基于應(yīng)用能力培養(yǎng)的三維度線性代數(shù)教學(xué)模式探索與實(shí)踐

李曉玲　修春

[摘 要]以獨(dú)立學(xué)院為背景，提出了基于應(yīng)用能力培養(yǎng)的三維度線性代數(shù)教學(xué)模式，即四個(gè)知識(shí)模塊構(gòu)成教學(xué)知識(shí)體系，每個(gè)教學(xué)模塊下設(shè)置四個(gè)教學(xué)層次實(shí)現(xiàn)理論與實(shí)踐相結(jié)合，每個(gè)層次由三個(gè)環(huán)節(jié)完成實(shí)現(xiàn)課內(nèi)與課外相結(jié)合。與傳統(tǒng)的教學(xué)模式相比，增加了數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的環(huán)節(jié)，引入了Matlab作為工具，不僅使學(xué)生對(duì)基本知識(shí)有了更深刻的理解，而且培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力和使用計(jì)算機(jī)解決問題的能力。

[關(guān)鍵詞]獨(dú)立學(xué)院；線性代數(shù)；三維度；應(yīng)用能力培養(yǎng)

[中圖分類號(hào)] G642.0 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2019）05-0104-03

一、三維度線性代數(shù)教學(xué)模式提出的背景

習(xí)近平總書記在十九大報(bào)告里指出，創(chuàng)新是引領(lǐng)發(fā)展的第一動(dòng)力，是建設(shè)現(xiàn)代化經(jīng)濟(jì)體系的戰(zhàn)略支撐。線性代數(shù)是研究線性方程組解的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，是各院校理工科、經(jīng)濟(jì)、管理等專業(yè)的一門重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用能力的培養(yǎng)有重要作用。

但線性代數(shù)是一門高度抽象化的學(xué)科。傳統(tǒng)的教學(xué)模式有利于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思維能力，但也因?yàn)檎n程本身的抽象性較難引起學(xué)生的興趣，導(dǎo)致很多學(xué)生產(chǎn)生“數(shù)學(xué)無用論”的思想。尤其是線性代數(shù)課程的授課對(duì)象是大一新生，因?yàn)檫€未接觸過多的專業(yè)知識(shí)，不知道線性代數(shù)在其專業(yè)課程中的重要性，如果學(xué)習(xí)不透徹，勢(shì)必會(huì)對(duì)未來專業(yè)課的學(xué)習(xí)造成麻煩。因此，基于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力的線性代數(shù)教學(xué)模式探索勢(shì)在必行。

北京交通大學(xué)海濱學(xué)院是一所獨(dú)立學(xué)院，以培養(yǎng)應(yīng)用技術(shù)型人才為主要目標(biāo)。本文即以此當(dāng)背景，提出了三維度線性代數(shù)教學(xué)模式，將傳統(tǒng)教學(xué)中“講授—理解—記憶—練習(xí)—測(cè)試”的模式改變?yōu)椤爸v授—理解—探索—發(fā)現(xiàn)—實(shí)踐—再理解—記憶—應(yīng)用”的模式，增強(qiáng)了線性代數(shù)課程的趣味性，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)課程的主動(dòng)性，加深了學(xué)生對(duì)于線性代數(shù)應(yīng)用性的認(rèn)識(shí)，鍛煉了學(xué)生的應(yīng)用能力。

二、三維度線性代數(shù)教學(xué)模式的設(shè)計(jì)和實(shí)施

所謂三維度線性代數(shù)教學(xué)模式是指在傳統(tǒng)教學(xué)模式的基礎(chǔ)上，增加應(yīng)用教學(xué)和實(shí)驗(yàn)教學(xué)，提出了4*4*3的理論與實(shí)踐相結(jié)合的教學(xué)模式。

（一）橫軸——四個(gè)知識(shí)模塊構(gòu)成教學(xué)橫軸，首先使學(xué)生系統(tǒng)地了解線性代數(shù)的知識(shí)體系

傳統(tǒng)的線性代數(shù)教學(xué)內(nèi)容較多，理論性強(qiáng)，不太適合獨(dú)立學(xué)院的學(xué)生學(xué)習(xí)。根據(jù)線性代數(shù)的知識(shí)體系，結(jié)合獨(dú)立學(xué)院課時(shí)安排、學(xué)生基礎(chǔ)薄弱的特點(diǎn)，我們對(duì)傳統(tǒng)線性代數(shù)的教學(xué)進(jìn)行了優(yōu)化整合，將知識(shí)點(diǎn)主要分為矩陣及初等行變換、線性方程組及向量組的線性相關(guān)性、方陣的行列式和相似矩陣、二次型四個(gè)模塊，與傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容相比，刪除了線性空間與線性變換的內(nèi)容。

將矩陣及初等行變換作為第一模塊，突出了矩陣及初等行變換的首要地位。矩陣?yán)碚撌蔷€性代數(shù)理論的重要部分，矩陣也是線性代數(shù)課程主要的研究對(duì)象，故在第一章里，重點(diǎn)介紹什么是矩陣及矩陣的初等行變換。由于矩陣對(duì)于大一新生來說是一個(gè)陌生的概念，因此選擇從方程組入手，引入矩陣的概念，又通過求解線性方程組的過程引出初等行變換，這樣學(xué)生比較容易接受。

將線性方程組及向量組的線性相關(guān)性作為第二模塊，則能夠使學(xué)生更系統(tǒng)地理解線性方程組與向量組，矩陣之間的關(guān)系，與傳統(tǒng)教學(xué)模式相比，先介紹向量組的線性相關(guān)性，結(jié)合第一章已經(jīng)對(duì)矩陣和線性方程組之間的關(guān)系建立起來，從而給出向量組的線性相關(guān)性與線性方程組解的結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，將向量組的秩與矩陣的秩融合，從而引出矩陣秩的概念。

第三模塊的行列式，作為線性代數(shù)的工具，對(duì)于學(xué)生來說卻是一個(gè)抽象的概念。傳統(tǒng)教學(xué)中往往是先給出二階，三階行列式，再給出排列、逆序數(shù)n階行列式定義等抽象概念，改革后先由求解線性方程組引出二階，三階行列式，通過尋找二階、三階行列式的規(guī)律得到n階行列式的定義，簡(jiǎn)單介紹排列、逆序數(shù)概念，刪除對(duì)換概念。由于前述知識(shí)中學(xué)生已經(jīng)對(duì)方陣和線性方程組有了很深的理解，這里再來學(xué)習(xí)行列式就比較容易接受了，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。在介紹了定義之后，重點(diǎn)講解行列式計(jì)算的幾個(gè)方法。對(duì)于行列式的性質(zhì)，則不再做大篇幅的證明，采取例證的方法，讓學(xué)生會(huì)用就好。

最后，將相似矩陣及二次型作為第四個(gè)模塊，融合線性變換和線性空間的基礎(chǔ)，介紹了向量的正交、正交矩陣、矩陣的特征值與特征向量、相似矩陣等概念，最后給出二次型的概念及如何將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型。

對(duì)于一門新課程，教師應(yīng)該在第一節(jié)課就讓學(xué)生明白該課程的知識(shí)脈絡(luò)，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)有一個(gè)基本的把握。通過這樣的設(shè)計(jì)，學(xué)生在第一節(jié)課就能夠在頭腦中形成一條比較清晰的知識(shí)鏈。

（二）縱軸——每個(gè)知識(shí)模塊分為四個(gè)層次，從而實(shí)現(xiàn)理論與實(shí)踐相結(jié)合

與以往只講授系統(tǒng)理論知識(shí)不同，現(xiàn)在把每個(gè)知識(shí)模塊的教學(xué)分為四個(gè)層次，即“基本知識(shí)—重要技能—應(yīng)用能力—數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”。獨(dú)立學(xué)院學(xué)生思維敏捷活躍，但是學(xué)習(xí)能力差，學(xué)習(xí)興趣不夠，知識(shí)基礎(chǔ)薄弱。所以，作為針對(duì)獨(dú)立學(xué)院學(xué)生的數(shù)學(xué)課程重點(diǎn)在于“用數(shù)學(xué)”思想的普及，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域。為此，在基礎(chǔ)知識(shí)層次，以基本概念為主，忽略一些定理的嚴(yán)格證明，課堂上適當(dāng)補(bǔ)充一些關(guān)于定義定理的來源和數(shù)學(xué)家的故事等，以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。在重要技能層次，總結(jié)每一模塊的重要知識(shí)點(diǎn)，有針對(duì)地著重訓(xùn)練，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不再是被動(dòng)地接受，而是能夠輕易抓住重點(diǎn)，從而將知識(shí)體系把握的更牢固。在應(yīng)用能力層次，每一模塊都選擇一到兩個(gè)不同領(lǐng)域的實(shí)用案例供學(xué)生建模和思考，這一方面普及了數(shù)學(xué)建模的思想，另一方面也讓不同專業(yè)的學(xué)生了解到線性代數(shù)廣泛的應(yīng)用性和作為一門基礎(chǔ)課程在今后學(xué)習(xí)中的重要性。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)層次，以數(shù)學(xué)軟件（如Matlab）為平臺(tái)，介紹本章知識(shí)點(diǎn)如何通過數(shù)學(xué)軟件實(shí)現(xiàn)，并與前述實(shí)用案例相結(jié)合，使學(xué)生完整的完成一個(gè)數(shù)學(xué)建模過程，提高學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的能力。

第一模塊教學(xué)層次如圖所示。

在前四節(jié)介紹了矩陣、矩陣的運(yùn)算、矩陣的初等行變換與線性方程組、初等矩陣與方陣的逆。在本章中，學(xué)生重點(diǎn)掌握初等行變換的方法，它是整個(gè)線性代數(shù)學(xué)習(xí)過程中重要且必備的技能。

除了對(duì)矩陣基本知識(shí)的優(yōu)化整合，減少抽象概念，弱化理論證明外，還加入實(shí)驗(yàn)與應(yīng)用章節(jié)。給出了兩個(gè)數(shù)學(xué)建模案例，一個(gè)是網(wǎng)絡(luò)流模型，網(wǎng)絡(luò)流模型廣泛應(yīng)用于交通、運(yùn)輸、通信、電力分配、城市規(guī)劃、任務(wù)分派及計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)等眾多領(lǐng)域，引用一個(gè)簡(jiǎn)單的單行道的交通流量問題，給出線性方程組，讓學(xué)生體會(huì)矩陣及線性方程組的用途，也讓學(xué)生理解了網(wǎng)絡(luò)流模型的基本內(nèi)涵。另一個(gè)是投入產(chǎn)出模型，它有一個(gè)基本假設(shè)：產(chǎn)出=需求。給出一個(gè)經(jīng)濟(jì)體系中的制造業(yè)、農(nóng)業(yè)、服務(wù)業(yè)的消耗向量，通過建立消耗矩陣及投入產(chǎn)出模型，得到一個(gè)線性方程組，從而求出了三個(gè)行業(yè)的產(chǎn)量。在本案例中，用到了通過對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換的方法來求解線性方程組。將理論與應(yīng)用結(jié)合起來，使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)有其應(yīng)用的具體載體，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力，鍛煉了學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的思維方式。

最后，引入專業(yè)數(shù)學(xué)軟件Matlab完成3～5個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。在第一章中，我們首先對(duì)Matlab做一個(gè)基本的介紹，給出本章所需要的常用命令并設(shè)計(jì)了四個(gè)實(shí)驗(yàn)供學(xué)生完成，實(shí)驗(yàn)1為對(duì)矩陣的加減乘冪運(yùn)算的計(jì)算，實(shí)驗(yàn)2 為計(jì)算矩陣的秩，實(shí)驗(yàn)3為求矩陣的逆，實(shí)驗(yàn)4是對(duì)前述投入產(chǎn)出模型的求解。具體方式如下所示。

由于Matlab的基本操作對(duì)象是矩陣，它有著強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算能力和圖形處理能力，引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，一方面能夠使傳統(tǒng)教學(xué)更加生動(dòng)，另一方面減少了課堂上煩瑣計(jì)算的時(shí)間，緩解了線性代數(shù)課時(shí)不足的問題。

在第二模塊，基礎(chǔ)知識(shí)層次由 n維向量的概念、向量組的線性相關(guān)性、線性方程組的解的結(jié)構(gòu)、矩陣的秩組成；重要技能是在理解了向量組的線性相關(guān)性與線性方程組解的結(jié)構(gòu)及矩陣的秩之間的充分必要性后，如何判斷向量組的線性相關(guān)性；應(yīng)用能力層次則設(shè)計(jì)了一個(gè)調(diào)味品配置問題：某調(diào)料公司用五種原料來制造多種調(diào)味品。表格形式給出了三種調(diào)味制品[A，B，C]每包中所需各種成分的量。在這樣的背景下給出問題：

（1）為了能配制出其余幾種調(diào)味品，這位顧客要購(gòu)買的最少的調(diào)味品的種類是多少，并寫出所需最少調(diào)味品的集合。（2）在（1）中得到的最小調(diào)味品集合是否唯一？若不唯一，給出另外的情況。（3）利用在（1）中找到的最小調(diào)味品集合，配置一種新的調(diào)味品。

這三個(gè)問題，本質(zhì)就是考查學(xué)生對(duì)于向量組中最大無關(guān)組概念及秩的理解，以及給定一個(gè)向量如何判斷它是否能用已知向量組線性表示的問題。這樣的設(shè)計(jì)不僅生動(dòng)有趣，而且使得抽象的知識(shí)具體化，讓學(xué)生知道所學(xué)知識(shí)用來解決什么樣的及如何解決實(shí)際問題。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)層次設(shè)計(jì)了三個(gè)大實(shí)驗(yàn)：用Matlab求向量組的秩，判定線性相關(guān)性及求解線性方程組，在求解線性方程組實(shí)驗(yàn)中設(shè)計(jì)了四個(gè)題目，分別讓學(xué)生體會(huì)用數(shù)學(xué)軟件求解不同類型題目的共性和區(qū)別。

在第三模塊，基礎(chǔ)知識(shí)層次由行列式的定義，行列式的性質(zhì)及計(jì)算，行列式按行（列）展開及計(jì)算，行列式的應(yīng)用組成；重要技能是行列式的計(jì)算；應(yīng)用能力層次設(shè)計(jì)了兩個(gè)案例，一個(gè)是逆矩陣在加密傳輸中的應(yīng)用，一個(gè)是營(yíng)養(yǎng)食譜問題；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)層次設(shè)計(jì)了三個(gè)實(shí)驗(yàn)：計(jì)算沒有未知量的行列式的值，計(jì)算帶有未知量的行列式的值以及應(yīng)用克拉默法則解線性方程組。

在第四模塊，基礎(chǔ)知識(shí)層次由向量的內(nèi)積長(zhǎng)度及正交性，方陣的特征值及特征向量，相似矩陣，二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型組成，重要技能是如何計(jì)算方陣的特征值及特征向量。應(yīng)用能力層次設(shè)計(jì)兩個(gè)應(yīng)用問題，一個(gè)是預(yù)測(cè)人才流動(dòng)及商品的銷售趨勢(shì)，一個(gè)是最值問題。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)層次設(shè)計(jì)了兩個(gè)實(shí)驗(yàn)：求矩陣的特征值和特征向量以及用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。

（三）豎軸——每個(gè)層次由三個(gè)環(huán)節(jié)完成，從而實(shí)現(xiàn)課內(nèi)與課外相結(jié)合

每個(gè)層次我們分為三個(gè)環(huán)節(jié)來完成，即“課堂講授—課堂實(shí)踐—課下拓展”。

傳統(tǒng)的線性代數(shù)教學(xué)中，往往因?yàn)榇罅康氖止び?jì)算而使得課堂教學(xué)過程枯燥。

課堂講授環(huán)節(jié)重點(diǎn)講授基本概念，方法和技巧性不是很強(qiáng)的計(jì)算過程，目的在于讓學(xué)生們掌握基本方法和思路。對(duì)于大部分定理的證明直接略過或者采取例證的方法。使學(xué)生能夠抓住基礎(chǔ)和重點(diǎn)，留出一部分時(shí)間進(jìn)行課堂實(shí)踐。

獨(dú)立學(xué)院學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識(shí)普遍較差，為此必須有課堂實(shí)踐，讓學(xué)生們自己操作練習(xí)，教師在旁指導(dǎo)，可以使學(xué)生對(duì)重點(diǎn)的概念和計(jì)算方法有消化理解的過程，也方便教師隨時(shí)掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，對(duì)于接受能力較差的學(xué)生給予及時(shí)指導(dǎo)，避免了部分學(xué)生由于一節(jié)課沒聽懂后面就都聽不懂，然后自我放棄的情況出現(xiàn)。

對(duì)于一些較占用時(shí)間，技巧性較強(qiáng)的計(jì)算題目則放在課下實(shí)踐環(huán)節(jié)中，由學(xué)生借助數(shù)學(xué)軟件完成，并且可以結(jié)合應(yīng)用案例，自我探索，發(fā)現(xiàn)，實(shí)踐，使得學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)有更進(jìn)一步的理解。由于這部分作業(yè)的應(yīng)用性和可操作性，也緩解了平時(shí)學(xué)生消極完成課下作業(yè)的情況。另外，為了讓學(xué)生能夠更好地抓住所學(xué)重點(diǎn)，我們還給教材配備了與之對(duì)應(yīng)的習(xí)題冊(cè)，供學(xué)生在課下完成。習(xí)題冊(cè)的題目由簡(jiǎn)到難，層次清晰，部分章節(jié)還設(shè)置了選作題，供學(xué)有余力的學(xué)生思考和練習(xí)。

三、結(jié)語

基于應(yīng)用能力培養(yǎng)的三維度線性代數(shù)教學(xué)模式弱化了傳統(tǒng)線性代數(shù)教學(xué)中的一些理論和證明，較抽象的定理采取例證的方法，使學(xué)生更容易理解和接受。將數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)加入到教學(xué)過程中，使一些概念能夠數(shù)形結(jié)合更加生動(dòng)，這節(jié)省了大量的手工計(jì)算時(shí)間，課時(shí)利用更充分，也使得學(xué)生明白了線性代數(shù)的應(yīng)用性，培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，讓抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)有了具體應(yīng)用的載體，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和動(dòng)力。這比較適用于獨(dú)立學(xué)院學(xué)生的接受能力和學(xué)習(xí)習(xí)慣，也符合獨(dú)立學(xué)院的辦學(xué)宗旨和目的。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 陳丙振.線性代數(shù)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2014：1.

[2] 王兵團(tuán).matlab與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2004：12-14.

[3] 李永艷.獨(dú)立學(xué)院學(xué)生學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)情況的調(diào)查與研究[J].大學(xué)教育，2014（15）：40-41.

[4] 孫海英，李文正. 以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為平臺(tái) 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用能力[J].教育教學(xué)論壇，2018（22）：279-280.

[5] 王軍霞，黃娟. 將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入到線性代數(shù)的教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2011（2）：48-51.

[6] Xiaoling Li，Wenjuan Zhai.Reform and Practice of Mathematical Modeling and Mathematical Experiment Course in Independent College [J]. Science Innovation，2016：9-11.

[7] 修春，周天寵. 獨(dú)立學(xué)院《線性代數(shù)》課程改革探討[J].課程教育研究，2014（9）：153.

[責(zé)任編輯：林志恒]