反思促進(jìn)學(xué)生高效解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

羅文三

【摘要】 本文從反思答案是否準(zhǔn)確無(wú)誤、方法能否一題多解、題目能否一題多變、規(guī)律能否進(jìn)行建模四個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題后反思，“解題后反思”既能促進(jìn)學(xué)生鞏固所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法，又能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和培育學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 反思;引導(dǎo);解題

在開(kāi)展課題研究過(guò)程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題后的反思，深刻體會(huì)到：反思促進(jìn)學(xué)生高效解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

一、反思概念界定

本文所說(shuō)的反思是指學(xué)生以自己的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)為思考對(duì)象，自覺(jué)主動(dòng)地對(duì)自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為、方法以及由此產(chǎn)生的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行審視和調(diào)控的一種行為，是學(xué)生 順利進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)以及提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一條有效途徑.

二、反思理論基礎(chǔ)

20世紀(jì)70年代美國(guó)兒童心理學(xué)家弗萊維爾提出了元認(rèn)知的概念，他認(rèn)為元認(rèn)知就是對(duì)認(rèn)知的認(rèn)知，即以認(rèn)知作為研究對(duì)象的認(rèn)知.這一概念包括三個(gè)方面的內(nèi)容：元認(rèn)知知識(shí)、元認(rèn)知體驗(yàn)和元認(rèn)知監(jiān)控[1].可見(jiàn)元認(rèn)知理論的形成，深化并拓展了反思的觀念，不僅使反思的內(nèi)涵與步驟更加清晰、更易理解和把握，而且使反思由昔日單純的心理現(xiàn)象變成一種實(shí)踐行為.

三、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題后反思

美籍匈牙利數(shù)學(xué)教育家喬治·波利亞曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧;如果沒(méi)有了反思，他們就錯(cuò)過(guò)了解題的一次重要而有效益的方面.”因此，學(xué)生在解完數(shù)學(xué)問(wèn)題以后，有必要回顧和檢查自己的解題過(guò)程，并進(jìn)行深入的反思.筆者從以下四個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題后反思.

（一）反思答案是否準(zhǔn)確無(wú)誤

每當(dāng)學(xué)生解完題后，教師要引導(dǎo)學(xué)生反思答案是否有誤和疏漏的地方，并加以總結(jié)應(yīng)該注意的方面：答案是否與題中隱含條件相抵觸，是否有其他可能情況，是否掉入了命題者所設(shè)置的陷阱等.

在學(xué)生學(xué)習(xí)選修2-1中橢圓概念時(shí)，筆者讓學(xué)生思考問(wèn)題：已知點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），如果點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|=2，那么點(diǎn)P的軌跡是什么？學(xué)生會(huì)輕率地做出錯(cuò)誤的判斷：橢圓.學(xué)生容易記住本質(zhì)條件，但往往忽略了附加條件，從而造成運(yùn)用時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤，因而，在學(xué)生解完題后，教師要引導(dǎo)學(xué)生反思錯(cuò)誤原因.

（二）反思方法能否一題多解

不少數(shù)學(xué)問(wèn)題具有靈活多樣的解法，因此，在學(xué)生解完題目以后，教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題方法進(jìn)行反思，鼓勵(lì)學(xué)生積極尋求解題的多種途徑，促進(jìn)學(xué)生對(duì)問(wèn)題有更深層次的理解.

人民教育出版社A版選修2-1的第73頁(yè)第6題：直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)O是原點(diǎn)，求證：OA⊥OB.

經(jīng)過(guò)教師的引導(dǎo)，學(xué)生就可以想出以下三種解決方法.

方法一：引導(dǎo)學(xué)生觀察題設(shè)，直線和拋物線的方程是確定的，聯(lián)立方程組即可求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，要證明OA⊥OB，學(xué)生很容易想到kOA·kOB=-1（斜率顯然存在）.

方法二：引導(dǎo)學(xué)生思考第一種思路是否可以優(yōu)化.不用考慮斜率是否存在，盡量減少計(jì)算量，不求出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想兩個(gè)向量垂直，運(yùn)用向量坐標(biāo)化，學(xué)生很快想到：OA ⊥OB x1x2+y1y2=0.

方法三：引導(dǎo)學(xué)生充分利用平面幾何性質(zhì)，“OA⊥OB”等價(jià)于“以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O”，可以運(yùn)用有關(guān)圓的知識(shí)來(lái)解決.

通過(guò)一題多解，促進(jìn)學(xué)生多角度地思考問(wèn)題，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，培養(yǎng)了學(xué)生反思意識(shí)，發(fā)展了學(xué)生創(chuàng)新思維.

（三）反思題目能否一題多變

教師引導(dǎo)學(xué)生從適當(dāng)改變?cè)}的條件或結(jié)論，對(duì)原題進(jìn)行改造，做出適當(dāng)變形或變式，使一題變多題，把一道題 變成一類題，有利于學(xué)生拓寬思路，開(kāi)闊視野，提高應(yīng)變能力.筆者從以下四個(gè)角度引導(dǎo)學(xué)生對(duì)以上教材習(xí)題進(jìn)行變 式.

1.引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行等價(jià)化變式

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察分析題目中的條件和結(jié)論，尋找它們的等價(jià)條件和等價(jià)結(jié)論，學(xué)生比較容易想到變式命題1：過(guò)點(diǎn)（2，0）且斜率為1的直線與拋物線y2=2x相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)O是原點(diǎn)，求證：以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O.

2.引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一般化變式

教師引導(dǎo)學(xué)生思考能否將題中的特殊條件一般化，啟發(fā)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合變換直線位置，學(xué)生能很快想到利用對(duì)稱性找到符合條件的直線，教師進(jìn)一步鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想：是否過(guò)定點(diǎn)（2，0）的任意直線l都符合？經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，進(jìn)而得到變式命題2：過(guò)點(diǎn)（2，0）的直線l與拋物線y2=2x相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)O是原點(diǎn)，求證：OA⊥OB.

3.引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行互逆化變式

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行逆向思維，啟發(fā)學(xué)生分別將命題2的條件和結(jié)論相互交換，可得到變式命題3：直線l與拋物線y2=2x相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)O是原點(diǎn)，OA⊥OB，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)（2，0）.

4.引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比化變式

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比思考：能否將拋物線類比到橢圓或雙曲線也有這樣的結(jié)論？鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，引導(dǎo)學(xué)生先從特殊的橢圓及其特殊點(diǎn)進(jìn)行探索，結(jié)合圖形技術(shù)加以驗(yàn)證，經(jīng)過(guò)小組合作討論，再通過(guò)證明，得到變式命題4：直線l與橢圓 x2 4 +y2=1相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P是橢圓的左頂點(diǎn)，PA⊥PB，求證：直線l過(guò)定點(diǎn).

（四）反思規(guī)律能否進(jìn)行建模

教師讓學(xué)生思考這個(gè)問(wèn)題：不等式2x2+（4k+l）x+2k2-1>0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.然后引導(dǎo)學(xué)生反思它的等價(jià)問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生對(duì)這類題型可以構(gòu)建函數(shù)與方程模型，等價(jià)于關(guān)于x的二次方程根問(wèn)題和二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)問(wèn)題.

在學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題后，教師不但要引導(dǎo)學(xué)生歸納知識(shí)要點(diǎn)，注重知識(shí)遷移，探索解題規(guī)律，優(yōu)化解題方法，而且還要引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，拓展創(chuàng)新思維，力求能力發(fā)展.只有這樣，教師才能帶學(xué)生走出茫?！邦}?！?，讓學(xué)生收到事半功倍的效果，進(jìn)而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效率.

總之，教師從以上四個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題后反思，既能促進(jìn)學(xué)生鞏固所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法，又能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和培育學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【參考文獻(xiàn)】

[1]J.H.弗拉維爾.認(rèn)知發(fā)展（第4版）[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2002.