從三道高考數(shù)學(xué)解析幾何姊妹題談新課程理念

廣東 王 翠 王 飛

一、問題的提出

一年一度的高考過后，筆者認真研讀了2018年高考數(shù)學(xué)理科的18份試卷，其中有不少新穎別致、富有創(chuàng)意的試題出現(xiàn)，但命題專家在對解析幾何部分知識進行考查時，對“解析幾何+直線”的命題模式仍是不舍不棄，例如在同年的理科數(shù)學(xué)試卷解答題中，天津卷第20題、遼寧卷第20題、福建卷第9題、陜西卷第20題、重慶卷第14題、湖北卷第20題、上海卷第23題等都有所體現(xiàn)．尤其是全國卷Ⅰ(理科)的第8題、第11題和第19題第Ⅱ問(2017年也同樣出現(xiàn)在理科試題中)、以姊妹題的方式呈現(xiàn)在高考卷中，令人賞心悅目，引起了筆者極大的探究興趣．這一切說明什么？是命題“偶然”或“必然”，還是源于對新課程理念的凸顯？唯有領(lǐng)略考題智慧，才能挖掘深刻的內(nèi)涵.

1.考題再現(xiàn)

( )

A.5 B.6

C.7 D.8

例2(2017·全國卷Ⅰ理·10)已知F為拋物線C:y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1,l2，直線l1與C交于A,B兩點，直線l2與C交于D,E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為

( )

A.16 B.14

C.12 D.10

( )

(Ⅰ)當(dāng)l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

(Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點，證明：∠OMA=∠OMB.

(Ⅰ)求C的方程；

(Ⅱ)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點.

2.姊妹題表征的相似性

例1和例2處在選擇題的第8題和第10題的位置，難度屬中檔題，運算量不太大，其表征都涉及“拋物線與直線相交的問題”，而且給出的拋物線都是開口向右的同一條拋物線，只是所涉及的求解目標(biāo)不同而已.例3和例4兩題處在選擇題、填空題的中后位置，難度屬中檔題，兩題都涉及雙曲線及其漸近線的相關(guān)問題，兩題的表征都涉及“與雙曲線漸近線相交的問題”， 只是所涉及的求解目標(biāo)不同而已.例5和例6 兩題為圓錐曲線的解答題，第Ⅱ問屬于壓軸題部分，兩題的表征都是涉及“橢圓與直線相交的問題”，都需要聯(lián)立直線方程與橢圓方程，通過消元，利用韋達定理求解化簡即可，運用到了“設(shè)而不求”的解題思想和命題理念.

從題目所涉及的知識點與題型結(jié)構(gòu)看：姊妹題表征的相似性體現(xiàn)得很完美，讓人自然產(chǎn)生探究的興趣，進而引出了一個可探究的靈動空間．仔細翻閱2018年各地的高考數(shù)學(xué)試卷中的解析幾何題，與上述例題的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)相同的還有全國卷Ⅲ理科的第16題、遼寧卷理科第20題第Ⅱ問等，這些題目的出現(xiàn)是偶然？還是必然？可以肯定地說，它們都是緣于對新課程理念的凸顯而設(shè)置的高考試題，是命題人在不同地域貫徹新課程理念命題的體現(xiàn)，在編寫數(shù)學(xué)試題時對考查部分?jǐn)?shù)學(xué)主干知識、核心概念而采用題型設(shè)置上出現(xiàn)偶然“相遇”的相似因素．從這里可以進行探究，從而把握高考命題的思想、理念和核心.

二、解法剖析

通過上述對姊妹題表征相似性的分析，對其解法做進一步的剖析和思考，發(fā)現(xiàn)姊妹題的解法也具有相似性．下面只對2018年三道題的解題思路和方法進行深層次的剖析.

1.例1的幾種解法

與y2=4x聯(lián)立得y2-6y+8=0，解得yM=2,yN=4.

進而可得點M(1,2),N(4,4).

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)，

=(x1-1)(x2-1)+y1y2

=4-5+1+8

=8.

例1和例2的解題思路和解題方法基本一樣，只是題目的表征有一點差異，可以說不同的題目用相同的解法去解決，再加上題目的結(jié)構(gòu)特征如拋物線的方程一樣，又有相同位置的焦點(右焦點)和截拋物線的直線，一個目標(biāo)是求向量的數(shù)量積，另一個目標(biāo)是焦點弦長的和的最小值．這兩題在2017年、2018年連續(xù)兩年出現(xiàn)，即使是“偶然”，也有“寓意”，更加凸顯了新課程理念是編寫高考數(shù)學(xué)試題的基本思想，其內(nèi)涵豐富，進一步確定了直線與圓錐曲線的關(guān)系是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容和高考的核心，也給數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了很大的啟發(fā).

2.例3的解法

則∠MOx=∠NOx=30°，不妨設(shè)OM⊥MN,

且|FN|=|OF|=c.

則∠MOx=∠NOx=30°，不妨設(shè)OM⊥MN,

例3和例4的幾種解題思路、解法也具有相似性，它們都是圍繞雙曲線及其漸近線的幾何性質(zhì)進行解題，難度不大，方法多樣，既體現(xiàn)了高考命題的思想，又考查了考生對主干知識和核心概念的理解與應(yīng)用，兩題的結(jié)構(gòu)差不多，都需要去挖掘題目所給的已知條件，利用特殊三角形的性質(zhì)進行求解，兩題實屬同一類型的試題，差異在于題目的所求目標(biāo)不同.在2017年、2018年連續(xù)兩年出現(xiàn)，實屬“偶然”，并非“必然”，只要細細揣摩，定是專家命題時為了“有意”凸顯新課程理念，所選的載體相似而無意造成的“有意”.其目的只有一個，就是讓高考數(shù)學(xué)試題凸顯新課程理念，并在高考復(fù)習(xí)中起到導(dǎo)向作用，構(gòu)建了以直線為橋梁來解決有關(guān)問題的新模式，給數(shù)學(xué)教學(xué)帶來新的啟發(fā).

3.例5的解法(主要針對第Ⅱ問)

解法一：當(dāng)直線l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°;

當(dāng)直線l與x軸垂直時，OM為線段AB的垂直平分線，則∠OMA=∠OMB；

當(dāng)直線l與x軸不重合也不垂直時，設(shè)直線l的方程為y=k(x-1)(k≠0)，點A(x1,y1),B(x2,y2)，

由y1=kx1-k,y2=kx2-k，

從而kMA+kMB=0 ，故MA,MB的傾斜角互補，所以∠OMA=∠OMB.

綜上，∠OMA=∠OMB.

解法二:換一種直線方程的設(shè)法.

①當(dāng)直線l平行于x軸，即l：y=0時，A,B為長軸的端點，顯然有∠OMA=∠OMB=0°.

②當(dāng)直線l不平行于x軸時，可設(shè)l：x=my+1，與橢圓方程聯(lián)立后并整理得(m2+2)y2+2my-1=0,

設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2)，

=0,

這也就意味著直線MA,MB的傾斜角互補，所以∠OMA=∠OMB.

綜上，∠OMA=∠OMB.

【評析】例5的解法一和解法二具有相似的地方，即坐標(biāo)法；也有不同的地方，即直線方程的選取不同.總的解題思路就是通過聯(lián)立直線方程與橢圓方程，通過韋達定理進行化簡求解，都運用到了“設(shè)而不求”的解題思想，運算量不算大.而例6的第Ⅱ問，同樣是利用韋達定理以及“設(shè)而不求”的解題思想.兩道題都涉及兩條直線的斜率之和的求解，都需要考生具備一定的運算能力，意在培養(yǎng)考生解題能力和運算能力.這兩題在2017年、2018年連續(xù)兩年出現(xiàn)，并非“偶然”.此外，從兩題的位置來看，2017年處在第20題的位置，而2018年處在第19題的位置；從試題的難易程度上講，2018年的第Ⅰ問和第Ⅱ問，明顯比2017年的兩問要簡單很多，而且運算量也相對小一些.這是否意味著今后高考解析幾何的解答題會降低難度呢？認真揣摩，定是命題專家為了“有意”凸顯新課程理念，而巧設(shè)的命題導(dǎo)向.

三、探究命題思想，揣摩考題核心

1.姊妹題“巧合”點

主要從知識點的表征和數(shù)學(xué)試題的結(jié)構(gòu)特點進行分析.

例1和例2兩題都是圍繞一條曲線，即拋物線進行設(shè)計.給出的拋物線都是開口向右的，所給直線具有“過定點”的特殊性，表明了與x軸交點的坐標(biāo)，涉及拋物線與直線的位置關(guān)系，即相交．例1(2018年)涉及焦半徑所在向量的數(shù)量積問題，例2(2017年)涉及焦點弦長問題，其實質(zhì)都是直線與拋物線相交而引發(fā)的相關(guān)問題.

例3和例4兩題都是圍繞雙曲線及其漸近線設(shè)計的試題，主要考查雙曲線及其漸近線的幾何性質(zhì)，例3和例4所給試題的結(jié)構(gòu)、形式及考查的實質(zhì)是一樣的，都要挖掘題目所給的條件，得出一個特殊三角形后再求解，解題方法幾乎是一樣的，只是所求目標(biāo)和數(shù)據(jù)不同而已.

例5和例6兩題都是圍繞橢圓設(shè)計的試題，主要考查橢圓與直線相交的問題以及考生的解題能力和運算能力，都采用了韋達定理和“設(shè)而不求”的解題思想，體現(xiàn)了歷年來全國高考數(shù)學(xué)“亙古不變”的命題導(dǎo)向以及新課程理念.

2.命題人“有意”凸顯新課程理念

命題人凸顯新課程理念是“有意”的：主要體現(xiàn)在命題人對數(shù)學(xué)試題的設(shè)計思想、理念．命題人為了凸顯數(shù)學(xué)主干知識、核心概念，以及能力立意等方面，滲透了對數(shù)學(xué)知識點和數(shù)學(xué)思想方法的考查，數(shù)學(xué)能力及綜合素質(zhì)的考查等幾個方面.

(1)命題思想的“凸顯”

例1在考查知識點上的特點，包含了高中數(shù)學(xué)所要重點考查的解析幾何中圓錐曲線的定義，性質(zhì)，直線與其位置關(guān)系.這說明了命題人的命題思想是“注重大家關(guān)注的高考重點，同時凸顯對解析幾何與直線的綜合是高考的熱點問題”.體現(xiàn)這一命題思想在同年的數(shù)學(xué)卷(理科)中有：天津卷第20題、遼寧卷第20題、福建卷第9題、陜西卷第20題、重慶卷第14題、湖北卷第20題、上海卷第23題等．可見在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性，從而才有命題人“冒險”出此“奇招”進行命題，可謂匠心獨具.

(2)設(shè)計思想的“凸顯”

2018年的三題(例1和例3和例5)是理科題，與2017年的三題(例2和例4和例6)是“同類同型”的姊妹題，這就足以說明命題者重點強調(diào)這三道題所含的解析幾何的基本思想，目的是體現(xiàn)對解析幾何的基本特點和性質(zhì)的考查，同時加強對數(shù)學(xué)思想方法的考查，突出能力與素質(zhì)導(dǎo)向的考查，深化能力立意，表現(xiàn)在思維容量較大，運算量較小，幾乎不涉及技巧，僅是對解析幾何的基本方法(即坐標(biāo)法)和幾何意義的理解與應(yīng)用的考查.這三道題是對圓錐曲線與直線位置關(guān)系的考查，又在直線與解析幾何知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計試題，拓寬了解析幾何命題的思路，再加上連續(xù)兩年出現(xiàn)，更加“凸顯”了命題專家的設(shè)計思想.

(3)知識點的“凸顯”

通過上述設(shè)計思想的“凸顯”分析，大家已經(jīng)明白，例1、例2、例3、例4、例5和例6的命題方式，即知識點(直線、雙曲線、橢圓、拋物線)的選取、相關(guān)量(向量等式、數(shù)量等式、個別數(shù)據(jù)等)的表示方式、位置關(guān)系(直線與曲線的位置、直線與x軸交點)的形式體現(xiàn)等等，給解題者的感覺是命題時“有意”進行了合理的、恰當(dāng)?shù)木幣牛?018年的三題例1和例3和例5與2017年的三題例2和例4和例6是“同類同型”的姊妹題.這樣進行數(shù)學(xué)命題，“凸顯”了數(shù)學(xué)命題是從數(shù)學(xué)整體意義上設(shè)計試題，強化數(shù)學(xué)的主干知識和核心概念，重點關(guān)注解析幾何中的直線與圓錐曲線位置關(guān)系在高中數(shù)學(xué)和高考中的重要地位，即重視對數(shù)學(xué)各知識點的整體性和綜合性的考查.

(4)解題思路的“凸顯”

從對例1和例2的解法點評中可以看出，兩題的幾種思路、對應(yīng)的解法既有差異又很接近，但都是以坐標(biāo)法為主，同時依據(jù)拋物線幾何意義給解題帶來的方便，很快地解決問題．例3和例4兩題的解法點評中可以看出，兩題的解題思路、對應(yīng)的解法幾乎一樣，都運用到了特殊三角形的性質(zhì)進行解題.例5和例6兩題的第二問的解法點評中也可以看出，兩題的解題思路、解法步驟幾乎一樣，都運用到了韋達定理和“設(shè)而不求”的解題思想.只不過在直線方程的選取上，設(shè)法不同，運算量也會有所不同，但是總的解題思路是不變的.

總之，2018年與2017年的三對姊妹題在解法上有著極其相同的解題思路和解題方法，2018年的其他省市的高考題中也有此類題，這就“凸顯”了淡化特殊技巧，強調(diào)對數(shù)學(xué)思想方法的考查.這一點是高考命題專家共同認可的，在高考題中體現(xiàn)得非常明顯.

3.透過姊妹題“偶然”呈現(xiàn)，揣摩高考命題的核心

仔細分析上述各題，發(fā)現(xiàn)這些題考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，數(shù)學(xué)思想的合理運用、解題的策略以及運算能力，還有數(shù)學(xué)知識的遷移能力等幾個方面．從中進一步還會讀出高考命題的核心，主要有以下幾點：重視數(shù)學(xué)思維能力的考查力度，表現(xiàn)在對“解題策略”的注重；突出數(shù)學(xué)思想方法，表現(xiàn)在對“通性通法”的注重；突出計算能力的考查力度，表現(xiàn)在對“數(shù)學(xué)式子的化簡”的注重.如例1、例2、例5、例6的幾種解法中對計算能力的考查很明顯，例3、例4的幾種解法表明突出幾何意義，題目的難度也會降低，突出了數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法及運算能力的考查，從而體現(xiàn)了命題人主干知識重點考的命題理念.作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該探索高考數(shù)學(xué)題“考什么”和“揭示了什么”，進一步揣摩“高考的核心”，這是探究問題應(yīng)具有的態(tài)度，從而會進入“悟”其必然，“品”其數(shù)學(xué)味的意境.

四、深究新課程理念的“凸顯”，思考2019年的命題變化

從上述的分析可知，解析幾何與直線的綜合仍是高考的熱點問題，尤其用幾何性質(zhì)解決解析幾何問題更能體現(xiàn)新課程的理念.2018年數(shù)學(xué)卷在這方面的命題方式不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，突出了選拔功能，為實施課程改革的省份和2019年剛實施課程改革的省份提供了導(dǎo)航方向和對接的平穩(wěn)過渡.因此，2019年的全國卷解析幾何部分的命題不會有大的變化，依然是“解析幾何+直線”的綜合考查模式，仍是高考數(shù)學(xué)的熱點問題，在命題形式上仍有所體現(xiàn)，但力度不會大，試題難度會稍微有所下降.