某“解題APP”上的一個(gè)錯(cuò)解探究

葉張銘

【編者按】秉承“常態(tài)閱讀，深度思考，精致表達(dá)，共同發(fā)展”的理念，為推動(dòng)數(shù)學(xué)寫作活動(dòng)的深入開展，展現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，鼓勵(lì)學(xué)生深入思考、探究創(chuàng)新、合理表達(dá)，“數(shù)學(xué)寫作”學(xué)校聯(lián)盟開展了第二屆“數(shù)學(xué)寫作”學(xué)校聯(lián)盟中學(xué)生數(shù)學(xué)寫作競(jìng)賽活動(dòng)，并取得圓滿成功。

這次數(shù)學(xué)寫作活動(dòng)得到了多所學(xué)校的支持，其中涌現(xiàn)出許多優(yōu)秀的作品。這些作品有的是對(duì)所讀的文章或圖書的深度思考，有的是對(duì)課堂內(nèi)容在現(xiàn)實(shí)生活中的拓展和應(yīng)用，有的是自己做一道題或一類題的感悟，有的是在使用數(shù)學(xué)工具的過(guò)程中的大發(fā)現(xiàn)，有的是數(shù)學(xué)相聲、數(shù)學(xué)詩(shī)歌……真是讓人大開眼界，以下?lián)袢∑渲械囊恍┪恼屡c讀者共享。

國(guó)慶長(zhǎng)假在家里，我想利用這個(gè)時(shí)間寫一篇數(shù)學(xué)小論文，通過(guò)QQ向老師求助，請(qǐng)他推薦幾道題.老師給我發(fā)來(lái)了在某個(gè)解題APP上的題（下圖，其中Z為整數(shù)集）.并且說(shuō)，這個(gè)解答是錯(cuò)的，讓我研究一下.

一、為什么是錯(cuò)的？

二、究竟錯(cuò)在哪里？

我按照這個(gè)解法，自己又重新計(jì)算了一遍，發(fā)現(xiàn)這個(gè)答案存在計(jì)算性錯(cuò)誤.事實(shí)上，

三、發(fā)現(xiàn)新的錯(cuò)誤

當(dāng)我欣喜地把這個(gè)結(jié)論告訴老師時(shí)，老師讓我再用k=-3檢驗(yàn)一下.按我上面的答案，此時(shí)也應(yīng)該有（A∩B）∩Z={2}.但檢驗(yàn)的結(jié)果卻出人意料：當(dāng)k=-3時(shí)，B={x|2x²-5x-9<0}，不僅2∈B∩A，而且3∈B∩A，故3∈（A∩B）∩Z.原來(lái)，上面這個(gè)答案還是錯(cuò)的！

這說(shuō)明，這個(gè)解答不但存在計(jì)算性錯(cuò)誤，而且在解題邏輯上存在嚴(yán)重錯(cuò)誤，這道題不能這么解！

四、干脆暴力破解

那么這道題到底該怎么解呢？找不到很好的辦法，我干脆用暴力破解，把集合B中的不等式解出來(lái)為：

由題意，我們有：

五、再次研究錯(cuò)解

經(jīng)過(guò)了一番“暗無(wú)天日”的演算（經(jīng)歷過(guò)才能體會(huì)！為了節(jié)省篇幅，上面我把這個(gè)演算過(guò)程省略了），終于得出了結(jié)論.我如釋重負(fù)地把這個(gè)解答發(fā)給老師，得到了老師的肯定——這是對(duì)的，然后義說(shuō)，“還有更簡(jiǎn)便的解法，你現(xiàn)在再回過(guò)頭去分析一下最初的那個(gè)錯(cuò)解，看會(huì)不會(huì)有新的啟發(fā).”

帶著一絲驚訝，我重新回頭認(rèn)真研究了這個(gè)解，果然有了一些新的想法.為方便敘述，我們記f（x）=2x²+（2k+1）x+3k，那么，最初APP上的解答方法，就是把已知條件轉(zhuǎn)化為以下一個(gè)不等式組：

仔細(xì)思考后發(fā)現(xiàn)，其實(shí)這是不夠的.通過(guò)對(duì)二次函數(shù)的圖象分析，我們可以看出，它只能保證二次函數(shù)f（x）圖象與x軸的交點(diǎn)分布于x=2的兩邊，不能保證題設(shè)條件成立（如圖1）.

能不能在這個(gè)不等式組中再添加一些不等式，使得它與題設(shè)條件等價(jià)呢？分析上面的暴力破解，我們發(fā)現(xiàn)，原題設(shè)等價(jià)于二次方程f（x）=0的兩根分布滿足：2≤x₁<22≤3.也就是說(shuō)二次函數(shù)的圖象應(yīng)如圖2所示，

六、獲得完美解法

七、發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律

我們發(fā)現(xiàn)，以上完美解法中，根本沒(méi)有考慮判別式！這是為什么呢？我們從第二節(jié)的計(jì)算過(guò)程中也發(fā)現(xiàn)，判別式得出的范圍②，在取交集后并沒(méi)有起到作用，最后答案與①一致.這是不是有什么規(guī)律呢？什么時(shí)候不需要考慮判別式呢？

通過(guò)研究，我們發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)規(guī)律：“開口向上的二次函數(shù)，若存在一個(gè)函數(shù)值為負(fù)數(shù)，則判別式大于零”.這是顯然的，因?yàn)槿绻嬖谝粋€(gè)函數(shù)值為負(fù)數(shù)，就說(shuō)明二次曲線有一段在x軸的下方.義由于它的開口向上，所以與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)，判別式一定大于零.

因此，在以上解答中，有了f（2）<0，判別式就一定大于零，就不再需要考慮判別式了.

八、體會(huì)

（l）解題APP的答案僅供參考，我們不能迷信，自己至少應(yīng)該再算一遍.

（2）不能讓解題APP禁錮了你的大腦，它不轉(zhuǎn)動(dòng)，會(huì)生銹的.

（3）解出一道題，不一定說(shuō)明我們已經(jīng)把它弄透了.要真正弄透一道題，不妨對(duì)它顛三倒四地來(lái)回折騰一翻.

（4）學(xué)數(shù)學(xué)，白己認(rèn)真動(dòng)手做是非常重要的，同時(shí)，也要重視與高手交流，可以少走彎路.同學(xué)、老師都行.

【指導(dǎo)老師點(diǎn)評(píng)】

學(xué)生論文主要是一個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，這篇文章完整地記錄了對(duì)一道錯(cuò)題的探究過(guò)程，是一個(gè)很好的探究性學(xué)習(xí)案例.我們可以通過(guò)這篇論文看到，作者在這個(gè)過(guò)程中，無(wú)論在對(duì)這類題型的理解上、計(jì)算能力的訓(xùn)練上，還是學(xué)習(xí)方法的感悟上，都有令人欣慰的發(fā)展.私以為，這才是數(shù)學(xué)寫作的根本價(jià)值所在.