命題實踐促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展
——從一道圓錐曲線解答題的原創(chuàng)歷程談起

廣東 潘敬貞 杜龍安

教學(xué)考試雜志社主辦的“優(yōu)師計劃”以“互聯(lián)網(wǎng)+”為依托，創(chuàng)新教研模式，整合優(yōu)質(zhì)教育資源，共享優(yōu)質(zhì)教研成果，促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展.筆者有幸參加了“優(yōu)師計劃”方向五“二輪知識體系鞏固與測評”項目，收獲頗多.本文主要談筆者在本次項目研發(fā)中的一道圓錐曲線解答題的原創(chuàng)歷程，與同行分享、交流.

一、試題命制過程

原創(chuàng)試題是以知識為載體、能力為導(dǎo)向、素養(yǎng)為落腳點(diǎn)，因此原創(chuàng)一道試題首先要確定考查內(nèi)容與知識、考查能力與素養(yǎng)；然后選擇合適的試題素材服務(wù)于能力與素養(yǎng)的考查；最后全面考慮試題主要考查目標(biāo)方向、試題區(qū)分度，設(shè)置合適的問題.

1.考查內(nèi)容

解析幾何是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容.在考題中圓錐曲線解答題常以中檔題或壓軸題的形式出現(xiàn)，考查用代數(shù)方法解決幾何問題，主要考查圓錐曲線的定義、方程、性質(zhì)，還涉及平面幾何的性質(zhì)、韋達(dá)定理、直線方程、點(diǎn)到直線的距離公式、分類討論思想和方程思想等解析幾何核心內(nèi)容.

2.考查能力和素養(yǎng)

因為圓錐曲線解答題主要以中檔題或壓軸題的形式出現(xiàn)，試題的解答對學(xué)生的能力要求比較高.主要考查學(xué)生的推理論證能力、運(yùn)算求解能力、分析問題與解決問題的能力，考查學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想、方程思想等數(shù)學(xué)思想方法.

3.幾點(diǎn)思考

首先考慮教材內(nèi)容、考綱要求以及近幾年高考的命題風(fēng)格和考查思路.近幾年全國卷文科數(shù)學(xué)圓錐曲線解答題多數(shù)考查直線與圓的位置關(guān)系和直線與拋物線的位置關(guān)系，第一問通常求曲線方程.求動點(diǎn)的軌跡方程沒有指定曲線作定向的提示，問題的開放性較大，更能考查學(xué)生的能力，但求指定曲線方程還可以兼顧對所指定曲線的性質(zhì)和特征的考查，兩種考法各有千秋.第二問主要是結(jié)合一條動直線與指定曲線的位置關(guān)系，根據(jù)試題素材提出有意義的問題.試題的解答過程力求更好地展現(xiàn)學(xué)生的思維過程，展現(xiàn)學(xué)生的推理論證能力、運(yùn)算求解能力、分析問題與解決問題的能力，展現(xiàn)學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想、方程思想等數(shù)學(xué)思想方法的理解與掌握情況，展現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的水平.

其次考慮學(xué)生的特點(diǎn).文科生的數(shù)學(xué)能力總體水平?jīng)]有理科生高，在試題難度和運(yùn)算量的要求相對理科試題有所降低，因此問題“寬度”不宜太寬，問題指向要盡量明確.

最后考慮試題的區(qū)分度.控制試題解答長度，如果試題的解答長度太長或太短都會影響試題的區(qū)分度.試題入口要寬，問題由淺入深層層遞進(jìn)，有利于學(xué)生的解答和提高試題的區(qū)分度，這與全國卷的命題風(fēng)格和命題思路基本吻合.

4.試題的命制

結(jié)合拋物線定義，求動點(diǎn)的軌跡方程作為試題的第一問，已知一條動直線與拋物線相交，坐標(biāo)原點(diǎn)與兩個交點(diǎn)連線的斜率之積為一個常數(shù)，兩交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)所圍成的三角形面積為一個定值，要求學(xué)生根據(jù)題意列出兩個方程并解方程，最后求出直線的方程.本道題的解答用代數(shù)方法解決幾何問題，考查拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程、韋達(dá)定理、直線方程、點(diǎn)到直線的距離公式等解析幾何核心內(nèi)容.能很好地考查學(xué)生的推理論證能力、運(yùn)算求解能力、分析問題與解決問題的能力，考查學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想、方程思想等數(shù)學(xué)思想方法，符合文科學(xué)生的特點(diǎn).

二、試題與解答

題目：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知動圓M經(jīng)過定點(diǎn)F(0,1)且與直線y+1=0相切，記動圓M的圓心M的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

解：(1)設(shè)點(diǎn)M(x,y)，點(diǎn)M到直線y+1=0的距離為d，

依題意得|MF|=d，

根據(jù)拋物線定義可知，曲線C是以F(0,1)為焦點(diǎn)，直線y+1=0為準(zhǔn)線的拋物線，

所以曲線C的方程為x2=4y.

(2)直線l的斜率顯然存在.

設(shè)直線l:y=kx+b，M(x1，y1)，N(x2，y2),

因為Δ=16k2+8b>0，

所以x1+x2=4k,x1x2=-4b，

因為y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=b2，

所以b=2，

故直線l方程為y=kx+2，

所以直線l恒過定點(diǎn)R(0,2)，

所以|x1-x2|=8，

即(x1+x2)2-4x1x2=64，

所以k2+b=4，

所以k2=2，

三、測評結(jié)果分析

經(jīng)過測評獲取的數(shù)據(jù)表明，難度系數(shù)與預(yù)估難度系數(shù)(估計難度系數(shù)0.45左右)基本一致.大部分學(xué)生第一問能得滿分，與最初問題設(shè)置入口盡量要寬的要求高度吻合.相當(dāng)多的學(xué)生能根據(jù)題意設(shè)直線方程、聯(lián)立直線方程與拋物線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)、用韋達(dá)定理，但是根據(jù)題意列出其中一個方程，能列出兩個方程的人數(shù)就大大減少，由于運(yùn)算求解能力等因素，能準(zhǔn)確求出方程的解，并求出直線方程的人數(shù)就更加的少，最終本道試題能拿滿分的學(xué)生并不是很多，這與命題時問題設(shè)置要求入口要寬，問題由淺入深層層遞進(jìn)，有利于學(xué)生的解答和提高試題的區(qū)分度息息相關(guān)，測評數(shù)據(jù)在合理的預(yù)設(shè)范圍內(nèi)，試題具有很好的區(qū)分度和信度與效度，是一道不錯的試題.

四、原創(chuàng)試題促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展