在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中突破常規(guī)提高解題效率的案例拾擷

河北 劉立濤

數(shù)學(xué)解題不僅是對數(shù)學(xué)知識(shí)本身的鞏固與應(yīng)用，在人的思維發(fā)展和嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)態(tài)度等方面的培養(yǎng)上也起著不可替代的作用，人們在對數(shù)學(xué)解題方法的探索上更是永無止境.那么，什么方法才是好的方法？什么方法才是高中生應(yīng)該掌握的方法？怎樣才能讓他們掌握這些方法？這一系列中的每一個(gè)問題都夠一個(gè)老師研究一輩子.筆者結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，將幾個(gè)較為典型的問題拿來和大家一起探究一下.

案例一——函數(shù)值域的求法

事實(shí)上，經(jīng)觀察，該函數(shù)是單調(diào)遞增的，只需代入端點(diǎn)值即可.求值域問題一般來講主要是兩個(gè)方法：一、基本不等式法；二、函數(shù)單調(diào)性法.特別是函數(shù)單調(diào)性法主要研究兩點(diǎn)：一、研究哪個(gè)函數(shù)的單調(diào)性？于是就產(chǎn)生了我們平常經(jīng)常用到的“換元法”、“分離常數(shù)法”等，實(shí)質(zhì)上這些方法都是對原函數(shù)進(jìn)行值域上的等價(jià)變換.最終都是運(yùn)用變換之后的函數(shù)的單調(diào)性來求值域的；二、如何研究單調(diào)性？于是就有了所謂“求導(dǎo)法”或者變換為“常用初等函數(shù)法”等，而研究函數(shù)的單調(diào)性，“肉眼觀察法”才是基本功，才是第一方法.

案例二——線性規(guī)劃問題

常規(guī)套路：1、將z=2x+y轉(zhuǎn)化為y=-2x+z，利用z的截距意義進(jìn)行討論求解；

2、將2x+y理解成向量a=(2,1)與向量b=(x,y)的數(shù)量積.利用向量b=(x,y)在向量a=(2,1)上的投影的大小來解題.

事實(shí)上，“ax+by”作為一種運(yùn)算形式，2x+y的最小值必然應(yīng)該在可行域內(nèi)尋找x，y都相對比較小的值，從圖象可知即在該可行域內(nèi)尋找最左下方的點(diǎn)，即為A點(diǎn).通常的教學(xué)中，我們往往容易忽視這種代數(shù)和的最本源的運(yùn)算意義和思想，無辜地走了一些彎路，也讓學(xué)生鉆到了解題的套路中.

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案例三——立體幾何求解問題

例題：直角三角形ABC中，AB=2BC=8，將△ABC沿著中位線DE折疊，得到如圖所示的四棱錐A-BCDE,其中DA⊥DC.求平面ABE與平面ACD所成銳二面角的余弦值.

常規(guī)套路：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解題(方法略).

事實(shí)上，將BE和DC進(jìn)行延長相交于點(diǎn)F，連接AF.在△ABF中，因?yàn)镋F=AE=BE，所以∠FAB=90°，同理可證，∠FAC=90°，根據(jù)二面角的平面角的定義，易知，∠BAC即為平面ABE與平面ACD所成銳二面角的平面角.空間想象和直觀想象一直是考試大綱要求的核心能力和素養(yǎng)，能夠通過直觀判斷找到二面角的平面角會(huì)相應(yīng)減少空間向量的運(yùn)算量.求角問題中的補(bǔ)形與找角往往可以使問題的解答更直觀和簡單.

練習(xí)：如圖，正方形AMDE的邊長為2，B，C分別為AM，MD的中點(diǎn)，在五棱錐P-ABCDE中，F(xiàn)為棱PE的中點(diǎn)，平面ABF與棱PD，PC分別交于點(diǎn)G，H.若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直線BC與平面ABF所成角的大小，并求線段PH的長.

案例四——解析幾何計(jì)算面積問題

解析幾何中的運(yùn)算相對繁瑣，我們不提倡利用諸如“圓錐曲線硬解定理”之類的方法和方式增加學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān).但是，如果對有些內(nèi)容和知識(shí)的推理上再精進(jìn)一步，往往會(huì)讓運(yùn)算變得相對簡單一些.

(Ⅰ)求E的方程；

(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.

案例五——解三角形的平面幾何知識(shí)的應(yīng)用

解三角形問題本質(zhì)上就是解決三角形的問題，屬于平面幾何范疇.所以，在解決解三角形問題的時(shí)候，如果能結(jié)合圖象特征和幾何性質(zhì)往往會(huì)有效地減少運(yùn)算量.

例題：在△ABC中，D，E是BC邊上兩點(diǎn)，BD，BA，BC構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，BD=6，∠AEB=2∠BAD，AE=9，則三角形ADE的面積為

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A．31.2 B．32.4

C．33.6 D．34.8

通常解法：正弦余弦定理(解法略)解法繁瑣

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解法點(diǎn)撥：取AC的中點(diǎn)F，連接EF，解三角形EFD即可求出∠EDF.而∠EDF與∠A互余.

后記：