數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用嘗試

季子怡

【摘要】 數(shù)學(xué)思想方法作為學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)，掌握數(shù)學(xué)思想方法等同于掌握了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心.但是對我們而言，數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用難度較大.因此，下文主要圍繞數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用進(jìn)行研究.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué);高中;數(shù)學(xué)思想方法

掌握數(shù)學(xué)思想方法不但有助于我們把握數(shù)學(xué)知識脈絡(luò)，而且有助于構(gòu)成數(shù)學(xué)知識體系，提升數(shù)學(xué)解題能力.在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，思想方法作為重難點(diǎn)，包含許多內(nèi)容，比較常見的是數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等.下面就以這些方法為例展開分析.

一、數(shù)形結(jié)合思想

高中數(shù)學(xué)研究的主體對象是數(shù)與形，兩者具有密不可分的關(guān)系[1].數(shù)形結(jié)合作為一種十分常見的數(shù)學(xué)思想方法，在實(shí)際應(yīng)用中主要分為以下兩種情況：其一，借助數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性來描述形的某種特征;其二，借助幾何圖形的直觀性來描述數(shù)與數(shù)之間的某種聯(lián)系.簡單地說，數(shù)形結(jié)合分為兩種類型，一是“以數(shù)解形”，二是“以形助數(shù)”，具體解題過程以下題為例：

已知f（x）是定義在（-3，3）上的奇函數(shù)，當(dāng)0

A. -3，- π 2? ∪（0，1）∪? π 2 ，3

B. - π 2 ，-1 ∪（0，1）∪? π 2 ，3

C.（-3，-1）∪（0，1）∪（1，3）

D. -3，- π 2? ∪（0，1）∪（1，3）

由圖像可知：00.再由f（x）是奇函數(shù)，知：當(dāng)-10;當(dāng)-3

當(dāng)-30，∴當(dāng)x∈ - π 2 ，-1 ∪（0，1）∪? π 2 ，3 時(shí)，f（x）·cosx<0，故選B.

二、函數(shù)與方程思想

函數(shù)思想，簡單地說是利用函數(shù)的性質(zhì)與概念，將問題轉(zhuǎn)換成可以解決的問題.方程思想則是以數(shù)量關(guān)系為基礎(chǔ)，結(jié)合數(shù)學(xué)語言將實(shí)際問題中的未知條件及已知條件轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)模型，既可以是方程、不等式，又可以是方程與不等式的混合，在此基礎(chǔ)上計(jì)算求解方程（組）或不等式，從而得出正確答案[2].函數(shù)涉及的知識點(diǎn)比較多，一直是考試的重點(diǎn)，我們需要提高對此方法的重視.當(dāng)前比較常見的集中題型：一是遇到變量過程中，依據(jù)實(shí)際情況構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，從而順利解題;二是求解有關(guān)最值類的問題時(shí)，借助函數(shù)觀點(diǎn)分析數(shù)學(xué)條件;三是遇到多種變量的問題時(shí)，我們需要從中選取最佳的主變量，揭示函數(shù)間的關(guān)系，順利解答問題.以下題為例：

如圖所示，矩形ABCD的邊AB=a，BC=2，PA⊥平面ABCD，PA=2，現(xiàn)有數(shù)據(jù)：① a=? 3? 2 ;② a=1;③ a= 3 ;④ a=2;⑤ a=4.當(dāng)在BC邊上存在點(diǎn)Q，使PQ⊥QD時(shí)，a可能取所給數(shù)據(jù)中的哪些值？請說明理由.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為：A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）.設(shè)Q（a，x，0）（0≤x≤2），∵PQ =（a，x，-2），QD =（-a，2-x，0），∴由PQ⊥QD，得PQ ·QD =0，∴a2=x（2-x）.∵x∈[0，2]，∴a2=x（2-x）∈（0，1]，∴在所給數(shù)據(jù)中，a可取? 3? 2 和a=1兩個(gè)值.

三、分類討論思想

事實(shí)上，每個(gè)結(jié)論都有自己成立的所需條件，每種數(shù)學(xué)方法的使用也存在一些特殊要求，在我們解題過程中，由于部分問題的結(jié)論存在不穩(wěn)定性，所以不可以只是用一種解題形式去對其展開探究，分類討論思想應(yīng)運(yùn)而生[3].在解答實(shí)際問題過程中，我們將數(shù)學(xué)問題按照一定規(guī)律與要求，分成若干個(gè)問題來解，這一解題思想被人們稱之為分類討論思想.分類討論的類型有許多種，具體如下：第一，與數(shù)式相 關(guān)的分類討論;第二，三角形中的分類討論;第三，圓中的分類討論.以下題為例：

如圖所示，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中點(diǎn)，過P點(diǎn)的直線交AB于點(diǎn)Q，若以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形和以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形相似，則AQ的長為（? ）.

A.3

B.3或 4 3

C.3或 3 4

D. 4 3

解析：∵AC=4，P是AC的中點(diǎn)，∴AP= 1 2 ，AC=2，① 若△APQ∽△ACB，則 AP AC = AQ AB ，即 2 4 = AQ 6 ，解得AQ=3;② 若△APQ∽△ABC，則 AQ AC = AP AB ，即 2 6 = AQ 4 ，解得AQ= 4 3 .∴AQ的長為3或 4 3 .故選B.

四、轉(zhuǎn)化與化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想不只是一種常用的解題思想，也是一種應(yīng)用廣泛的思維策略.在解題過程中應(yīng)用化歸思想方法，收集已知與未知量，將其轉(zhuǎn)換成簡單易解的問題，不但能降低解題難度，而且有助于提升我們的解題效率.同時(shí)，化歸在數(shù)學(xué)解題中十分常見，主要功能是：將我們原本陌生的知識轉(zhuǎn)換成較為熟悉的內(nèi)容，將復(fù)雜、難以理解的知識轉(zhuǎn)換為簡單的內(nèi)容，將抽象、難以理解的知識轉(zhuǎn)換成形象具體的內(nèi)容，以此降低解題難度.以下題為例：在三角形ABC中，若三邊a，b，c滿足c2=a2+b2，則三角形ABC是直角三角形，現(xiàn)在請你研究：若cn=an+bn（n>2的自然數(shù)），問三角形ABC為何種三角形？為什么？

五、結(jié)束語

綜上所述，數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)課程的精髓，其在數(shù)學(xué)解題中無處不在，需要我們深度挖掘.要想提升我們的考試成績，需要注重日常積累，活學(xué)活用數(shù)學(xué)思想方法，從解題中總結(jié)規(guī)律，從而不斷提升解題能力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]李貞凌.數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中的應(yīng)用[J].學(xué)周刊，2017（27）：105-106.

[2]林雪.關(guān)于轉(zhuǎn)化思想方法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用探討[J].中國校外教育：上旬，2016（5）：71.

[3]趙建雄.淺談化歸思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)解題中的應(yīng)用[J].甘肅科技縱橫，2007（6）：184.