體認(rèn)數(shù)量關(guān)系滲透函數(shù)思想

楊丹華 吳月芳

【摘 要】有關(guān)“單價、數(shù)量與總價”的數(shù)量關(guān)系是日常生活中常見的數(shù)量關(guān)系之一。通過具體例子抽象概念名稱，概括數(shù)量關(guān)系，再進(jìn)行具體應(yīng)用，這是人教版教材的編排思路。而教師可以對這樣的思路進(jìn)行調(diào)整，從而達(dá)成以下三個目標(biāo)：突出對“單價”的理解；從函數(shù)的視角理解數(shù)量關(guān)系；從“變化”中尋求“不變”的思路分析問題與解決問題。

【關(guān)鍵詞】單價；函數(shù)思想；變與不變

人教版四年級上冊關(guān)于“單價”與“速度”的數(shù)量關(guān)系，是教材中唯一單獨教學(xué)的兩個數(shù)量關(guān)系。教材首先安排了兩個與“單價、數(shù)量與總價”有關(guān)的具體問題，尋找到相同點后進(jìn)一步抽象概括，形成“單價×數(shù)量=總價”這一個數(shù)量關(guān)系。除此之外，如何理解“單價”的含義？在理解、總結(jié)與應(yīng)用這一數(shù)量關(guān)系時，可以用怎樣的策略滲透函數(shù)思想？筆者帶著這些問題進(jìn)行了教學(xué)實踐。

一、觀察比較，理解“單價”內(nèi)涵

顯然，在“單價×數(shù)量=總價”的關(guān)系式中，“單價”是其中的核心概念。“單價”是標(biāo)明商品價格，在商場里每一種商品都有自己獨有的“單價”，學(xué)生在生活中已經(jīng)有了很多的經(jīng)驗積累。

（一）觀察標(biāo)價，理解標(biāo)價的結(jié)構(gòu)

課始，教師出示一組商品標(biāo)價（如圖1），提出問題：這是7件商品的標(biāo)價，請你仔細(xì)觀察，哪幾個標(biāo)價可能是同一類商品，為什么？

這幾個標(biāo)價，均采用了“復(fù)合單位”的方式表示。教師通過提問，讓學(xué)生對單位進(jìn)行分析比較，可以發(fā)現(xiàn)，每一個標(biāo)價都有“元/□”這樣的結(jié)構(gòu)。同時“8元/支”“10元/支”和“4元/支”的單位又是相同的。

因此，學(xué)生在回答上述問題時，需要分析每一個標(biāo)價的結(jié)構(gòu)，從中推導(dǎo)出每一個標(biāo)價的含義。

（二）猜測商品，溝通標(biāo)價與商品的聯(lián)系

上述標(biāo)價所對應(yīng)的商品是日常生活中常見的。學(xué)生依據(jù)生活經(jīng)驗，可以猜測相對應(yīng)的商品，從而溝通標(biāo)價與商品之間的聯(lián)系，更好地理解“單價”的內(nèi)涵。

教師把相同單位的三個標(biāo)價放到了一排，請學(xué)生猜一猜，可能是哪一類商品。然后出示圖示，發(fā)現(xiàn)原來是三種不同的水筆標(biāo)價，再猜一猜其他幾個標(biāo)價分別是什么商品？學(xué)生猜測并說明理由后，教師逐步把圖1補(bǔ)充成圖2。

最后，以具體的商品標(biāo)價為基礎(chǔ)，教師總結(jié)：像這樣每瓶礦泉水的價格，每支水筆的價格，每件衣服的價格……我們稱之為商品的“單價”。

（三）比較標(biāo)價，發(fā)現(xiàn)標(biāo)價之間的聯(lián)系

同樣的商品，由于包裝不同，商品單價的標(biāo)價形式也會發(fā)生變化。

因此，為了更深入理解“單價”的內(nèi)涵，我們還可以比較同種商品不同包裝下的標(biāo)價，進(jìn)一步體會單價的內(nèi)涵。

教師出示圖3的標(biāo)價，請學(xué)生猜一猜，它可能是哪一種商品。

學(xué)生猜測后出示圖4。同樣是“農(nóng)夫山泉礦泉水”，為什么有兩個單價？你還能夠舉出這樣的例子嗎？

以上三個教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生先在比較中認(rèn)識商品標(biāo)價的結(jié)構(gòu)，再由商品標(biāo)價猜測具體商品，最后得出由不同標(biāo)價可表示相同商品。圍繞“單價”內(nèi)涵環(huán)環(huán)相扣，層層推進(jìn)，充分利用了學(xué)生的生活經(jīng)驗。

二、列舉實例，概括數(shù)量關(guān)系

理解了“單價”的內(nèi)涵，“數(shù)量”“總價”以及由這三個概念構(gòu)成的關(guān)系式就可以在具體應(yīng)用中逐步概括。并且，通過題組分析，發(fā)現(xiàn)各個量之間的變化規(guī)律，由單純的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)闈B透函數(shù)思想的關(guān)系式。

（一）縱向解決問題，概括基本數(shù)量關(guān)系

縱向解決問題是指利用同一個單價，改變其中的數(shù)量，求總價的過程。在解決這樣的題組后，再引導(dǎo)學(xué)生觀察比較，概括“數(shù)量”“總價”與“單價×數(shù)量=總價”之間的關(guān)系。

教師創(chuàng)設(shè)購物情境，提出問題：買單價是8元/支的水筆2支，需要多少錢？20支呢？200支呢？

學(xué)生獨立列式解答后校對。然后教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生概括，這里的“2支”“20支”“200支”叫作商品的“數(shù)量”，“16元”“160元”“1600元”是購買商品總共需要花的錢，叫作“總價”。在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步追問：你能夠用“單價”“數(shù)量”“總價”概括出這三個算式的共同的關(guān)系式嗎？學(xué)生回答后形成如圖5的板書。

（二）橫向解決問題，靈活變式數(shù)量關(guān)系

橫向解決問題是指在得到基本關(guān)系式后，通過改變已知條件與所求問題，在解決具體問題的過程中概括出新的數(shù)量關(guān)系的過程。在解決問題的過程中，逐步形成利用關(guān)系式解決問題的一般思路，即先抽象概括信息與問題，用“單價”“數(shù)量”“總價”表示，然后列出關(guān)系式，再列式并解答。

教師在總結(jié)了上述數(shù)量關(guān)系后繼續(xù)提出問題：

王老師到商店去買一些水筆，帶去的錢正好可以買單價8元/支的水筆30支。王老師想買60支水筆，需要選哪一種水筆？

這是一個可以用多種思路解決的問題。首先可以用“單價×數(shù)量=總價”求出王老師帶的錢數(shù)，即“8×30=240（元）”，這是基本數(shù)量關(guān)系的具體運(yùn)用。要求“選哪一種水筆”就是求新的單價，可以有三種思路。第一種是“總價÷數(shù)量=單價”，即“240÷60=？”，當(dāng)列出這一種方法后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)無法計算，思路需要改變（當(dāng)然有部分學(xué)生能夠計算）；第二種是“總價÷單價=數(shù)量”，即“240÷4=？”，如果商是60，單價就是“4元/支”；第三種是“單價×數(shù)量=總價”，即“4×60=？”，如果積是240，那么單價就是“4元/支”。

解決同一個問題用多種思路，逐步概括出基本關(guān)系式的變式。同時，讓學(xué)生感受到，在解決問題時要靈活變換數(shù)量關(guān)系，形成基本數(shù)量關(guān)系與數(shù)量關(guān)系變式的體系。

（三）回顧解決問題，適度滲透函數(shù)思想

在解決問題的過程中，學(xué)生積累了幾組有聯(lián)系的計算題，對這些題組進(jìn)行整體觀察，可以發(fā)現(xiàn)它們的變化規(guī)律。即“單價”“數(shù)量”“總價”這三種量中，當(dāng)其中一種量不變，另外兩種量之間的函數(shù)關(guān)系。

圖6是在解決上述問題時形成的板書。

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察上面虛框里的3個乘法算式，讓學(xué)生說一說有什么發(fā)現(xiàn)。

生1：我發(fā)現(xiàn)“單價”不變，數(shù)量增加，總價也增加。

生2：我發(fā)現(xiàn)“單價”不變，數(shù)量乘幾，總價也乘幾。

依據(jù)生1的回答，教師在數(shù)量關(guān)系中的總價與單價處各加上向上的實線箭頭。接著教師各添上向下的虛線箭頭，請學(xué)生說一說這表示什么。同樣地，在生2回答后，在題組中進(jìn)行舉例驗證，并追問，還可以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？通過舉例概括一個因數(shù)除以一個數(shù)（0除外），積也除以相同的數(shù)。

針對下面的虛線框，教師追問：為什么不選擇單價是“10元/支”的？

生1：因為買的支數(shù)要增加，那么單價就要變小。

生2：支數(shù)乘2變成了60支，單價除以2變成了4元/支。

最后形成如圖7的板書。通過題組，把數(shù)量關(guān)系看作函數(shù)關(guān)系，拓展學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的理解。這既是上一節(jié)課中的思維方式的延續(xù)，也為后續(xù)學(xué)習(xí)“歸一問題”“歸總問題”和“正反比例應(yīng)用問題”做鋪墊。

三、邊練邊思，鞏固與應(yīng)用數(shù)量關(guān)系解決問題

數(shù)量關(guān)系在解決問題的過程中概括，然后要回到解決問題的過程中進(jìn)行鞏固，并在不斷地應(yīng)用過程中加深對數(shù)量關(guān)系的理解，靈活地應(yīng)用數(shù)量關(guān)系解決問題，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題與解決問題的能力。

（一）依據(jù)信息，提出問題

在新知學(xué)習(xí)后，需要安排相應(yīng)的基礎(chǔ)練習(xí)，讓學(xué)生應(yīng)用新知解決問題，鞏固思維。作為常見的數(shù)量關(guān)系，教師可以編制不同的現(xiàn)實情境，讓學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)量關(guān)系的一般性與現(xiàn)實情境的豐富性。

根據(jù)已知信息提出問題并解答。

（1）每個籃球80元，老師買了3個，

？

（2）買4千克甲魚共花費了240元，

？

（3）學(xué)?；?40元買字典，每本字典60元， ？

教師讓學(xué)生依據(jù)已知的信息提出問題，然后列出數(shù)量關(guān)系，口頭回答出算式與結(jié)果，并將算式寫到與數(shù)量關(guān)系相對應(yīng)的板書中。

（二）合理選擇，提出合適的數(shù)學(xué)問題

算用結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本思路。利用運(yùn)算解決具體問題，并從中總結(jié)出數(shù)量關(guān)系，是學(xué)習(xí)的主要形式。結(jié)合算式，提出相應(yīng)的問題，可以更好地促進(jìn)學(xué)生對數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)的把握。

在上面一組練習(xí)中，分別用如下3個算式解答：①80×3=240 ②240÷4=60 ③240÷60=4。請學(xué)生觀察這幾個算式之間的聯(lián)系，選擇其中有聯(lián)系的兩個式子，編寫一道兩步計算的應(yīng)用問題，并且數(shù)量關(guān)系要求是本節(jié)課新學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

選擇算式編寫應(yīng)用問題，促使學(xué)生能夠?qū)ふ宜闶街g的關(guān)系，賦予“數(shù)”以具體的意義，通過交流，發(fā)現(xiàn)同樣的算式可以有不同的情境，不同的情境在解決問題時又有相同的數(shù)量關(guān)系。

（三）靈活應(yīng)用，結(jié)合實際解決問題

在實際生活中，商品有零買也有成批買，而成批買會便宜些。因此，教師也可以創(chuàng)設(shè)這樣的情境，讓學(xué)生合理地制訂購買方案，使所花的錢最少。

某商店的農(nóng)夫山泉礦泉水有兩種買法（如圖8），如果買6瓶，需要多少元？如果買36瓶呢？如果買42瓶呢？

解決第2個問題時，需要判斷整箱買每瓶的單價是多少元，是否比單獨買要便宜一些？當(dāng)解決第3個問題時，則需要判斷42瓶里面有幾個18瓶，還余下幾瓶？分成兩個部分分別求出單價再相加。可以先請學(xué)生獨立計算，然后反饋講評。

總之，商品買賣中的數(shù)量關(guān)系的學(xué)習(xí)，是學(xué)生第一次對多個具體數(shù)量關(guān)系相同點的抽象概括。在這一個過程中，可以讓學(xué)生結(jié)合具體的例子，體會數(shù)量關(guān)系中各個量之間的變化關(guān)系，滲透函數(shù)思想，感受數(shù)學(xué)的內(nèi)在魅力。

（浙江省杭州市蕭山區(qū)瓜瀝鎮(zhèn)第三小學(xué)311200

浙江省杭州市蕭山區(qū)所前鎮(zhèn)第二小學(xué)311200）