與三角形“外心”牽手的向量問題研究

鄭玉梅

向量集數(shù)、形于一身，既有代數(shù)的抽象性，也有幾何的直觀性.向量的數(shù)量積是其核心內(nèi)容，也是教學(xué)過(guò)程中的難點(diǎn).其求解方案大致可以從“定義、基向量法，或建系、坐標(biāo)化”等等角度處理.但若是碰到特殊情況，將向量與三角形的外心相結(jié)合，此類問題義該如何破解呢？下面就從與三角形“外心”有關(guān)的單個(gè)向量數(shù)量積問題和雙參平面向量問題出發(fā)，一起來(lái)感受一下求解的一般方法！

一、與單個(gè)向量有關(guān)的數(shù)量積問題

本題主要考查三角形中與“外心”有關(guān)的單個(gè)數(shù)量積計(jì)算問題，意在考查同學(xué)們的運(yùn)算求解及化歸與轉(zhuǎn)化思想運(yùn)用的能力.初次碰到此題很多同學(xué)不會(huì)求解，解題過(guò)程中，機(jī)械地將條件不停地加以嘗試和利用，方向不明，耗時(shí)較多.

思路一 利用數(shù)量積定義，如圖1.

思路二 取AC中點(diǎn)，利用垂直轉(zhuǎn)化與化歸;

小結(jié)

一般地，與“外心”有關(guān)的單個(gè)數(shù)量積問題，與哪條邊有關(guān)，就取哪條邊中點(diǎn)然后向目標(biāo)線段轉(zhuǎn)化.此題同學(xué)們陸續(xù)想到的解題思路線索就是上述解法1、2，不同解題思路及到達(dá)的相應(yīng)步驟反映了同學(xué)們對(duì)此題的熟悉程度.以后隨知識(shí)的增加，這個(gè)易于辨識(shí)的常規(guī)問題，還可能改頭換面，會(huì)多一些求邊或角的過(guò)程，我們要揣摩出題者的意圖，在解決問題的局部時(shí)進(jìn)行行動(dòng)方向上的評(píng)估，選擇與變通使用解題方法，來(lái)克服所遇障礙與困難.所以在對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)的基礎(chǔ)上，掌握一些基本套路還是必要的，二、與雙參平面向量有關(guān)的問題

“由少變多，由簡(jiǎn)單變復(fù)雜”是數(shù)學(xué)m題的規(guī)律，當(dāng)題目涉及一個(gè)向量為另外兩個(gè)向量的線性組合時(shí)，構(gòu)造數(shù)量積是解決此題的必然，因?yàn)槿粢浞謶?yīng)用題目中有關(guān)向量的模和夾角條件，只有借助于數(shù)量積才做得到.向量與外心結(jié)合的雙參平面向量問題，常采用兩種處理方法，即①平方法;②點(diǎn)乘相關(guān)向量法.

通過(guò)平方，將雙參平面向量問題轉(zhuǎn)化為方程組問題順利求解.

此題，有些同學(xué)在嘗試的時(shí)候可能會(huì)選擇等式兩邊點(diǎn)乘AB或萬(wàn)古，但都無(wú)功而返，考慮到求解的是l萬(wàn)石l，故兩邊點(diǎn)乘萬(wàn)方則顯得有效而義自然.

小結(jié)

與外心有關(guān)的雙參平面向量問題，如果給卅的式子是形如面j—z oJB+v頂耋型;則可考慮平方法;如果給m的式子是形如石方一z萬(wàn)百+v萬(wàn)方型，則可采用相關(guān)向量點(diǎn)乘法.當(dāng)然除上述方法外，如果能建系，也可以從坐標(biāo)運(yùn)算考慮并嘗試.

對(duì)于三角形的外心，我們需要知道以下幾點(diǎn)：

（3）外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等;

（4）當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，外心在三角形內(nèi)部;當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，外心是斜邊的中點(diǎn);當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，外心在三角形外部.

當(dāng)然，向量與蘭角形的“心”有關(guān)的問題還會(huì)與三角形的重心、內(nèi)心、垂心等結(jié)合，這一類題既有思考性和挑戰(zhàn)性，也有足夠的深度和難度.從知識(shí)點(diǎn)與難易程度來(lái)看，與外心結(jié)合的題目雖然沒有與重心結(jié)合的題目卅鏡率那么高，但若考到，其基本方法和基本思考角度還是要盡量熟悉的.同學(xué)們，你會(huì)了嗎？