淺談如何培養(yǎng)中學(xué)生的幾何直觀能力

摘 要：發(fā)展幾何直觀能力是時代發(fā)展的需要，從數(shù)學(xué)的角度來看數(shù)與形不分離，抽象的數(shù)量關(guān)系從圖形的角度可以得到完美的解釋。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，應(yīng)學(xué)會用圖形交流，用圖形描述問題、解決問題的思維習(xí)慣。幾何直觀的能力是以上這些的綜合體。這就要求老師增強發(fā)展學(xué)生幾何直觀的意識，將這一目標(biāo)滲透到日常的教學(xué)中，以圖形示范、識圖作圖、數(shù)形結(jié)合、變式訓(xùn)練，促進(jìn)學(xué)生幾何直觀能力的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：幾何直觀；圖形示范；識圖作圖；數(shù)形結(jié)合；變式訓(xùn)練

一、 對幾何直觀的理解

我們的學(xué)生從學(xué)校走上社會，服務(wù)于某個行業(yè)，有競爭有壓力。怎樣適應(yīng)社會的變化，學(xué)生創(chuàng)造思維至關(guān)重要。在教學(xué)過程中，讓他們具備發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力以及開拓創(chuàng)新的精神是未來年青一代要應(yīng)對并勝任現(xiàn)代社會生活的需要。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，更重要的是能夠發(fā)展學(xué)生的形象思維能力。

幾何直觀能力是這兩種能力的綜合體，在抽象的文字下，尤其需要圖形的直觀形象，這里充滿智慧的結(jié)晶，從這一點上看，重視學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)已經(jīng)超越了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，意義重大，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于對幾何圖形本身學(xué)習(xí)的范圍。

新課標(biāo)（2011）里，明確對幾何直觀做出解釋，對學(xué)生幾何直觀的發(fā)展提出目標(biāo)。幾何直觀的培養(yǎng)成為一個熱門的話題，一線教師深刻體會到落實新課程精神，關(guān)注學(xué)生幾何直觀能力的發(fā)展，并且落實到每一節(jié)課的教學(xué)當(dāng)中。

幾何直觀能力在于學(xué)生能不能應(yīng)用圖形，把復(fù)雜變?yōu)楹唵?，從直觀的幾何圖形中尋求解題思路。這一能力的發(fā)展，我認(rèn)為應(yīng)從數(shù)學(xué)語言入手，通過識圖、作圖能力等能力培養(yǎng)，全力促進(jìn)學(xué)生幾何直觀能力的發(fā)展。

二、 初中生在幾何直觀方面存在的問題

中學(xué)階段，每個學(xué)生幾何直觀能力的高低，更多地體現(xiàn)在能否用圖形表示問題，能否懂得用圖形分析問題，解決問題。這是一種思維習(xí)慣，只是有些學(xué)生還沒有這樣的習(xí)慣，有待老師的培養(yǎng)。學(xué)生的幾何直觀能力表現(xiàn)出以下問題：

1. 數(shù)與式、圖形與幾何這兩塊知識在學(xué)生的心里有了領(lǐng)域之分，不能有機整合。

2. 學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時對數(shù)學(xué)定義、定理的掌握只停留在字面上的描述，以至于對符號語言、圖形語言根本沒放在心上。學(xué)生看到數(shù)學(xué)對象的文字描述時，無法自然地用圖形表示。

3. 學(xué)生數(shù)學(xué)基本結(jié)構(gòu)的積累少，當(dāng)遇到知識的直接應(yīng)用的題目時，尚可應(yīng)付，但是一旦遇到綜合題時，就不能抽象出基本結(jié)構(gòu)，理不清數(shù)量關(guān)系、幾何關(guān)系，不會構(gòu)圖，做不出輔助線，最終無法解決問題。

三、 如何培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力

（一） 圖形示范，感知幾何直觀的價值，樂于借助幾何直觀

在幾何定義教學(xué)時，初中階段學(xué)生在已有的知識經(jīng)歷中對某些幾何定義已經(jīng)有了初步的認(rèn)識，學(xué)生從直觀的角度并不陌生。但是如何從量的角度去衡量它，卻是要求每個學(xué)生必須抓住事物本質(zhì)，進(jìn)行仔細(xì)辨析。本質(zhì)來自物體共性的歸納，用看得到的實物做數(shù)學(xué)概念的引入，讓學(xué)生在直觀中觀察、探究，學(xué)生更容易理解數(shù)學(xué)知識的核心。

例如：講授旋轉(zhuǎn)時，引用蕩秋千、風(fēng)車、電風(fēng)扇，總結(jié)旋轉(zhuǎn)的三要素；講授等腰三角形時，引用埃菲爾鐵塔、長江大橋、金字塔、建筑物建立等腰三角形的幾何特征；用正方體搭建立體圖形，感受三視圖視線角度的不同帶來圖形的變化；用多媒體技術(shù)進(jìn)行演示，還原圖形的產(chǎn)生過程，這樣，可以使學(xué)生的幾何直觀能力得到進(jìn)一步的發(fā)展。

幾何直觀在學(xué)習(xí)圖形與幾何、數(shù)與代數(shù)等領(lǐng)域的內(nèi)容時都會運用到，具有幾何直觀的意識關(guān)系到能否順利解決“圖形與幾何”“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的問題。在教學(xué)中，教師必須把幾何直觀作為培養(yǎng)目標(biāo)，有意識地在恰當(dāng)?shù)臅r候進(jìn)行圖形示范，培養(yǎng)借助圖形解決問題的習(xí)慣，讓學(xué)生在遇到數(shù)學(xué)難題時，能主動地想到把數(shù)學(xué)問題用圖形的方法直觀形象地呈現(xiàn)出來，清楚地表示出問題情境里的信息，感受到幾何直觀在解決問題時體現(xiàn)的價值。

（二） 識圖、作圖能力的培養(yǎng)，提高學(xué)生幾何圖形的表達(dá)能力

數(shù)學(xué)語言，它是數(shù)與形，文字和圖形互相轉(zhuǎn)換的基礎(chǔ)。只有掌握數(shù)學(xué)語言，在文字、符號、圖形三者間靈活互譯，才能準(zhǔn)確的認(rèn)識圖形，才能構(gòu)造合理的幾何圖形，才能有“圖”可借，探索解題思路。

首先，教師要準(zhǔn)確地使用數(shù)學(xué)語言。比如，不能把“直徑所在的直線是圓的對稱軸”說成是“直徑是圓的對稱軸”，不能把“周角”說成“圓周角”。

其次，要有意識地通過文字、符號、圖形語言的互譯培養(yǎng)學(xué)生使用圖形來表達(dá)的能力。在數(shù)學(xué)中純文字的定理比較抽象，我們可以讓學(xué)生把文字轉(zhuǎn)換為符號或者圖形來表述，促進(jìn)對知識點的理解（當(dāng)然該識記的要識記）。比如，從以下三個角度理解角平分線的定義。

（1）從文字的角度描述定義：從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的角平分線。

（2）從符號語言的角度描述定義：

∵∠AOC=∠BOC

∴OC平分∠AOB

（3）從圖形語言的角度描述定義：

最后，鼓勵學(xué)生多動手實踐，從畫基本圖形開始，逐步提升作圖能力。為能直觀分析數(shù)學(xué)對象開辟新方法。

例如，教學(xué)這一道純文字形式呈現(xiàn)的問題：

點P與圓O上某點的最長距離為10，最短距離為8，求圓O的半徑。

先閱讀題目，后讓學(xué)生獨立思考。有的學(xué)生已經(jīng)動手畫圖，有的學(xué)生光看文字，一下子不能找到方法。因此老師先引導(dǎo)學(xué)生借助畫圖來整理信息，讓學(xué)生畫出兩種可能的圖形，清楚的表示出題目的信息，再引導(dǎo)學(xué)生對示意圖形和文字描述進(jìn)行比較，從而突出示意圖簡明形象的作用。最后請一個同學(xué)總結(jié)一下他的解題反思，再次強調(diào)畫圖的意義，讓學(xué)生在下一次的數(shù)學(xué)活動中能主動地用圖形來表示、分析、解決問題。

（三） 數(shù)形結(jié)合，助力學(xué)生借助幾何直觀思維方式的養(yǎng)成

借助“形”的直觀來分析“數(shù)”的規(guī)律，可使抽象的代數(shù)問題變得形象直觀，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，找到解題思路，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

例如，計算1+3+5+7+9+11+…+（2n-1）的值。

讓學(xué)生通過想象（“1”代表一個小正方形）1+3+5這個式子能是什么樣的圖形（3×3的正方形），然后讓學(xué)生用教學(xué)課件將不同顏色的小正方形拉到3×3的正方形里，形象直觀。如圖

接著又追問：如果把正方形拉開，你又能看到什么式子？

引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，發(fā)現(xiàn)數(shù)和形的結(jié)合點，最后找到答案1+3+5+7+9+11+…+（2n-1）=n×n。

借助圖形把繁難抽象的代數(shù)證明歸納，變?yōu)楹唵?，把抽象變得直觀，有著啟發(fā)解題思路的作用。

（四） 變式訓(xùn)練，讓學(xué)生形成清晰的幾何直觀模型

幾何直觀依賴圖形。重視習(xí)題變式訓(xùn)練，突出此類圖形本質(zhì)特征，學(xué)生積累更多的基本圖形，更好為幾何直觀的發(fā)展儲備圖形背景。

基本圖形在解決幾何綜合題中所起的作用是不可缺少的，學(xué)生積累越豐富，就越容易把抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為直觀的表象，更能從總體上把握問題，預(yù)測結(jié)果。因此應(yīng)以幫助學(xué)生理清關(guān)鍵點，準(zhǔn)確把握基本圖形的幾何特征，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀。

學(xué)生對基本圖形的結(jié)構(gòu)特征需要進(jìn)行辨析、反思、提升，才能靈活運用。

比如，設(shè)計勾股定理課后練習(xí)時，安排以下題目。

1. 下列說法正確的是（ ）

A. a、b、c是△ABC的三邊，則a2+b2=c2

B. a、b、c是Rt△ABC的三邊，則a2+b2=c2

C. a、b、c是Rt△ABC的三邊且∠A=90°，則a2+b2=c2

D. a、b、c是Rt△ABC的三邊且∠C=90°，則a2+b2=c2

2. 如圖，Rt△ABC，a=3，b=4，則c= 。

3. 在直角三角形中，已知兩邊長是3和4，求第三邊的長度？

練習(xí)題分別從文字的角度辨析勾股定理的含義，從圖形的角度建立勾股定理的幾何結(jié)構(gòu)，用純文字的題目，引導(dǎo)學(xué)生借助圖形考慮分類的需要，進(jìn)一步加深對定理的理解。

這種圍繞著同一個知識點層層遞進(jìn)的訓(xùn)練，讓學(xué)生經(jīng)歷對易錯點的反復(fù)辨析，在實踐中，強化知識的基本特征，建立了清晰的圖形結(jié)構(gòu)，有效促進(jìn)幾何直觀的發(fā)展。

總之，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力，目的在于培養(yǎng)學(xué)生的思維。讓學(xué)生在思考問題時，能夠開辟新通道，借助于圖形，能夠簡單，直觀的說明、解決問題。從學(xué)生體會到幾何直觀的價值到有意識的積累幾何結(jié)構(gòu)，最終在解決數(shù)學(xué)問題中應(yīng)用的各個環(huán)節(jié)中都離不開老師的引導(dǎo)。數(shù)學(xué)教師應(yīng)充分把握教學(xué)過程中的每一個細(xì)節(jié)，為學(xué)生幾何直觀的發(fā)展創(chuàng)造更多的條件，促進(jìn)學(xué)生幾何直觀的漸進(jìn)發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡介：

林龍強，福建省廈門市，福建省廈門市柑嶺中學(xué)。