二項(xiàng)式定理的起源及其應(yīng)用

摘要：二項(xiàng)式定理許多人都不陌生，在初等數(shù)學(xué)中就對二項(xiàng)式定理有了介紹，它是一種基本的運(yùn)算。談到二項(xiàng)式定理的起源，則可以追溯到五六百年之前，古代的歐洲亞洲都對它做過研究。古時(shí)候，關(guān)于二項(xiàng)式乘方展開，人們就有了樸素的思考，到了近代則逐漸完善著它，如今，在眾多領(lǐng)域都能見到二項(xiàng)式定理的廣泛應(yīng)用，如開高次方、等差數(shù)列求和等等，并且對微積分的發(fā)展起到了至關(guān)重要的一步，除了在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，在遺傳學(xué)、物理學(xué)也都有相關(guān)應(yīng)用。本文對二項(xiàng)式定理的定義、起源、性質(zhì)及其在高考等領(lǐng)域的應(yīng)用進(jìn)行了充分介紹，希望能對有關(guān)研究起到幫助。

關(guān)鍵詞：二項(xiàng)式定理? ?乘方展開? ?應(yīng)用

二項(xiàng)式定理許多人都不陌生，在初等數(shù)學(xué)中就對二項(xiàng)式定理有了介紹，它是一種基本的運(yùn)算。談到二項(xiàng)式定理的起源，則可以追溯到五六百年之前，古代的歐洲亞洲都對它做過研究。在概率論的研究中，二項(xiàng)式定理源遠(yuǎn)流長，在歐洲的1664年、1665年之間，被艾薩克·牛頓首先提出。雅克·伯努利（Jacques Bernoulli）也對它做過研究。在1708年到1718年之間，有學(xué)者研究了多項(xiàng)式，即二項(xiàng)式分布的多維泛化。后來科學(xué)家多數(shù)情況下使用二項(xiàng)式定理在具體情境下的應(yīng)用，經(jīng)過不斷發(fā)展，亞伯拉罕·棣莫弗于1733年首次發(fā)表了他的研究成果，其后皮埃爾·西蒙德拉普拉斯、弗朗西斯高爾頓等人將二項(xiàng)式定理應(yīng)用到物理學(xué)中進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。二十世紀(jì)，在遺傳學(xué)、生物學(xué)、植物生態(tài)學(xué)領(lǐng)域，二項(xiàng)式定理得到了廣泛的應(yīng)用。

一、二項(xiàng)式定理的定義

在初等代數(shù)中，二項(xiàng)式定理（或二項(xiàng)式展開）描述了二項(xiàng)式冪的代數(shù)展開。根據(jù)定理，能夠擴(kuò)大多項(xiàng)式（a+b）n成總和涉及形式上一個(gè)ax by。

根據(jù)該定理，可以將a+b的任何冪擴(kuò)展為形式的總和（a+b）n=an+ an-1b+ an-2b2+…+ ab n-1+bn，每個(gè)n和n-k是一個(gè)特定的正整數(shù)，稱為二項(xiàng)式系數(shù)。（當(dāng)指數(shù)為零時(shí)，相應(yīng)的冪表達(dá)式被取為1，并且該乘法因子通常在該項(xiàng)中被省略。該公式也稱為二項(xiàng)式或二項(xiàng)式。

二項(xiàng)式定理的最基本的例子是用于平方和公式（a+b）2=a2+2ab+b2，出現(xiàn)在該擴(kuò)展中的二項(xiàng)式系數(shù)1，2，1對應(yīng)于Pascal三角形的第二行。（注意，按照慣例，三角形的頂部“1”被認(rèn)為是第0行。）x+y的較高冪的系數(shù)對應(yīng)于三角形的較低行：

二、二項(xiàng)式定理的起源

平方和公式對很多人來說都不陌生，古時(shí)候的中國就已經(jīng)在運(yùn)用這個(gè)公式 （a+b）2=a2+2ab+b2了。平方和公式是公式（a+b）n的特殊化。說到（a+b）n就必須介紹“賈憲三角”。因?yàn)椋╝+b）n的系數(shù)表為：

以上這個(gè)三角形，通常被稱為“賈憲三角”。古人認(rèn)為這個(gè)三角形是北宋的數(shù)學(xué)家賈憲首先發(fā)現(xiàn)。此外，在阿拉伯也有一位數(shù)學(xué)家在他的著作《算術(shù)之鑰》中給出了該三角形，他就是卡西，他同賈憲所用的方法基本一致。

而在歐洲，這個(gè)三角形一般被稱為“Pascal三角形”，因?yàn)榇蠖鄶?shù)歐洲人持這樣一個(gè)觀點(diǎn)：該三角形是法國科學(xué)家Pascal首創(chuàng)的。但事實(shí)上，從時(shí)間上看，中國和阿拉伯發(fā)現(xiàn)這個(gè)三角形要早于歐洲。

到了1665年，牛頓對二項(xiàng)式定理進(jìn)行了推廣，除了n為正數(shù)以外，n為負(fù)數(shù)和分?jǐn)?shù)的情境下同樣適用，牛頓對推廣到了n為分?jǐn)?shù)與負(fù)數(shù)的情形作了說明，寫出了二項(xiàng)式定理的展開式（a+b）n=an+an-1b+an-2b2+…+ abn-1+bn

但牛頓僅僅給出公式，并沒有相應(yīng)的證明，一直到了1811年，才有大數(shù)學(xué)家高斯的證明，驗(yàn)證了牛頓的猜想。

三、二項(xiàng)式定理在高考中的考查方向

二項(xiàng)式定理作為高中數(shù)學(xué)課中重要的內(nèi)容，一直是高考考查的重點(diǎn)難點(diǎn)，在歷年高考中都經(jīng)常出現(xiàn)，有涉及到二項(xiàng)式定理的題型，題目變化多樣，不但有選擇填空，也有難度較大的證明題。對高中生在能力上的要求，二項(xiàng)式定理并不太高，主要考查方向在于運(yùn)用二項(xiàng)式定理來分析、解決問題，其他很少做要求。 高中生只需要能夠掌握其基本性質(zhì)，此外，也要具備熟練運(yùn)用的能力，掌握這兩項(xiàng)就能夠解決相應(yīng)問題，如求二項(xiàng)展開式、二項(xiàng)式系數(shù)等多種問題。

（一）二項(xiàng)式定理性質(zhì)

熟練掌握二項(xiàng)式定理的性質(zhì)才能順利解題。

1.二項(xiàng)式系數(shù)的對稱性：若兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)位于展開式兩端，且滿足“對距離”條件，則它們恒保持相等。

2.二項(xiàng)式系數(shù)的奇數(shù)項(xiàng)和與其偶數(shù)項(xiàng)和保持相等。

3.二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)的唯一性。

4.系數(shù)的最大項(xiàng)求法，根據(jù)最大項(xiàng)的唯一性可很容易得出求法，在這里不再詳細(xì)贅述。

（二）二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

在歷年高考，二項(xiàng)式定理作為高中數(shù)學(xué)課中重要的內(nèi)容，一直是高考考查的重點(diǎn)難點(diǎn)，在歷年高考中都經(jīng)常出現(xiàn)，有涉及到二項(xiàng)式定理的題型，題目變化多樣，不但有選擇填空，也有難度較大的證明題。對高中生在能力上的要求，二項(xiàng)式定理并不太高，主要考查方向在于運(yùn)用二項(xiàng)式定理來分析、解決問題，其他很少做要求。 高中生只需要能夠掌握其基本性質(zhì)，此外，也要具備熟練運(yùn)用的能力，掌握這兩項(xiàng)就能夠解決相應(yīng)問題，如求二項(xiàng)展開式、二項(xiàng)式系數(shù)等多種問題。

1.求二項(xiàng)展開式

求二項(xiàng)展開式為有關(guān)二項(xiàng)式的所有考題中最常見也是最簡單的題型，不涉及任何解題技巧，只要熟背公式，運(yùn)用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)展開即可。需要注意如果式子比較復(fù)雜，可以先化簡再用進(jìn)行展開，這樣可以降低難度。

2.求二項(xiàng)式系數(shù)

求二項(xiàng)式系數(shù)較求二項(xiàng)展開式的難度有所增長，但相對來說也比較基礎(chǔ)。此處需要利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，并結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，可能還需進(jìn)行二項(xiàng)展開式的恒等 變換，在歷年高考出現(xiàn)的可能性更大，該類題型所占比例也相對較高，針對不同的題型，萬變不離其宗，要牢記通項(xiàng)公式并熟練運(yùn)用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，兩者相結(jié)合求出答案。

3.求二項(xiàng)式有理項(xiàng)

利用二項(xiàng)式定理求二項(xiàng)式有理項(xiàng)問題，在高考中非常常見，只要學(xué)生能夠熟練掌握并靈活運(yùn)用通項(xiàng)公式，往往問題不大。需要學(xué)生能夠熟記通項(xiàng)公式，通過抓住給定條件，找出題目特征，結(jié)合通項(xiàng)公式逐個(gè)擊破。

4.求近似值

利用二項(xiàng)式定理求近似值的問題對計(jì)算能力有較高要求，因此不常出現(xiàn)，不作為考查的重點(diǎn)。但也應(yīng)該知道有這一種題型。

5.求整除或余數(shù)問題

有關(guān)整除或余數(shù)問題也屬于高考中一類重難點(diǎn)題型，對于這類題型，有其固定的方法，在解題時(shí)一定要注意仔細(xì)認(rèn)真，避免犯低級(jí)錯(cuò)誤。

6.證明不等式

證明題一直是很多學(xué)生的“老大難”問題。許多學(xué)生畏懼證明題，看到證明題就不愿意動(dòng)手，其實(shí)證明題也是有其技巧的，只要記住每種題型的步驟，就很簡單。在高中證明題的主要方法有以下幾種，放縮法、分析法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法等，因?yàn)樽C明題本身很難，因此初等數(shù)學(xué)中考查難度較小，只要多做題，熟練基本套路即可。

四、二項(xiàng)式定理在其他領(lǐng)域的應(yīng)用

除了歷年高考將二項(xiàng)式定理作為考查的一個(gè)重難點(diǎn)，它在其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。

（一）二項(xiàng)式定理在概率論中的應(yīng)用

在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中，二項(xiàng)式法模擬了在幾個(gè)相同隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的獨(dú)立重復(fù)期間獲得的成功數(shù)。表示這一系列實(shí)驗(yàn)的最直觀方式是使用概率樹：在每一代樹中，從每個(gè)節(jié)點(diǎn)開始引出兩個(gè)分支，一個(gè)用于成功，一個(gè)用于失敗。

在數(shù)學(xué)上，這個(gè)離散概率定律由兩個(gè)參數(shù)描述：n實(shí)驗(yàn)的數(shù)量，和p成功的概率，名為伯努利測試。對于每個(gè)名為伯努利測試的實(shí)驗(yàn)，我們需要定義一個(gè)隨機(jī)變量，該隨機(jī)變量只有兩種取值，0和1，隨機(jī)試驗(yàn)成功取1，反之則取值0。隨機(jī)變量，即所有這些隨機(jī)變量的總和，計(jì)算成功的數(shù)量，為是二項(xiàng)式定律。那么我們則可以很容易得出在重復(fù)的n次實(shí)驗(yàn)中，獲得k成功的概率：

二項(xiàng)式定理可以用于簡單情境下模擬成功或失敗的概率，例如硬幣游戲。

（二）高階等差數(shù)列

高階等差數(shù)列在初等數(shù)學(xué)中常見的題型中為求通項(xiàng)和前n項(xiàng)和，而在高等數(shù)學(xué)中則有更深層次的問題，即求解差分方程，解決問題的方法有很多，如逐差法、待定系數(shù)法、裂項(xiàng)相消法、化歸法等，用二項(xiàng)式定理也可簡便求解。

（三）在組合數(shù)學(xué)中的應(yīng)用模型

證明組合數(shù)恒等式，通常采用賦值法進(jìn)行構(gòu)造，再通過研究甬?dāng)?shù)關(guān)系變更問題獲得解決。

（四）二項(xiàng)式定理在遺傳學(xué)中的應(yīng)用

遺傳學(xué)是生物相關(guān)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課，難度比較大，不少遺傳學(xué)問題的解決往往需要利用一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，其中有關(guān)二項(xiàng)式定理在遺傳學(xué)中有著較為廣泛的應(yīng)用。

1.嬰兒性別與拋硬幣問題

出生嬰兒性別問題是遺傳學(xué)中常見的問題，該類問題有一下特質(zhì)，一方面，每一次嬰兒出生時(shí)既可能是男孩也可能是女孩，其概率均為50%，另一方面，具體某次出生嬰兒的性別不受其他時(shí)間出生嬰兒性別的影響，即在概率論的角度上講，連續(xù)出生嬰兒性別問題是相互獨(dú)立的事件，相當(dāng)于進(jìn)行了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn);此外，嬰兒性別只存在兩種可能，要么是男孩，要么是女孩。綜上所述，在該問題上，可以使用二項(xiàng)式定理求解。

2.雜種后代

群體中基因型分布問題，也可以用二項(xiàng)式定理來解決，這是因?yàn)殡s合基因在形成配子時(shí)，無論配子帶有顯性基因，抑或是帶有隱性基因，他們的概率都是相等的，都是50%，而多對基因組合在概率論的角度上講，也相當(dāng)于是獨(dú)立重復(fù)事件。

二項(xiàng)式定理在遺傳學(xué)中的應(yīng)用還有很多，此處簡要介紹兩個(gè)比較典型的例子。

五、結(jié)語

二項(xiàng)式定理許多人都不陌生，在初等數(shù)學(xué)中就對二項(xiàng)式定理有了介紹，它是一種基本的運(yùn)算。談到二項(xiàng)式定理的起源，則可以追溯到五六百年之前，古代的歐洲亞洲都對它做過研究。在概率論的研究中，二項(xiàng)式定理源遠(yuǎn)流長，在歐洲的1664年、1665年之間，被艾薩克·牛頓首先提出。雅克·伯努利（Jacques Bernoulli）也對它做過研究。在初等代數(shù)中，二項(xiàng)式定理（或二項(xiàng)式展開）描述了二項(xiàng)式冪的代數(shù)展開。根據(jù)定理，能夠擴(kuò)大多項(xiàng)式（a+b）n成總和涉及形式上一個(gè)ax、by。在歷年高考，二項(xiàng)式定理作為高中數(shù)學(xué)課中重要的內(nèi)容，一直是高考考查的重點(diǎn)難點(diǎn)，在歷年高考中都經(jīng)常出現(xiàn)，有涉及到二項(xiàng)式定理的題型，題目變化多樣，不但有選擇填空，也有難度較大的證明題。對高中生在能力上的要求，二項(xiàng)式定理并不太高，主要考查方向在于運(yùn)用二項(xiàng)式定理來分析、解決問題，其他很少做要求。高中生只需要能夠掌握其基本性質(zhì)，此外，也要具備熟練運(yùn)用的能力，掌握這兩項(xiàng)就能夠解決相應(yīng)問題，如求二項(xiàng)展開式、二項(xiàng)式系數(shù)等多種問題。如今，在眾多領(lǐng)域都能見到二項(xiàng)式定理的廣泛應(yīng)用，如開高次方、等差數(shù)列求和等等，并且對微積分的發(fā)展起到了至關(guān)重要的一步，除了在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，在遺傳學(xué)、物理學(xué)也都有相關(guān)應(yīng)用。本文對二項(xiàng)式定理的定義、起源、性質(zhì)及其在高考等領(lǐng)域的應(yīng)用進(jìn)行了充分介紹，希望能對有關(guān)研究起到幫助。

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（作者單位：河北省張家口市第一中學(xué)）