論數(shù)學(xué)教學(xué)中如何體會(huì)圖形運(yùn)動(dòng)思想并領(lǐng)悟其中獨(dú)特妙用

◆李春燕

(山東省濱州市濱城區(qū)第四中學(xué))

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)中的精髓，是聯(lián)系數(shù)學(xué)中各類知識(shí)的紐帶.掌握這些思想方法，將使人終身受益.圖形運(yùn)動(dòng)的思想在初中數(shù)學(xué)中，一般指圖形的平移、對(duì)稱、和旋轉(zhuǎn)三種.對(duì)稱包括軸對(duì)稱和中心對(duì)稱.在操作中，軸對(duì)稱常以翻折形式出現(xiàn)，中心對(duì)稱是旋轉(zhuǎn)角為180°時(shí)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng).點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題也體現(xiàn)了圖形運(yùn)動(dòng)的思想.

首先要熟悉各類圖形運(yùn)動(dòng)后產(chǎn)生的性質(zhì).運(yùn)動(dòng)后的圖形與原圖形是全等形；平移后的圖形與原圖形對(duì)應(yīng)線段平行且相等，原圖形上的每一點(diǎn)都沿同一方向移動(dòng)了同一距離；若兩個(gè)圖形關(guān)于某直線成軸對(duì)稱，則這兩個(gè)圖形上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連結(jié)線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)應(yīng)線段或互相平行或它們所在直線的交點(diǎn)必在對(duì)稱軸上；若兩個(gè)圖形關(guān)于某點(diǎn)成中心對(duì)稱，則這兩個(gè)圖形上對(duì)應(yīng)線段互相平行且相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連結(jié)的線段都通過(guò)對(duì)稱中心，且被對(duì)稱中心平分；旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中，注意旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角.

解幾何題時(shí)，由于條件分散，相關(guān)圖形又不集中，很難發(fā)現(xiàn)量與量之間的關(guān)系，此時(shí)，將圖形進(jìn)行平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)變換，將分散的條件集中起來(lái)，或置于某一熟悉的圖形之中，以改變問(wèn)題情景，發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用某些特征、性質(zhì)或聯(lián)系，由此找到問(wèn)題的突破口和解決問(wèn)題的關(guān)鍵，從而使原有問(wèn)題得到解決.

這類問(wèn)題的解題關(guān)鍵在于如何“化動(dòng)為靜”，“以靜制動(dòng)”，如何化繁為簡(jiǎn)，化分散為集中，化難為易，體現(xiàn)“以不變應(yīng)萬(wàn)變”的核心規(guī)律.以下通過(guò)實(shí)例來(lái)滲透，理解，把握，體會(huì)，進(jìn)而達(dá)到舉一反三，熟練運(yùn)用.

例1：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，且∠C=90°-1/2∠B.求證:AB=BC-AD.

簡(jiǎn)解：1.利用平移.將線段DC沿DA方向平移到AE，其中點(diǎn)E在邊BC上.則AECD為平行四邊形，∠DAC=∠AEB=∠C，AD=EC.又∠C=90°-1/2∠B，∴2∠C+∠B =180°，又∵∠DAB+∠B==180°∴∠BAE+∠EAD+∠B=∠BAE+∠C+∠B=180°，∴∠BAE=∠C=∠AEB，∴AB=BE=BC-EC=BC-AD.

2.常規(guī)解法.延長(zhǎng)BA交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.過(guò)點(diǎn)B作CD邊的垂線，垂足為點(diǎn)O.利用已知條件證得△BPC與△APD皆為等腰三角形，進(jìn)而證得結(jié)論.

點(diǎn)評(píng)：比較兩種證法，前者利用平移變換，將已知條件集中一個(gè)三角形中，到化繁為簡(jiǎn)，求解十分方便，體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)思想解題的優(yōu)越性;而第二種解法過(guò)程較復(fù)雜，煩瑣.

變式訓(xùn)練：如圖，線段01O2與線段AB相交于點(diǎn)P，且01A⊥AB，O2B⊥AB，已知01A=r，O2B=R，01O2=d，(R、r、d均為常數(shù)).試求線段AB的長(zhǎng).

提示:利用平移，將AB平移到O1B1，將已知量R、r、d都集中在Rt△01O2B中，易求得AB即O1B1的長(zhǎng).(而利用平行線分線段成比例定理和方程思想，求得O1P、O2P的長(zhǎng)，再利用勾股定理求得AP、BP的長(zhǎng)，進(jìn)而求得AB的長(zhǎng)卻很煩瑣.)

例2：如圖，△ABC中，BC的垂直平分線交∠BAC的外角平分線于點(diǎn)D，連結(jié)DC 、DB.求證:∠DBA=∠DCA.

簡(jiǎn)解:將△BAD沿AD翻折到△B1AD，∵DA平分∠BAC的外角，∴AB1線在CA的延長(zhǎng)線上，∴△ABD≌△AB1D，∴BD=B1D，且∠DBA=∠D B1A

∵DE垂直平分BC，∴DC=DB，∴DC=DB1，∴∠D B1A=∠DCA.因此，∠DBA=∠DCA.

點(diǎn)評(píng)：此題直接證∠DBA=∠DCA非常困難，而通過(guò)翻折(周對(duì)稱運(yùn)動(dòng))，使∠DBA=∠D B1A，且∠DB1A與∠DCA在同一個(gè)三角形中，又是等腰三角形，因而得到∠DBA=∠DCA.本題通過(guò)運(yùn)用圖形運(yùn)動(dòng)思想，找準(zhǔn)問(wèn)題的切入點(diǎn)，化難為易，妙筆生花，殊途同歸，不失為一典范好例.遇中點(diǎn)或中線考慮，作軸對(duì)稱圖形，也是常用輔助線之一.

變式訓(xùn)練：已知:△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，BD平分∠ABC，且與AC交于點(diǎn)D.求：AD:DC的值.

提示：將△ABC沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上A1點(diǎn)，此時(shí)△DA1C是直角三角形.運(yùn)用30°角對(duì)的直角邊是斜邊的一半，進(jìn)而得出結(jié)論.

例3：如圖，△ABC中，∠C=90°，O是AB的中點(diǎn)，將三角尺的直角頂點(diǎn)置于點(diǎn)O，并繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使直角尺的另一邊交邊AC于E，直角尺的另一邊交邊BC于F(E、F均不與A、C、B重合)，連結(jié)EF.試問(wèn)：三條線段AE、EF、FB是否總能構(gòu)成一個(gè)直角三角形？請(qǐng)做出判斷，并證明你的結(jié)論.

簡(jiǎn)解：三條線段AE、EF 、FB總能構(gòu)成一個(gè)直角三角形，且EF是斜邊，最長(zhǎng)邊.將△BOF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°至△AOF1，(即作出△BOF關(guān)于O點(diǎn)的中心對(duì)稱圖形△AOF1)，連結(jié)AF1，∵AF1=BF，∠2=∠B，∠ACB=90°，∴∠1+∠2=90°.即∠EAF=90°.∵EO⊥FF1，且F1O=FO，∴EF1=EF.

又△AEF1是直角三角形，有AE2+AF12=EF12，即AE2+BF2=EF2，∴AE、EF、FB總能構(gòu)成一個(gè)直角三角形，且EF是斜邊，最長(zhǎng)邊.

點(diǎn)評(píng):此題是一結(jié)論開放性題，由于三線段AE、EF、FB較分散，通過(guò)圖形的中心對(duì)稱運(yùn)動(dòng)，使它們集中于一個(gè)AEF1中，而此三角形恰好是直角三角形，從而證明AE、EF、FB總能構(gòu)成一個(gè)直角三角形，且EF是斜邊，最長(zhǎng)邊.由此看來(lái)，將分散條件集中，是圖形運(yùn)動(dòng)思想在解題中的獨(dú)特妙用.

變式訓(xùn)練：已知:△ABC中，AD是BC邊上中線，且AD⊥AB，AC=10，AD=4.求:邊BC的長(zhǎng).

提示：作△ABD關(guān)于點(diǎn)D的中心對(duì)稱圖形△A1CD，則△AA1C是直角三角形，由勾股定理得A1C=6，再由Rt△A1CD，求得DC，最后得BC=2DC.進(jìn)而求得結(jié)果.

例4：已知點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APB=150°，PA=3，PB=4.求PC的長(zhǎng).

簡(jiǎn)解：將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度，連結(jié)P P′.

因△ABC是等邊三角形，故△APB與△CP′B全等.BP=B P′，∠PB P′=60°.則得△PB P′為等邊三角形，BP′=BP=4，P′C=PA=3.

∴∠PB P′=60°，P′P= BP=4.又∵∠APB=150°∴∠P P′C=90°.在Rt△PP′C中，由勾股定理得PC=5.

點(diǎn)評(píng):此題所求線段PC與已知線段PA、PB構(gòu)不成一個(gè)三角形，條件分散，不易求解.由于△ABC是等邊三角形，具備旋轉(zhuǎn)角60°的旋轉(zhuǎn)條件，因此可作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，將已知條件集中到一個(gè)直角三角形中，便于求解.此題解法新穎，充滿魅力.

變式訓(xùn)練1：如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=5，

以AC為邊向△ABC外作正方形ACEF，設(shè)O為正方形ACEF的中心，連結(jié)BO.求BO的長(zhǎng).

提示：連結(jié)AO、CO.將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△OCB1，可證∠OC B1=∠OAB，點(diǎn)B、C、B1共線，進(jìn)而證得△OBB1是等腰直角三角形，再求得BO長(zhǎng).

提示：將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ABF1，可證△AEF≌△AEF1，∠AEF=∠AEF1=60°進(jìn)而求的EC、EF、EF1.將△AEF的面積轉(zhuǎn)化為△AE F1的面積.可為構(gòu)思獨(dú)特.

將圖形運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)思想運(yùn)用于數(shù)學(xué)實(shí)際，利用平移、對(duì)稱、和旋轉(zhuǎn)變換，尋求變化過(guò)程中的不變因素，抓住變換特征，研究?jī)?nèi)在聯(lián)系，找準(zhǔn)突破口，將條件集中，數(shù)形結(jié)合，化難為易，化繁為簡(jiǎn)，建立數(shù)量關(guān)系，就能達(dá)到動(dòng)靜結(jié)合，以不變應(yīng)萬(wàn)變的核心目的.更會(huì)提升思維的高度，發(fā)展創(chuàng)新能力.