初中幾何常見等量關(guān)系初探

楊海舟

【摘要】 初中平面幾何對一部分學(xué)生而言，是一門枯燥、無聊的學(xué)科.不僅學(xué)習(xí)起來復(fù)雜困難，教師在進(jìn)行教學(xué)的過程中也比較吃力.造成這一問題的主要原因是沒有掌握正確的解決問題的方法.而初中幾何中隨處可見求邊長、角度、面積，求函數(shù)關(guān)系，求證數(shù)量或位置關(guān)系等等，這些都離不開建立等量關(guān)系.而各種資料中很少全面系統(tǒng)地歸納整理初中幾何中等量關(guān)系的有效方法，本文即對此做初步探究.

【關(guān)鍵詞】 轉(zhuǎn)化;構(gòu)造;等量關(guān)系

新課改內(nèi)容中一再強(qiáng)調(diào)，教師需要將數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法進(jìn)行有機(jī)的融合，并將這一解決方法教學(xué)給學(xué)生.數(shù)學(xué)教師需要重視對學(xué)生數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的培養(yǎng)，在實(shí)際教學(xué)中不斷進(jìn)行滲透數(shù)學(xué)思想和方法活動(dòng)，切實(shí)有效地不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與解題能力.在初中幾何教學(xué)中，經(jīng)常會(huì)遇到求邊長、角度、面積，求函數(shù)關(guān)系，求證數(shù)量或位置關(guān)系等等，這些都離不開建立等量關(guān)系.幾何中常見的等量關(guān)系有以下幾種.

一、原有的等量關(guān)系（已知條件中包含的等量關(guān)系、明確圖形的等量關(guān)系、公式公理定理中的等量關(guān)系）

例如，兩直線若平行，則它們的斜率相等，若垂直，則它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等等.因?yàn)榉椒ㄖ苯雍啽愦颂幉蛔鲈斀?

二、在直角三角形（或構(gòu)造直角三角形）中利用勾股定理、銳角三角函數(shù)、或射影定理構(gòu)造等量關(guān)系

直角三角形是初中幾何中一個(gè)基礎(chǔ)而又特別重要的內(nèi)容，它有很多特別重要的性質(zhì)，例如，兩直角邊互相垂直，兩銳角互余，勾股定理，銳角三角函數(shù)，射影定理等等，于是我們?？梢越柚延械闹苯侨切位驑?gòu)造直角三角形，利用這些性質(zhì)建立等量關(guān)系從而解決問題.一般可以通過直接作垂直，或者利用等腰三角形三線合一或垂徑定理等構(gòu)造直角三角形.

例1?? （2014·河南）如圖1所示，矩形ABCD中，AD=5，AB=7，點(diǎn)E為DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△ADE沿AE折疊，當(dāng)點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)D′落在∠ABC的角平分線上時(shí)，DE的長為 .

分析? 連接BD′，過D′作MN⊥AB，交AB于點(diǎn)M，CD于點(diǎn)N，作D′P⊥BC交BC于點(diǎn)P，先利用勾股定理求出MD′，再分兩種情況利用勾股定理求出DE.

解? 如圖2所示，連接BD′，過D′作MN⊥AB，交AB于點(diǎn)M，CD于點(diǎn)N，作D′P⊥BC交BC于點(diǎn)P.

∵點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)D′落在∠ABC的角平分線上，

∴MD′=PD′，

設(shè)MD′=x，則PD′=BM=x，∴AM=AB-BM=7-x，

又折疊圖形可得AD=AD′=5，

在Rt△AMD′中，由勾股定理得x2+（7-x）2=25，

解得x=3或4，即MD′=3或4.

在Rt△END′中，設(shè)ED′=a，

① 當(dāng)MD′=3時(shí)，AM=7-3=4，D′N=5-3=2，EN=4-a，

∴a2=22+（4-a）2，解得a= 5 2 ，即DE= 5 2 .

② 當(dāng)MD′=4時(shí)，AM=7-4=3，D′N=5-4=1，EN=3-a，

∴a2=12+（3-a）2，解得a= 5 3 ，即DE= 5 3 .

故答案為 5 2 或 5 3 .

本題主要考查了折疊問題，解題的關(guān)鍵是明確掌握折疊以后有哪些線段是對應(yīng)相等的.矩形的折疊中一般可以借助直角三角形的勾股定理構(gòu)造等量關(guān)系，建立方程，從而解決問題.

三、在相似三角形（或構(gòu)造相似三角形）中利用對應(yīng)線段成比例，或利用平行線分線段成比例構(gòu)造等量關(guān)系

相似三角形對初中生來講是一個(gè)比較難的模塊，通過相似三角形的對應(yīng)線段成比例的等量關(guān)系來構(gòu)造方程或函數(shù)關(guān)系關(guān)鍵是找出相似三角形，更難的是構(gòu)造相似三角形，此時(shí)經(jīng)常采用逆向思維方法由需要的條件去找或構(gòu)造相似三角形.

例2?? （2017·福建）如圖3所示，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分別是線段AC，BC上的點(diǎn)，且四邊形PEFD為矩形.

（1）若△PCD是等腰三角形，求AP的長;

（2）若AP= 2 ，求CF的長.

分析? （1）先求出AC，再分三種情況討論計(jì)算即可得出結(jié)論，此處利用的是本文中的第一條：原有的等量關(guān)系（已知條件中包含的等量關(guān)系、明確圖形的等量關(guān)系、公式公理定理中的等量關(guān)系）.

（2）方法1：先判斷出OC= 1 2 ED，OC= 1 2 PF，進(jìn)而得出OC=OP=OF，即可得出∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，最后判斷出△ADP∽△CDF，得出比例式構(gòu)建方程即可得出結(jié)論.

方法2：先判斷出∠CEF=∠FDC，得出點(diǎn)E，C，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓，再判斷出點(diǎn)P也在此圓上，即可得出∠DAP=∠DCF，此后同方法1構(gòu)建方程即可得出結(jié)論.

方法3：先判斷出△PME∽△PND即可得出 DP PE = 4 3 ，進(jìn)而用兩邊對應(yīng)成比例夾角相等判斷出△ADP∽△CDF，得出比例式構(gòu)建方程即可得出結(jié)論.

四、等積法構(gòu)造等量關(guān)系

等積法其實(shí)就是等面積或等體積（容積）法，運(yùn)用面積（體積）關(guān)系來證明或計(jì)算幾何題的方法，稱為等（面或體）積法，它是幾何中的一種常用方法，可以利用“一個(gè)圖形的面積相等”或“分割圖形后各部分面積之和等于原圖形的面積”，從而建立等量關(guān)系解決問題.用等積法可以解決很多問題，例如，求三角形、四面體的高，求圖形的面積或體積，求三角形內(nèi)切圓半徑，求函數(shù)解析式，在某些規(guī)律探究題中也有一定的作用.等積法的特點(diǎn)是把已知和未知各量用面積（體積）公式聯(lián)系起來，通過運(yùn)算達(dá)到求證的結(jié)果.所以用等（面或體）積法來解幾何題，幾何元素之間關(guān)系變成數(shù)量之間的關(guān)系，只需要計(jì)算，有時(shí)可以不添置輔助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到.用等積法常要用到同（等）底同（等）高的兩個(gè)三角形面積相等，同（等）底或同（等）高的面積的比等于它們的高（或底）之比，圖形的平移、對稱、旋轉(zhuǎn)等知識.

例3?? 已知正方形ABCD和正方形CEFG的邊BC與邊CE在同一直線上，BC=2，求△BDF的面積.

分析? 在這個(gè)問題中只有正方形ABCD的邊長，顯然△BDF的面積只與這個(gè)量有關(guān)，因此，考慮將△BDF的面 積轉(zhuǎn)化到正方形ABCD中，連接CF，易證CF∥BD，現(xiàn)利用同底等高的兩個(gè)三角形面積相等將所求的△BDF的面積轉(zhuǎn)化為△BDC的面 積.

五、“第三者”代換

在生活中“第三者”似乎“不能見光”，但在數(shù)學(xué)中“第三者”可以“光明正大”地“登堂入室”，數(shù)學(xué)中的第三者是轉(zhuǎn)化問題的橋梁，有時(shí)候是解決問題的關(guān)鍵，解題時(shí)若能眼觀全局，明確最終目的，就有可能發(fā)現(xiàn)這個(gè)“第三者”.常見的“第三者”有邊、角、某些比例，例如，三角函數(shù)等.經(jīng)?？梢岳萌热切位虻妊切沃械哪承┻吇蚪窍嗟?，也可以利用平行線、相似三角形、三角函數(shù)中的比例或同角（或等角）的余（補(bǔ)）角相等等多種途徑達(dá)到“第三者”代換的目的，從而建立等量關(guān)系達(dá)到解題的目的.

例4?? （2017·北京）如圖5所示，AB是⊙O的一條弦，E是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EC⊥OA于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作⊙O的切線交CE的延長線于點(diǎn)D.

（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半徑.

解? （2）作DF⊥AB于F，連接OE.

∵DB=DE，AE=EB=6，∴EF= 1 2 BE=3，OE⊥AB.

在Rt△EDF中，DE=BD=5，EF=3，

∴DF= 52-32 =4，

∵∠AOE+∠A=90°，∠DEF+∠A=90°，

∴∠AOE=∠DEF，∴sin∠DEF=sin∠AOE= AE AO = 4 5 .

∵AE=6，∴AO= 15 2 ，∴⊙O的半徑為 15 2 .

在第（2）問中作DF⊥AB于F，連接OE.只要證明∠AOE=∠DEF，可得sin∠DEF=sin∠AOE= AE AO = 4 5 ，由此 求出AE即可解決問題.此處就是利用了“第三者”——比例關(guān)系：角相等，從而相等角的同名三角函數(shù)值也相等建立的等量關(guān)系達(dá)到解題的目的.

六、將相關(guān)量轉(zhuǎn)化到同一直線上，利用線段的和、差、倍、分關(guān)系

在與線段有關(guān)的等量關(guān)系證明中，線段的和、差、倍、分問題，只要通過“縮”將它們變成一條線段，就可以劃歸為相等關(guān)系的證明，與倍、分相關(guān)的證明還可以通過中位線、中線、中點(diǎn)“加倍”“折半”，使變成一條線段，也可以轉(zhuǎn)化為相等的關(guān)系證明，或者化歸為比例，與證明線段成比例類似，可以利用平行線分線段成比例定理、相似三角形性質(zhì)的內(nèi)容來解決，有時(shí)，把與面積有關(guān)的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為與線段有關(guān)的等量關(guān)系來證明也不失為一條捷徑.

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最重要的意義是學(xué)會(huì)變式思維，能一題多變，一題多解，多題同解，當(dāng)我們將以上的方法熟練掌握以后，對很多幾何問題我們就可以多方面、多角度地處理.

例5?? （2017·陜西）如圖7所示，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3.若點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)B作BF⊥AE交AE于點(diǎn)F，則BF的長為（? ）.

A. 3 10? 2

B. 3 10? 5

C.? 10? 5

D. 3 5? 5

先借助勾股定理求出AE=BE= 10 .

方法一? 借助相似三角形對應(yīng)邊成比例，易證△AED∽△BAF，得 AD AE = BF AB ，得 3? 10? = BF 2 ，從而BF= 3 10? 5 .

方法二? 借助等面積法，連接BE，S△ABE= AE×BF 2 = AB×BC 2 ，得到 10 ×BF=2×3.

方法三?? 借助將所有關(guān)聯(lián)量全部轉(zhuǎn)化到線段上，設(shè)BF= x，則AE=AF+EF，即： 10 = 22-x2 + （ 10 ）2-x2 .

方法四? 借助第三者轉(zhuǎn)化，設(shè)AF=x，則EF= 10 -x，則BF2=22-x2=（ 10 ）2-（ 10 -x）2.

當(dāng)我們熟練掌握了以上六種常見構(gòu)造等量關(guān)系的方法后，這個(gè)問題就變得相當(dāng)簡單了.此題就是從多角度用了文中提到的四種方法建立方程，從而解決問題.

七、結(jié) 語

在解決初中平面幾何問題中，對題目加以分析，理清頭緒、找出各量之間的內(nèi)在關(guān)系，通過常見的一些構(gòu)造等量關(guān)系的技巧構(gòu)造方程、函數(shù)關(guān)系來解決問題，提升學(xué)生的解題能力.

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