提升不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的核心素養(yǎng)的策略研究

山東 王中華

核心素養(yǎng)著力培養(yǎng)的是提高學(xué)生面對(duì)復(fù)雜情境問題的解決能力，使之能夠適應(yīng)飛速發(fā)展的信息時(shí)代和復(fù)雜多變的未來社會(huì).學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)，主要指學(xué)生應(yīng)具備的，能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力.逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)；用數(shù)學(xué)的思維分析世界，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界，發(fā)展數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)．本文通過具體的例子探討六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的滲透.

素養(yǎng)一、數(shù)學(xué)抽象

樣題1.若對(duì)于定義在R上的函數(shù)f(x)，其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，則稱f(x)是一個(gè)“λ伴隨函數(shù)”.下列是關(guān)于“λ伴隨函數(shù)”的結(jié)論：

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A.1 B.2

C.3 D.4

【素養(yǎng)在線】本題考查“新定義”，解題的關(guān)鍵是正確理解“新定義”，并用“新定義”解決問題，主要是能將“新問題”轉(zhuǎn)化為“老問題”、用“老方法”解決問題.此類題型是高考的一個(gè)亮點(diǎn),是用數(shù)學(xué)符號(hào)、文字?jǐn)⑹鼋o出一個(gè)教材之外的新定義，如本題中的“λ伴隨函數(shù)”，要求考生在短時(shí)間內(nèi)通過閱讀、理解后，抽象出“λ伴隨函數(shù)”的實(shí)質(zhì)，解決題目給出的問題.解決該類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握新定義的含義，對(duì)新定義提煉升華，把從定義和題目中獲取的信息進(jìn)行有效整合，并轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)加以解決,以此考查學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．

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【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=log2(2x+t)為“倍縮函數(shù)”，定義域D={x|2x+t>0},

易知f(x)在[a,b]上是增函數(shù)，

素養(yǎng)二、邏輯推理

樣題2．(2018·全國(guó)卷Ⅱ理·21)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2．

(1)若a=1，證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥1；

(2)若f(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a．

【解析】(1)證明：當(dāng)a=1時(shí)，f(x)≥1等價(jià)于(x2+1)·e-x-1≤0．

設(shè)函數(shù)g(x)=(x2+1)e-x-1，則g′(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x．

g′(x)≤0，所以g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減．

而g(0)=0，故當(dāng)x≥0時(shí)，g(x)≤0，即f(x)≥1．

(2)設(shè)函數(shù)h(x)=1-ax2e-x．

f(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于h(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)．

(i)當(dāng)a≤0時(shí)，h(x)>0，h(x)沒有零點(diǎn)；

(ii)當(dāng)a>0時(shí)，h′(x)=ax(x-2)e-x．

當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，h′(x)<0；當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí)，h′(x)>0．

所以h(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,+∞)單調(diào)遞增．

故h(x)在(2,4a)有一個(gè)零點(diǎn)，因此h(x)在(0,+∞)有兩個(gè)零點(diǎn)．

【素養(yǎng)在線】邏輯推理包括歸納推理和演繹推理. 演繹推理是從一般性的前提出發(fā)，通過推導(dǎo)，即“演繹”，得出具體陳述或個(gè)別結(jié)論的過程.演繹推理的邏輯形式對(duì)于理性的重要意義在于它對(duì)人的思維保持嚴(yán)密性、一貫性有著不可替代的校正作用.演繹推理的最典型、最重要的應(yīng)用，通常存在于邏輯和數(shù)學(xué)證明中. 本題運(yùn)用了演繹推理,需要先構(gòu)造函數(shù)g(x)=(x2+1)e-x-1，再求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)不大于零得函數(shù)單調(diào)遞減，最后根據(jù)單調(diào)性證得不等式.研究f(x)的零點(diǎn)，先利用導(dǎo)數(shù)確定只有一個(gè)零點(diǎn)的必要條件，再利用零點(diǎn)存在性定理確定條件的充分性，即得參數(shù)a的值.

【變式訓(xùn)練2】(2018·全國(guó)卷Ⅲ理·21)已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)·ln(1+x)-2x．

(1)若a=0，證明：當(dāng)-10時(shí)，f(x)>0；

(2)若x=0是f(x)的極大值點(diǎn)，求a．

當(dāng)-10時(shí)，g′(x)>0.故當(dāng)x>-1時(shí)，g(x)≥g(0)=0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，g(x)=0，從而f′(x)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，f′(x)=0.

所以f(x)在(-1,+∞)單調(diào)遞增.

又f(0)=0，故當(dāng)-10時(shí)，f(x)>0.

(2)(i)若a≥0，由(1)知，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)≥(2+x)·ln(1+x)-2x>0=f(0)，這與x=0是f(x)的極大值點(diǎn)矛盾.

又h(0)=f(0)=0，故x=0是f(x)的極大值點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)x=0是h(x)的極大值點(diǎn).

故x=0不是h(x)的極大值點(diǎn).

素養(yǎng)三、數(shù)學(xué)建模

樣題3．(2018·江蘇卷·17)某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧MPN(P為此圓弧的中點(diǎn))和線段MN構(gòu)成．已知圓O的半徑為40米，點(diǎn)P到MN的距離為50米．現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚，大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD，大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為△CDP，要求A,B均在線段MN上，C,D均在圓弧上．設(shè)OC與MN所成的角為θ．

(1)用θ分別表示矩形ABCD和△CDP的面積，并確定sinθ的取值范圍；

(2)若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3．求當(dāng)θ為何值時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大．

【解析】(1) 連接PO并延長(zhǎng)交MN于H,則PH⊥MN,所以O(shè)H=10.過O作OE⊥BC于E,則OE//MN,所以∠COE=θ,故OE=40cosθ,EC=40sinθ,

則矩形ABCD的面積:S矩形ABCD=(40sinθ+10)×80cosθ=800(4sinθcosθ+cosθ)，

=1 600cosθ-1 600sinθcosθ.

過N作GN⊥MN,分別交圓弧和OE的延長(zhǎng)線于G和K,則GK=KN=10.

(2)因?yàn)榧?、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3．

設(shè)甲種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值為4k(k>0),則乙種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值為3k,設(shè)年總產(chǎn)值為y.

f′(θ)=cos2θ-sin2θ-sinθ=-2sin2θ-sinθ+1=-(2sinθ-1)(sinθ+1).

【素養(yǎng)在線】本題需要建立矩形ABCD和△CDP的面積關(guān)于θ的三角函數(shù)模型, 建立甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值關(guān)于θ的三角函數(shù)模型,然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求最值.以此考查直觀想象和數(shù)學(xué)建模及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力.利用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際應(yīng)用問題，首先要正確理解題意，分析條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)哪Ｐ?；其次，將文字語(yǔ)言、圖形(或數(shù)表)等轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題化為數(shù)學(xué)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)如函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等解決問題；最后將利用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法得出的結(jié)論，還原為實(shí)際問題的答案．在求解過程中要注意實(shí)際問題對(duì)變量參數(shù)的限制條件．

【變式訓(xùn)練3】如圖,在直徑為1的圓O中,作一關(guān)于圓心對(duì)稱、鄰邊互相垂直的十字形,其中y>x>0.則十字形的最大面積是________.

【解析】設(shè)S為十字形的面積,則

素養(yǎng)四、數(shù)學(xué)運(yùn)算

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【素養(yǎng)在線】數(shù)學(xué)運(yùn)算是學(xué)生必備的最基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng),只有具備了成熟的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng),才能走出“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”的困境.數(shù)學(xué)運(yùn)算包括對(duì)數(shù)字的計(jì)算、估值和近似值計(jì)算，對(duì)式子的組合變形與分解變形，對(duì)幾何圖形和幾何量的計(jì)算求解等. 運(yùn)算的準(zhǔn)確、合理和熟練是數(shù)學(xué)能力高低的重要標(biāo)志，需要經(jīng)過反復(fù)訓(xùn)練才能提高這種能力,本題屬于線性規(guī)劃中的斜率型最值問題.【另解】中的“估算”簡(jiǎn)單快捷. 對(duì)于客觀題，合理的估算往往比盲目的精確計(jì)算和嚴(yán)謹(jǐn)推理更為有效.

【解析】畫出不等式組表示的可行域(如圖中陰影部分所示)．

素養(yǎng)五、直觀想象

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【解析】當(dāng)x<0時(shí),g(x)=-x+1>0,此時(shí)g(g(x))=(-x+1)2-1=x2-2x；

當(dāng)0≤x<1時(shí),g(x)=x2-1<0,此時(shí)g(g(x))=-(x2-1)+1=-x2+2；

當(dāng)x≥1時(shí),g(x)=x2-1≥0,此時(shí)g(g(x))=(x2-1)2-1=x4-2x2,

作出函數(shù)y=g(g(x))和y=2m的圖象如下：

素養(yǎng)六、數(shù)據(jù)分析

(1)求a，b的值；

(2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t．

①請(qǐng)寫出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f(t)，并寫出其定義域；

②當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短？求出最短長(zhǎng)度．

【解析】(1)由題意知,點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(5,40), (20,2.5).

【變式訓(xùn)練6】 為了美化城市，某市將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花園AMPN，如圖所示．要求B在AM上，D在AN上，且對(duì)角線MN過C點(diǎn)，|AB|=3米，|AD|=2米．

(1)要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則AN的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

(2)若AN的長(zhǎng)度不小于6米，則當(dāng)AM，AN的長(zhǎng)度是多少時(shí)，矩形AMPN的面積最??？并求最小面積．

此時(shí)|AN|=6米，|AM|=4.5米．