怎樣解題

邵賢虎

師：同學(xué)們，在平時(shí)的練習(xí)中，是不是經(jīng)常有這樣的感覺(jué)，拿到一道較難的習(xí)題，第一次看完感覺(jué)無(wú)從下手，這很大程度上可歸結(jié)為審題的失敗，未制訂有效的解題計(jì)劃，計(jì)劃實(shí)施不扎實(shí)嚴(yán)謹(jǐn)，缺乏解后反思.

今天給大家介紹一位偉大的美籍匈牙利數(shù)學(xué)教育家喬治·波利亞（G. Polya，18871985）.他十分重視解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，并對(duì)解題方法進(jìn)行了多年的研究和實(shí)踐，繪制出了“怎樣解題”表，主要可分為“弄清問(wèn)題、擬訂計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧”四個(gè)階段.下面結(jié)合這四個(gè)階段及本人的思考，和同學(xué)們聊聊怎樣解題.

一、弄清問(wèn)題：解題從審題開(kāi)始

在習(xí)題中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些容易看錯(cuò)、易被忽視或容易誤解的字詞，如果我們粗心大意，就會(huì)導(dǎo)致失誤.因此，我們必須了解問(wèn)題的文字?jǐn)⑹?，要善于“斟字酌句”，認(rèn)真思考，弄清含義，為正確解題掃除障礙，如已知是什么？未知是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知數(shù)，條件是否充分？

例1

一直線過(guò)點(diǎn)M（3，-4），且在x軸和y軸上的截距相等，求它的方程.

師：本題求直線方程，條件中你認(rèn)為關(guān)鍵的字眼是什么？

生：截距相等.

師：你會(huì)選擇直線方程的什么形式？

生：截距式.

師：設(shè)截距式應(yīng)注意什么？怎么解決？

生：應(yīng)注意截距式的局限性，不能忽視直線在x軸和y軸上的截距都為零，即直線過(guò)原點(diǎn)的情況.

生：當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，易求其方程為4x+3y=0;

當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，用直線方程的截距式，設(shè)所求方程為x/a十y/a=1，

把已知點(diǎn)M（3，-4）的坐標(biāo)代入方程，得a=一1.此時(shí)所求方程為x/-1+ y/-1=1，即x+y+1=0.

故所求直線方程為4x+3y=0和x+y+1=0.

師：很好！本題審題緊扣關(guān)鍵字眼“截距相等”，且避免了漏解的情況，這些關(guān)鍵字眼對(duì)問(wèn)題的解決至關(guān)重要，必須給予高度關(guān)注.

二、擬定計(jì)劃：確定方法和途徑

擬定計(jì)劃時(shí)，要善于對(duì)條件或結(jié)論進(jìn)行簡(jiǎn)化，化繁為簡(jiǎn)、化難為易.解題思路不能只停留在原題上，而應(yīng)積極地將其轉(zhuǎn)換成熟悉和易解的問(wèn)題，這樣就能找到有效解決問(wèn)題的方法和途徑.因此，我們要注意分析題意，善于簡(jiǎn)化，尋求轉(zhuǎn)換，并從中領(lǐng)悟出求簡(jiǎn)和化歸的重要思想，從而擬訂解題計(jì)劃，

例2 已知兩條直線ι1alx+b1 y=1和l₂：a₂x+b₂y=1相交于點(diǎn)P（2，3），求過(guò)點(diǎn)P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂）的直線方程.

當(dāng)教師展示題目后，同學(xué)們認(rèn)為條件很簡(jiǎn)單，但字母較多.怎樣才能簡(jiǎn)化呢？

師：你能將條件“翻譯”一下嗎？

生1：由直線l₁：a₁x+b₁y=1和l₂：a₂x+b₂y=1相交于點(diǎn)P（2，3）可得2a₁+3b₁=1，2a₂+3b₂=1.

好像解不出來(lái)，四個(gè)未知數(shù)只有兩個(gè)方程.

師：求過(guò)點(diǎn)P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂）的直線方程需要什么條件？如何獲得？

生2：需要直線P₁P₂的斜率和直線上一點(diǎn)的坐標(biāo).（擬訂計(jì)劃）

由①-②得2（a₁-a₂）+3（b₁-b₂）=0.b₁-b₂/a₁-a₂=-2/3，即k=-2/3.

斜率求出來(lái)了，還缺一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).已知條件中雖然有兩點(diǎn)，但都含有未知字母，不知道下面應(yīng)該怎么辦.

師：已知條件中有兩點(diǎn)，雖然含有未知字母，能不能勇敢地選取其中一個(gè)點(diǎn)嘗試一下呢？

生2：我來(lái)代點(diǎn)P₁（a₁，b₁）試試.

由點(diǎn)斜式得y-b₁=-2/3（x-a₁），化簡(jiǎn)得2x1+3y-（2a₁+3b₁）=0，而2a₁+3b₁=1，所以得直線方程為2x+3y-1=0.

師：很好！我們?cè)倩仡^重新審視一下等式①②，說(shuō)明了什么？

生3：我覺(jué)得從①②兩式就能得到所求直線方程.①式表明點(diǎn)P₁（a₁，b₁）在直線2x+3y=1上，同樣的，②式表明點(diǎn)P₂（a₂，b₂）也在直線2x+3y=1上.

兩點(diǎn)決定唯一的一條直線，所以過(guò)點(diǎn)P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂）的直線方程就是2x+3y=1.

師：很好，這種解法體現(xiàn)了解析幾何最基本、最本質(zhì)的思想，

師：本題第一種解法充分展示了由審題所帶來(lái)的解題計(jì)劃的一步步實(shí)現(xiàn)，步步為營(yíng)，成功解決問(wèn)題;第二種解法“簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單”，體現(xiàn)了良好的大局觀，令人拍手稱快！