古代數(shù)學問題趣談

賈娟

【摘要】 數(shù)學是問題的心臟，解決問題是數(shù)學發(fā)展的步履.中國的古代數(shù)學史亦即一部中華傳統(tǒng)文化中的問題史，本文從數(shù)例古代數(shù)學問題來揭示數(shù)學與生活的密切聯(lián)系.

【關鍵詞】 數(shù)學史;古代數(shù)學問題

【基金項目】 山西省教育科學“十二五”規(guī)劃課題，項目編號：GH-15093.

數(shù)學作為中華民族歷史最悠久的學科之一，在這五千余年的歷史長河中，如果把數(shù)學比作華麗的貝殼，那么數(shù)學問題必是其中的貝肉.

我國古代的數(shù)學著作中記載著許多數(shù)學問題，可以說一部中國古代數(shù)學史就是一部問題史.《九章算術》是中國古代數(shù)學最重要的著作，全書采用問題集的形式，收集246個問題，一共九章，分別為：方田，粟米，衰分，少廣，商功，均輸，盈不足，方程，勾股.南宋秦九韶著的《數(shù)書九章》里，共收錄9類（即大衍類、天時類、田域類、測望類、賦役類、錢谷類、營建類、軍旅類、市物類）共81個問題;宋元時期李冶著的《益古演段》里有259個問題;宋元數(shù)學絕唱——朱世杰著的《四元玉鑒》收錄了288個問題……

我們將這些眾多問題略舉數(shù)例如下.

例1? 李白無事街上走，提一酒壺去打酒.遇店加一倍，見花喝一斗（斗為古代盛酒器皿）;三遇店和花，喝光壺中酒.借問此壺中，原有多少酒？

這道題目有著很強的人文色彩，詩人李白在喝酒賞花的過程中竟然還蘊含著如此興趣盎然的數(shù)學問題.學生在分析題目的時候，不由地會聯(lián)想到李白創(chuàng)作的“天生我材必有用，千金散盡還復來”“舉頭望明月，低頭思故鄉(xiāng)”等膾炙人口的佳句.唐代詩人李白到底愛酒到什么程度呢？在他現(xiàn)存一千多首詩詞中，跟酒相關的就占了四分之一，“借酒消愁愁更愁”“花間一壺酒，獨酌無相親”“五花馬，千金裘，呼兒將出換美酒”……喝酒的場景真是包羅萬象.“李白斗酒詩百篇，長安街上酒家眠”，說的就是李白喝一斗酒能做一百多篇詩，喝完了就睡在長安街的酒家里.在本題中，我們可以想象詩人李白的酒還沒有喝光，愛喝酒的他已經(jīng)迫不及待地帶著酒壺和飲酒的器皿——斗，又上街買酒去了.因為李白習慣每次喝1斗酒，所以當他看到壺中的酒不夠1斗時，就找到一個酒店，讓店主賣給他和壺里所剩數(shù)量相同多的酒;當他買酒后，走著走著看見路邊開著漂亮的鮮花，心情大好，于是就給自己倒了1斗酒與花共飲.當他又碰見一個酒店，這時發(fā)現(xiàn)酒壺里還剩一些酒沒有喝完，于是又讓店主賣給他和壺里所剩數(shù)量相同多的酒;路上李白又看見鮮花，就又喝了1斗酒.當他第三次碰見一個酒店的時候，發(fā)現(xiàn)酒還沒有喝完，就又叫店主賣給他和壺里所剩數(shù)量相同多的酒;從酒店出來后，又一路看見鮮花，李白又給自己倒了1斗酒一干而盡.這時，他發(fā)現(xiàn)酒壺里的酒已經(jīng)喝光了.看著空酒壺，李白心想：我原來出門的時候，酒壺里到底有多少酒呢？

由題意可知，李白在第三次看到花之后喝了1斗酒，此時已將酒壺里的酒喝光，即在第三次遇到酒店之后，并且第三次看到花之前，酒壺里正好是1斗酒;又在第二次看到花后并且第三次遇到酒店之前喝了1斗酒之后，酒壺里有 1 2 斗酒;還可知在第二次遇到酒店之后并且第二次見到花之前，買了和壺里相同數(shù)量的酒后，酒壺里有 3 2 斗酒;亦可知在第一次見到花后并且第二次遇到酒店之前，喝了1斗酒之后，酒壺里有 3 4 斗酒;在第一次遇到酒店之后并且第一次看到花之前，買了和壺里相同數(shù)量的酒后，壺中盛有 7 4 斗酒.由此即知，在第一次遇到酒店之前，壺中原來盛有 7 8 斗酒.綜合之即是：

{[（0+1）÷2+1]÷2+1}÷2={[1÷2+1]÷2+1}÷2=? 3 2 ÷2+1 ÷2= 7 4 ÷2= 7 8 （斗）.

這就是我們現(xiàn)在的逆向推算法.這種層層遞推、步步緊逼的方法，對培養(yǎng)學生的逆向思維能力是很有益處的.

此題還可以用解方程來求解：

設壺中原有酒x斗，則2[2（2x-1）-1]-1=0，解之得x= 7 8 （斗）.

例2? 從前，阿拉伯的一個老牧民有三個兒子和11匹馬，臨終前他對三個兒子說：“我死后沒有留下什么遺產(chǎn)給你們，僅有這11匹馬.你們把這11匹馬分掉，老大分 1 2 ，老二分 1 4 ，老三分 1 6 .但是不許把馬殺掉或賣掉，你們自己分吧.”說完，老人就長眠了.三個兄弟分來分去，總是找不到一個恰當?shù)霓k法把11匹馬分完.你能幫幫他們嗎？

如果按照老牧民的遺囑，直接分給三個兒子的馬匹數(shù)分別是：老大： 11 2 匹，老二： 11 4 匹，老三： 11 6 匹 （1），可是 11 2 + 11 4 + 11 6 <11 （2），而11-? 11 2 + 11 4 + 11 6? = 11 12? （3），現(xiàn)在三兄弟又必須分完這11匹馬且“不準把馬殺掉或賣掉”，由式（3）得 11 2 + 11 4 + 11 6 + 11 12 =11 （4），這里正好又有 11 12 = 1 2 + 1 4 + 1 6 ，因此，式（4）即 11 2 + 11 4 + 11 6 +? 1 2 + 1 4 + 1 6? =11 （5），又? 1 2 + 1 4 + 1 6? 中的 1 2 ， 1 4 ， 1 6 剛好分別是三個兒子分別應該分得的馬匹數(shù).

由此，不妨分兩次將馬匹分給三兄弟：老大第一次分得 11 2 匹、第二次分得 1 2 匹;老二第一次分得 11 4 匹、第二次分得 1 4 匹;老三第一次分得 11 6 匹、第二次分得 1 6 匹.

由加法結合律，式（5）即? 11 2 + 1 2? +? 11 4 + 1 4? +? 11 6 + 1 6? =11 （6），由式（6）即得老大兩次分得馬匹數(shù)之和 11 2 + 1 2 =6（匹）;老二兩次分得馬匹數(shù)之和 11 4 + 1 4 =3（匹）;老三兩次分得馬匹數(shù)之和 11 6 + 1 6 =2（匹）.即老大分得6匹馬，老二分得3匹馬，老三分得2匹馬.