我在一題多解中成長

王焱

在如今這個大干世界，社會在進步、科技在發(fā)展.沒有最好、只有更好，因此在面對疑難時，應做到“一題多解，一題多思，一題多想”.唯有如此，才可做到自我修正，不斷優(yōu)化，應變白如，穩(wěn)操勝券，進而立于不敗之地.而數學題目更是如此，有的題目之所以看似做得很完美，是因為你沒有其他方法與之比較.不同的解法不僅能幫我們打開思路，訓練思維，有時可以幫助我們彌補一些思路上的錯誤.

下面就高一“零點問題”一例，談談我是如何因平時注重“一題多解”，而發(fā)現(xiàn)思維漏洞，然后自我修改、自我成長的.題已知關于于x的函數f（x）= ax23ax+ba-30在x∈（1，9）上有且僅有一個零點，求實數a的取值范圍.

解讀：此題以a=0不合題意，所以可先排除.因為有了這個前提，所以解答中沒有對f（x）=ax2-3ax+ba-30是什么類型的函數（一次或二次）進行討論，而是直接根據函數的件質將其分成了兩類：f（x）在（1，9）之間將穿過x軸，也即必將有零點，但有幾個零點還未定.根據二次函數的特殊性，如果二次函數的兩個零點在同一區(qū)間內，則其區(qū)間端點所對的函數值必定同號，因此，這里將“考慮二次函數的圖象特征”做到心中有數，思而不寫.y=f（x）的圖象與x軸相切，恰好只有一個零點則應該保證此零點在（1，9）內，因此通過△=0解a后還需檢驗x.是否在（1，9）內.

這種解法看似巧妙，分類少，十分方便，但它卻是錯解.這個結論是我通過解法2發(fā)現(xiàn)的，所以請看如下解法：

解法2 （圖象法）令ax²-3ar+ba-30=0，整理得a（x²-3x+6）=30.因為a=0不合題意，所以x²-3x+6=30（a≠0）.

義因為關于x的函數f（x）=ax²-3ax+6a-30在x∈（1，9）內僅有一個零點，所以x²-3x+6=30在x∈（1，9）內僅有一解，即y=x²-3x+6與y=30/a的圖象在（1，9）內僅有一個交點.作出y =x²-3x+6在（1，9）內的圖象，觀察圖象可知30/a=15/4或30/a∈（4，60），所以a=8或1/2

解讀 圖象法的優(yōu)點是直觀、簡捷、明朗.首先做的是變量分離，將未知量x與常量a置于方程的兩邊，從而可以將.f（x）=0化為x²-3x+6=30/a（a≠0），看成函數y=x²-3x+6的圖象與y=30/a這條直線的交點的情況，因此我作了y=x²-3x+6的圖象，然后觀察何時直線y=30/a與其圖象僅有一個交點.

法2與法1結果的不同，讓我驚訝不已.我將a=15/2代人題目檢驗，發(fā)現(xiàn)了法1錯因：我沒有對端點值進行考慮，此處并不會因為它是開區(qū)間則可以對端點不予考慮.相反，依然十分重要，應該考慮是否會出現(xiàn)以下情況：

y=f（x）在x=1時恰好為0，并且另外一個零點恰好在（1，9）這個區(qū)間內，因此我犯了漏解的錯誤.

感悟

錯解與正解相差的只是一個a值，但卻有著很大的差距，不可以因為是開區(qū)間，則忽視對其區(qū)間端點值的考慮;相反，應該更加慎重地進行考慮.在后來的學習中，我發(fā)現(xiàn)我還是犯考慮問題不周的錯誤，難道，這僅僅是一個簡單的考慮不周嗎？是不是我的表達不規(guī)范，思而不寫，思維太急導致的必然結果呢？

事實證明，就是因我只求思路快捷，不想表達嚴謹.于是我重新整理出下面的解答過程：

解法3 （分類討論法）因為已知關于x的函數y=ax²-3ax+6a-30在x∈（1，9）內有且僅有一個交點，所以：①a=0時，有f（x）=一30.因為 -30≠0，所以a=0不合題意，

感悟 此方法與解法1的區(qū)別只是將法1給具體化了，它對函數f（x）=ax²-3ax+6a-30進行了分類討論，將其分為“一次型”、“二次型”.然后進一步考慮：一次型，則a=0，但f（0）≠0，所以y=（x）是二次函數.并且二次函數義分為與x軸有幾個交點，則有了②，并且由錯解的法1告訴我們端點必須去考慮.

對于這道十分難對付的零點個數問題，我卻想出了三種解法，并且通過一題多解發(fā)現(xiàn)了自己的解題過程中所犯的錯誤，由此可見一題多解的重要性.而此時的一題多解的效果只是第一層次，一題多解可以幫助我們更好地去選擇做題的方法.

變式1 已知函數f（x）=ax²-3ax+6a-30在x∈（1，9）上有零點，則a的取值范圍為

分析 y=f（x）在（1，9）上有零點是存在性問題.存在性問題則可轉化為函數值域問題，通過變量分離得：x²-3x+6一30/a，則y=30/a與x²-3x+6在（1，9）的圖象上有交點，但此時的圖象可以省略，只要讓30在y =x²-3x+6在（1，9）內的值域即可.

解 因為f（x）=ax²-3ax+6a-30在x∈（1，9）上有零點，所以以ax²-3ax+6a-30=0在（1，9）上有解，也就是x²-3x+6=30/a在（1，9）上有解，

變式2 已知函數y=f（x）=ax²-3ax+6a+30在x1∈（1，9）上有且僅有2個零點，則“的取值范圍為

分析 因為之前我們已經作出了y=x²-3X+6的圖象，所以此時運用圖象法則更為簡易，只要讓y=x²-3x+6與y=30/a在（1，9）上的圖象有兩個交點即可，

解 因為f（x）=ax²-3ax+6a-30在x∈（1，9）上有且僅有2個零點，所以x²3x+6=30/a在x∈（1，9）上有2個解，所以y=x²-3x+6與y=30/a的圖象在（1，9）上有兩個交點，所以30/a∈（15/4，4），所以15/

根據以上的探索，我感受到一題多解的奧秘，它可以幫助我們發(fā)現(xiàn)錯誤，糾正錯誤，開擴我們的思維，讓我在別人不知不覺中成長，因此希望大家都可以同我一樣，一起愛上“一題多解、一題多思、一題多想、一題多變”吧.

教師點評

作者善思好學，思路開闊，不滿足一題一得，而是多思、多變、多比、多想，善于發(fā)現(xiàn)，樂于改變.從一道典型的零點求解題的錯誤解答中自覺白醒，完美轉身，讓人贊嘆不已！