一道解三角形實(shí)際應(yīng)用題的原創(chuàng)之旅

貴州 袁小勇

筆者有幸參加由《教學(xué)考試》雜志社主辦的方向五二輪復(fù)習(xí)測(cè)評(píng)項(xiàng)目，從2018年8月1日開始組建團(tuán)隊(duì)，到2018年8月30日結(jié)束，歷經(jīng)1個(gè)月時(shí)間，收獲頗豐，首先是收獲了團(tuán)隊(duì)“原創(chuàng)·研發(fā)”的開拓精神，即原創(chuàng)理念引領(lǐng)，團(tuán)隊(duì)通力合作，把脈高考.其次是老師們?cè)趨⑴c“原創(chuàng)·研發(fā)”活動(dòng)的過(guò)程中相互學(xué)習(xí)、借鑒，不僅收獲了友誼，也使自身的能力得到大幅度地提高.

本階段“原創(chuàng)·研發(fā)”的任務(wù)是根據(jù)雜志社提供的雙向細(xì)目表命制一套二輪復(fù)習(xí)試卷.在本套試卷中16題的考點(diǎn)為解三角形，一級(jí)考向?yàn)榻馊切螌?shí)際應(yīng)用舉例，二級(jí)考向?yàn)橹虚g有障礙或不可達(dá)到的兩點(diǎn)距離、不可直接測(cè)量的三角形角度問(wèn)題.筆者在準(zhǔn)備階段找不到較好的背景，并且思維量和難度達(dá)不到壓軸題的要求.通過(guò)團(tuán)隊(duì)協(xié)作討論，可以先不考慮試題背景以及局限于在三角形內(nèi)解決問(wèn)題.可以先確定要考查的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，找出與其他知識(shí)的聯(lián)系，再回到三角形中解決問(wèn)題，我們以一個(gè)定點(diǎn)到圓(或圓弧)上一動(dòng)點(diǎn)距離的最值為基本考點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化到三角形中利用正、余弦定理求線段長(zhǎng)度，最后再尋找符合題意的實(shí)際背景，即得到一稿試題如下：

【命題意圖】本題考查正弦定理、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用；考查運(yùn)算求解、轉(zhuǎn)化與化歸能力；考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

在一稿試題中，為了使題干中的角度特殊化，得到的結(jié)果比較繁瑣，為讓計(jì)算結(jié)果不含二層根式，嘗試改變題干中的角度.但若隨意更改，計(jì)算會(huì)更加復(fù)雜，所以我們得抓住問(wèn)題的本質(zhì)，再嘗試更改.而本題的核心是在△ABC中，M為CB的中點(diǎn)，已知△ABC中的一些角度，求AM的長(zhǎng).

【嘗試二】固定角A，改變角B，結(jié)合一稿試題，不妨設(shè)∠BAC=45°，|BC|=x，

在△ACM中，由余弦定理可知,

所以，要使得|AM|的長(zhǎng)不含二層根號(hào)，只需保證sin2B，sinBcosB均為有理式即可.所取角度盡量讓學(xué)生熟悉，所以取B=37°(sin37°可近似取為0.6)，即得到定稿試題如下：

【命題意圖】本題考查正弦定理、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用；考查運(yùn)算求解、轉(zhuǎn)化與化歸能力；考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).