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    古代數(shù)學問題趣談

    2019-04-15 12:50:46賈娟
    數(shù)學學習與研究 2019年4期
    關鍵詞:壺里斗酒匹馬

    賈娟

    【摘要】 數(shù)學是問題的心臟,解決問題是數(shù)學發(fā)展的步履.中國的古代數(shù)學史亦即一部中華傳統(tǒng)文化中的問題史,本文從數(shù)例古代數(shù)學問題來揭示數(shù)學與生活的密切聯(lián)系.

    【關鍵詞】 數(shù)學史;古代數(shù)學問題

    【基金項目】 山西省教育科學“十二五”規(guī)劃課題,項目編號:GH-15093.

    數(shù)學作為中華民族歷史最悠久的學科之一,在這五千余年的歷史長河中,如果把數(shù)學比作華麗的貝殼,那么數(shù)學問題必是其中的貝肉.

    我國古代的數(shù)學著作中記載著許多數(shù)學問題,可以說一部中國古代數(shù)學史就是一部問題史.《九章算術》是中國古代數(shù)學最重要的著作,全書采用問題集的形式,收集246個問題,一共九章,分別為:方田,粟米,衰分,少廣,商功,均輸,盈不足,方程,勾股.南宋秦九韶著的《數(shù)書九章》里,共收錄9類(即大衍類、天時類、田域類、測望類、賦役類、錢谷類、營建類、軍旅類、市物類)共81個問題;宋元時期李冶著的《益古演段》里有259個問題;宋元數(shù)學絕唱——朱世杰著的《四元玉鑒》收錄了288個問題……

    我們將這些眾多問題略舉數(shù)例如下.

    例1? 李白無事街上走,提一酒壺去打酒.遇店加一倍,見花喝一斗(斗為古代盛酒器皿);三遇店和花,喝光壺中酒.借問此壺中,原有多少酒?

    這道題目有著很強的人文色彩,詩人李白在喝酒賞花的過程中竟然還蘊含著如此興趣盎然的數(shù)學問題.學生在分析題目的時候,不由地會聯(lián)想到李白創(chuàng)作的“天生我材必有用,千金散盡還復來”“舉頭望明月,低頭思故鄉(xiāng)”等膾炙人口的佳句.唐代詩人李白到底愛酒到什么程度呢?在他現(xiàn)存一千多首詩詞中,跟酒相關的就占了四分之一,“借酒消愁愁更愁”“花間一壺酒,獨酌無相親”“五花馬,千金裘,呼兒將出換美酒”……喝酒的場景真是包羅萬象.“李白斗酒詩百篇,長安街上酒家眠”,說的就是李白喝一斗酒能做一百多篇詩,喝完了就睡在長安街的酒家里.在本題中,我們可以想象詩人李白的酒還沒有喝光,愛喝酒的他已經(jīng)迫不及待地帶著酒壺和飲酒的器皿——斗,又上街買酒去了.因為李白習慣每次喝1斗酒,所以當他看到壺中的酒不夠1斗時,就找到一個酒店,讓店主賣給他和壺里所剩數(shù)量相同多的酒;當他買酒后,走著走著看見路邊開著漂亮的鮮花,心情大好,于是就給自己倒了1斗酒與花共飲.當他又碰見一個酒店,這時發(fā)現(xiàn)酒壺里還剩一些酒沒有喝完,于是又讓店主賣給他和壺里所剩數(shù)量相同多的酒;路上李白又看見鮮花,就又喝了1斗酒.當他第三次碰見一個酒店的時候,發(fā)現(xiàn)酒還沒有喝完,就又叫店主賣給他和壺里所剩數(shù)量相同多的酒;從酒店出來后,又一路看見鮮花,李白又給自己倒了1斗酒一干而盡.這時,他發(fā)現(xiàn)酒壺里的酒已經(jīng)喝光了.看著空酒壺,李白心想:我原來出門的時候,酒壺里到底有多少酒呢?

    由題意可知,李白在第三次看到花之后喝了1斗酒,此時已將酒壺里的酒喝光,即在第三次遇到酒店之后,并且第三次看到花之前,酒壺里正好是1斗酒;又在第二次看到花后并且第三次遇到酒店之前喝了1斗酒之后,酒壺里有 1 2 斗酒;還可知在第二次遇到酒店之后并且第二次見到花之前,買了和壺里相同數(shù)量的酒后,酒壺里有 3 2 斗酒;亦可知在第一次見到花后并且第二次遇到酒店之前,喝了1斗酒之后,酒壺里有 3 4 斗酒;在第一次遇到酒店之后并且第一次看到花之前,買了和壺里相同數(shù)量的酒后,壺中盛有 7 4 斗酒.由此即知,在第一次遇到酒店之前,壺中原來盛有 7 8 斗酒.綜合之即是:

    {[(0+1)÷2+1]÷2+1}÷2={[1÷2+1]÷2+1}÷2=? 3 2 ÷2+1 ÷2= 7 4 ÷2= 7 8 (斗).

    這就是我們現(xiàn)在的逆向推算法.這種層層遞推、步步緊逼的方法,對培養(yǎng)學生的逆向思維能力是很有益處的.

    此題還可以用解方程來求解:

    設壺中原有酒x斗,則2[2(2x-1)-1]-1=0,解之得x= 7 8 (斗).

    例2? 從前,阿拉伯的一個老牧民有三個兒子和11匹馬,臨終前他對三個兒子說:“我死后沒有留下什么遺產(chǎn)給你們,僅有這11匹馬.你們把這11匹馬分掉,老大分 1 2 ,老二分 1 4 ,老三分 1 6 .但是不許把馬殺掉或賣掉,你們自己分吧.”說完,老人就長眠了.三個兄弟分來分去,總是找不到一個恰當?shù)霓k法把11匹馬分完.你能幫幫他們嗎?

    如果按照老牧民的遺囑,直接分給三個兒子的馬匹數(shù)分別是:老大: 11 2 匹,老二: 11 4 匹,老三: 11 6 匹 (1),可是 11 2 + 11 4 + 11 6 <11 (2),而11-? 11 2 + 11 4 + 11 6? = 11 12? (3),現(xiàn)在三兄弟又必須分完這11匹馬且“不準把馬殺掉或賣掉”,由式(3)得 11 2 + 11 4 + 11 6 + 11 12 =11 (4),這里正好又有 11 12 = 1 2 + 1 4 + 1 6 ,因此,式(4)即 11 2 + 11 4 + 11 6 +? 1 2 + 1 4 + 1 6? =11 (5),又? 1 2 + 1 4 + 1 6? 中的 1 2 , 1 4 , 1 6 剛好分別是三個兒子分別應該分得的馬匹數(shù).

    由此,不妨分兩次將馬匹分給三兄弟:老大第一次分得 11 2 匹、第二次分得 1 2 匹;老二第一次分得 11 4 匹、第二次分得 1 4 匹;老三第一次分得 11 6 匹、第二次分得 1 6 匹.

    由加法結合律,式(5)即? 11 2 + 1 2? +? 11 4 + 1 4? +? 11 6 + 1 6? =11 (6),由式(6)即得老大兩次分得馬匹數(shù)之和 11 2 + 1 2 =6(匹);老二兩次分得馬匹數(shù)之和 11 4 + 1 4 =3(匹);老三兩次分得馬匹數(shù)之和 11 6 + 1 6 =2(匹).即老大分得6匹馬,老二分得3匹馬,老三分得2匹馬.

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