漫談向量的投影

韓文美

向量的投影具有明顯的幾何意義，是數(shù)量積相關(guān)概念的拓展，在實(shí)際解決平面向量問題中具有靈活的效用，我們要深刻理解要領(lǐng)，主動(dòng)應(yīng)用向量的投影解決相關(guān)問題.

一、向量的投影的概念

1.概念

設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，它們的夾角為影，則∣b∣cosθ叫做向量b在a方向上的投影，同理，|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影.

2.說明

向量的投影和兩向量的數(shù)量積都是數(shù)量，不是向量，而且兩者具有正負(fù)值的一致性：當(dāng)兩非零向量a，b的夾角θ為零角或銳角時(shí)，投影（數(shù)量積）為正值;θ為鈍角或平角時(shí)，投影（數(shù)量積）為負(fù)值;θ為直角時(shí)，投影（數(shù)量積）為0.

3.變形公式

向量的數(shù)量積公式a·b= |a| |b|cosθ變形可得向量b在a方向上的投影公式為：|b|cosθ=a·b/|a|·

二、向量的投影的應(yīng)用

例1 若向量a在b方向上的投影與向量b在a方向上的投影相等，那么非零向量a，b的關(guān)系為___.

分析 根據(jù)題目條件建立關(guān)系式|a|cosθ=|b| cosθ，結(jié)合cOsθ是否為零的條件加以分類討論，進(jìn)而確定非零向量a，b的關(guān)系.

解 由題知，向量a在b方向上的投影|a|cosθ與向量b在a方向上的投影|b|cosθ相等，

可得|a|cosθ=|b|cosθ.

當(dāng)cosθ=o，即θ=Π/2時(shí)，此時(shí)a上b，上式成立;當(dāng)cosθ≠O時(shí)，則有l(wèi)al=lbl;

綜上分析知非零向量a，b的關(guān)系為a上b或|a|=|b|，故填a上b或|a|=| b|.

點(diǎn)評(píng)

涉及此類向量的投影的概念問題，必須充分考察概念中相應(yīng)參數(shù)的意義，在本題中，根據(jù)已知條件得到關(guān)系式|a| cosθ=|b|cosθ，進(jìn)而要充分考慮兩向量的夾角、模的相關(guān)意義，不要出現(xiàn)遺漏而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

分析

根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)確定相應(yīng)向量的坐標(biāo)，結(jié)合投影的變形公式計(jì)算對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積與模，代入相應(yīng)的公式加以求解即可，

由變形公式知AB在CD方向上的投影

點(diǎn)評(píng)

根據(jù)投影的變形公式求解投影時(shí)，關(guān)鍵是正確把握兩個(gè)不同的角度：向量b在a方向上的投影公式為a·b/|a|，向量a在b方向上的投影公式為a·b/|b|，注意不要出現(xiàn)兩者的混淆而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

例3

圓○為△ABC的外接圓，半徑為則向量BA在向量BC方向上的投影為

解析

根據(jù)向量共線定理先得到○是BC的中點(diǎn)，進(jìn)而確定的形狀，并結(jié)合條件得到∠B一30°，再結(jié)合投影的定義公式來求解.

點(diǎn)評(píng)

利用投影的定義公式求解投影時(shí)，關(guān)鍵是確定相應(yīng)向量的模與兩對(duì)應(yīng)向量之間的夾角.特別在平面圖形中，要注意平面幾何中的角與向量的夾角兩者之間的區(qū)別，有時(shí)兩者相等，有時(shí)兩者互補(bǔ)，不要混淆.

分析

根據(jù)向量a在b方向上的投影|a|cosθ以及向量b的值|b|，通過向量的數(shù)量積公式，把|a|cosθ作為一個(gè)整體，進(jìn)而代入求解即可.

點(diǎn)評(píng)

涉及向量的數(shù)量積問題，經(jīng)常把向量的投影作為一個(gè)整體來處理.本題當(dāng)中就是把|a|cosθ作為一個(gè)整體，代入向量的數(shù)量積公式中加以求解.

分析

根據(jù)向量的投影與直角三角形的性質(zhì)可得|AB|cosA=|AC|，這樣就巧妙地把向量的數(shù)量積公式轉(zhuǎn)化為向量的投影與另一向量的模的乘積問題，從而得以求解.

點(diǎn)評(píng)

本題巧妙借助盲角三角形的背景，把向量的數(shù)量積公式中的|AB|cosA作為向量的投影加以轉(zhuǎn)化，利用直角三角形的性質(zhì)借助|AC|得以代換，從而達(dá)到巧妙轉(zhuǎn)化、直觀應(yīng)用的目的.

由于向量的投影具有明顯的幾何意義，它是解決平面向量問題的重要手段，也為平面幾何、解析幾何、立體幾何等問題的解決提供一個(gè)方便、實(shí)用的工具.所以在向量的學(xué)習(xí)過程中，要加強(qiáng)基本概念和基本運(yùn)算的靈活應(yīng)用，提升拓展水平，提高解題能力.