的條件，可以有效地提升學(xué)生的解題效率.筆者認(rèn)為，在解題時(shí)，還可根據(jù)題意轉(zhuǎn)化圖形，在轉(zhuǎn)化圖形的過(guò)程中，尋求題目的正確解答.這樣的方式，可以幫助學(xué)生全面分析問(wèn)題，防止遺漏.

例如，已知A集合為[x|-2≤x≤a]，B集合為[z|z=2x+3，x∈A]，C集合為[y|y=x2，x∈A]，且C屬于A，求a的取值范圍.在這種題型中，有4種情況出現(xiàn)，且4種情況缺一不可，雖然有時(shí)不會(huì)影響到最后取值，但在解題過(guò)程中也應(yīng)注明，這樣才可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}思路.如z =2x+3，在A集合范圍中是遞增函數(shù)，因此，學(xué)生可以得出B集合為[z-1≤z≤2a+3]，到這步時(shí)，學(xué)生基本是可以掌握的.而在分析C集合時(shí)，則會(huì)有多種情況出現(xiàn).筆者引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)繪制圖形及轉(zhuǎn)換圖形，分[-2≤a≤0]、[0≤a≤2]、[a>2]、[a≤-2]四種情況進(jìn)行分析，根據(jù)C [∈] B的條件，則分析轉(zhuǎn)換圖形中發(fā)現(xiàn)，第一種情況，當(dāng)a[∈][-2，0]時(shí)，a2 ≤ z ≤ 4，則2a+3 ≥ 4，解得a ≥1/2，則與前提條件-2 ≤ a ≤ 0相矛盾，所以第一種情況是矛盾的，則需要將其排除.同樣的，利用這種方式，分析其他三種情況，符合條件的留下，不符合的排除，最后便總結(jié)得出a的取值范圍為（-∞，-2）∪[1/2，3].

在不停地轉(zhuǎn)化圖形的過(guò)程中，則可以全面地分析出題意包含的各種情況，可以達(dá)到精準(zhǔn)求解的目的，在解決選擇題和填空題時(shí)應(yīng)用這種方式，可以有效提升解題效率.因此，筆者在指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)解題時(shí)經(jīng)常采用這種方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.

四、觀察圖形，判斷驗(yàn)證

在解決完問(wèn)題之后，可通過(guò)觀察解題的圖形進(jìn)行判斷和驗(yàn)證，來(lái)確定自我求解過(guò)程是否正確，因?yàn)樵谇蠼庖恍﹩?wèn)題時(shí)，在高中數(shù)學(xué)范圍內(nèi)，所求值可能是位于交點(diǎn)處.因此，可通過(guò)觀察解題的圖形，判斷驗(yàn)證求值是否正確.

例如，在解決“根據(jù)以下三個(gè)不等式x ≥1，x-y ≤ 0，x+2y-9 ≤ 0，求出x+y的最大值”這道題時(shí)，學(xué)生通常會(huì)將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，然后讓其相等，建立方程，求出交點(diǎn)值，至此便認(rèn)為可以求出x+y的最大值.筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生的這種問(wèn)題后，便在指導(dǎo)解題時(shí)，偏向引導(dǎo)學(xué)生畫出線性規(guī)劃的坐標(biāo)圖，標(biāo)注出其中的陰影部分，然后再分析最值.筆者認(rèn)為這樣更為嚴(yán)謹(jǐn)且不容易出錯(cuò)，即y=x，y=-1/2x+9/2，然后求解最值，在求各個(gè)交點(diǎn)值之后，得出最大值點(diǎn)是（3，3），即x+y的最大值為6，便可結(jié)合圖形判斷原求值是否正確.在圖形中，可以按照分析斜率的大小關(guān)系，判斷出最大值應(yīng)該出現(xiàn)在何處;同樣的，還可以通過(guò)圖形判斷最小值和計(jì)算最小值等問(wèn)題.

通過(guò)觀察圖形這種方式，可使學(xué)生快速找到思路，判斷驗(yàn)證求解過(guò)程，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.

總之，在教學(xué)中，利用數(shù)形結(jié)合思想指導(dǎo)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，有助于學(xué)生高效解題和理解掌握知識(shí)點(diǎn).高中數(shù)學(xué)相比于初中數(shù)學(xué)和小學(xué)數(shù)學(xué)更加抽象，因此教師必須在解題過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生打破抽象的表象，利用圖形分析出它的本質(zhì)內(nèi)容，從而有效提升學(xué)生的解題能力.

（特約編輯 安? ?平）