轉(zhuǎn)化與化歸思想的自然真實(shí)體現(xiàn)*
——以“正弦定理”的教學(xué)設(shè)計(jì)與打磨為例

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(攀枝花市第三高級(jí)中學(xué)校，四川 攀枝花 617000)

1 背景

2018年10月18—19日，四川省普通高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展評(píng)活動(dòng)在四川省綿陽(yáng)中學(xué)舉行．筆者所在學(xué)校青年教師倪老師參加了這次活動(dòng)，經(jīng)過(guò)激烈的角逐，獲得了省一等獎(jiǎng)．作為指導(dǎo)教師，筆者回顧這堂課一路走來(lái)充滿(mǎn)艱辛，無(wú)論是課堂設(shè)計(jì)、課堂演練還是說(shuō)課表現(xiàn)都傾注了我們的心血.評(píng)委教師評(píng)價(jià)這堂課目標(biāo)明確、過(guò)程流暢，無(wú)論是新課引入、定理與定值的探究和發(fā)現(xiàn)，還是定理的證明，都是以從直角三角形到一般三角形為主線(xiàn)，滲透了從特殊到一般、由已知到未知的轉(zhuǎn)化與化歸思想，知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程親切自然，學(xué)生思維活動(dòng)豐富且有一定深度，學(xué)生的學(xué)習(xí)參與度比較高．

圖1

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 設(shè)計(jì)情境,自然回歸

問(wèn)題1生活中我們經(jīng)常需要去測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可及物體之間的距離，有這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，要在位于河兩岸的兩個(gè)村莊A,C間建一座橋，需要測(cè)量?jī)蓚€(gè)村莊間的距離，現(xiàn)在我們手上的工具有用來(lái)測(cè)量距離的卷尺和用來(lái)測(cè)量角度的測(cè)角儀，現(xiàn)在，我們與點(diǎn)A位于河岸的同側(cè)，能否給出一個(gè)測(cè)量方案？

2.2 設(shè)置疑問(wèn)，引發(fā)沖突

問(wèn)題2在實(shí)際操作中，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D附近有一個(gè)很深的大洞，因此無(wú)法到達(dá)點(diǎn)D進(jìn)行相關(guān)測(cè)量，有什么辦法來(lái)解決問(wèn)題呢？

生2:若在點(diǎn)D之前另外找一個(gè)點(diǎn)B，得到△ABC，但它不是直角三角形．

問(wèn)題3雖然不是直角三角形，但可以得到哪些數(shù)據(jù)？

生3:利用測(cè)角儀可以測(cè)得∠CAD的大小α和∠ABC的大小β，利用卷尺可以得到AB間的距離c．

2.3 第一次運(yùn)用化歸思想，將一般三角形的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化到直角三角形中探究

圖2

師：利用這些數(shù)據(jù)能求出AC的長(zhǎng)嗎？由三角形全等的判定定理(ASA)知三角形是確定的，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠ACB=π-α-β，已知條件即為三角形的3個(gè)角與一條邊，求其他兩條邊，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是新問(wèn)題．我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)了直角三角形的三角函數(shù)，得到了其邊角間的數(shù)量關(guān)系(如圖2)[1]：

問(wèn)題4由對(duì)稱(chēng)性，acosA=bcosB=ccosC成立嗎？

生4:因?yàn)椤螩為直角，所以cosC=0，故acosA=bcosB≠ccosC．

問(wèn)題5這個(gè)等式有些美中不足，如果給第三個(gè)式子也加上一個(gè)分母sinC，形式上將會(huì)更加對(duì)稱(chēng)，這里可以加上嗎？

2.4 得出結(jié)論后用幾何畫(huà)板驗(yàn)證，用特殊探索一般，提出一般三角形中結(jié)論成立的猜想

教師借用幾何畫(huà)板進(jìn)行演示(如圖3和圖4)，學(xué)生觀察隨著三角形形狀的改變，各邊與對(duì)角正弦比值的變化情況，但是3個(gè)比值永遠(yuǎn)都是相等的．

圖3 圖4

師：這樣一來(lái)，我們就有理由相信這個(gè)漂亮的等式在任意三角形中都是成立的，如何去證明？

(學(xué)生積極思考，分類(lèi)討論，給出證明．)

2.5 第二次運(yùn)用化歸思想，將一般三角形中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，證明猜想，得出結(jié)論

生6(在黑板上講解):對(duì)于銳角△ABC，如圖5，作邊BC上的高AD，得

AD=bsinC=csinB,

則

同理，作邊AB上的高CE，得

CE=asinB=bsinA，

則

因此

圖5 圖6

生7:對(duì)于鈍角△ABC，如圖6，作邊BC上的高AD，得

AD=bsinC=csinB,

則

作邊AC上的高BE，得

BE=asinC=csin(π-A)=csinA，

則

asinC=csinA，

即

因此

2.6 第三次運(yùn)用化歸思想，將一般三角形的邊角比值轉(zhuǎn)化到直角三角形中探究

師：正弦定理將三角形中所有的邊和角都串起來(lái)了，它指出了三角形各邊與它所對(duì)的角的正弦的比值相等，也就意味著只要三角形的一邊及其對(duì)角確定之后，這個(gè)比值必然是確定的．

問(wèn)題6這個(gè)比值到底是什么？

(學(xué)生一片茫然．)

問(wèn)題7回到定理上來(lái)，當(dāng)三角形的一邊及其對(duì)角確定之后，這個(gè)三角形唯一嗎？

生(眾)：不唯一．

問(wèn)題8若固定一條邊，欲使這一邊的對(duì)角大小不變，此邊所對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)如何運(yùn)動(dòng)？

生8:在初中學(xué)過(guò)圓中同弦所對(duì)的圓周角相等，因此頂點(diǎn)的軌跡是一段?。?/p>

生9:應(yīng)該是兩段弧，上下各一段．

(全班響起熱烈的掌聲.)

師:剛才生9說(shuō)得很好，對(duì)定線(xiàn)段張角為定角的點(diǎn)所構(gòu)成的集合是兩段對(duì)稱(chēng)的圓弧，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，我們只需研究其中一段圓弧就可以了，此時(shí)三角形的3個(gè)頂點(diǎn)都在圓弧上，因此它就是三角形外接圓中的一段弧(如圖7)．

問(wèn)題9如圖8,若對(duì)角為直角，大家觀察一下此時(shí)比值的幾何意義是什么？

圖7 圖8

生10:如圖8，應(yīng)該為三角形外接圓直徑．因?yàn)榇藭r(shí)sinC=1，圓周角為直角時(shí)所對(duì)的弦為直徑，直角三角形的斜邊長(zhǎng)就是它的外接圓直徑．

師：在直角三角形中比值的幾何意義為外接圓直徑，在一般三角形中也成立嗎？如何證明呢？

(教師再用幾何畫(huà)板加以驗(yàn)證，讓學(xué)生觀察，當(dāng)動(dòng)頂點(diǎn)在圓弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，3個(gè)比值恒為定值，都等于三角形外接圓直徑.)

2.7 第四次運(yùn)用化歸思想，將一般三角形的邊角比值轉(zhuǎn)化到直角三角形中證明

學(xué)生積極進(jìn)行小組討論，由兩個(gè)小組分別闡述∠A為銳角和鈍角的情況(如圖9和圖10)，得出結(jié)論：在三角形中，各邊與它所對(duì)的角的正弦的比值相等，而這個(gè)比值就是三角形外接圓的直徑，即

圖9 圖10

教師分析為何要作輔助線(xiàn)BD：

1)要產(chǎn)生正弦自然要構(gòu)造直角三角形，聯(lián)結(jié)BD，將銳角A放到Rt△BCD中(鈍角三角形中是將鈍角A的補(bǔ)角放到Rt△BCD中);

2)要證明結(jié)論，就要產(chǎn)生直徑，聯(lián)結(jié)BD，也就產(chǎn)生了直徑；

3)在找到比值的同時(shí)，再次證明了正弦定理(即正弦定理證明中的外接圓法)．

2.8 運(yùn)用正弦定理解三角形，回到情境中的問(wèn)題，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又服務(wù)于生活

問(wèn)題10研究正弦定理到底有什么用？對(duì)于課堂最開(kāi)始提出的問(wèn)題，如果測(cè)量得到∠A=30°，∠B=135°，AB=20 m，能否利用正弦定理計(jì)算出A，C間的距離？

生11:已知∠A，∠B和邊AB的長(zhǎng)c，要想求出邊AC的長(zhǎng)b，就還要知道邊BC的長(zhǎng)a或者∠C．此時(shí)a是無(wú)法測(cè)量的，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，可以得到∠C的大小.有了∠C的大小后，通過(guò)解方程組，不僅可以算出b，甚至還可以算出a．

設(shè)計(jì)意圖初步感受正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，解決課堂最開(kāi)始提出的問(wèn)題，首尾呼應(yīng)．

2.9 給出定義，構(gòu)建模型

師：一般地，把三角形的3個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形．

問(wèn)題11剛才我們從解方程的角度分析了正弦定理可以解決已知兩角和任意一邊的解三角形問(wèn)題，除此之外，正弦定理還可以解決哪些解三角形問(wèn)題？

生12:1)已知兩角和任意一邊解三角形；2)已知兩邊及其中一邊對(duì)角解三角形．

設(shè)計(jì)意圖在從形的角度證明了正弦定理之后，從數(shù)的角度分析定理可以解決的解三角形問(wèn)題，為后一節(jié)課運(yùn)用正弦定理解決具體的解三角形問(wèn)題提供理論基礎(chǔ)．

2.10 走進(jìn)歷史，感受內(nèi)涵

師(課件展示正弦定理發(fā)展歷程)：這節(jié)課我們一起發(fā)現(xiàn)、證明并且初步運(yùn)用了正弦定理，然而定理的發(fā)展并不是一帆風(fēng)順的，從它的發(fā)現(xiàn)到最終被人們所接受經(jīng)過(guò)了很漫長(zhǎng)的一段時(shí)間.歷史上，它的證明方法豐富多彩，除了我們本節(jié)課所用到的作高法、外接圓法之外，還有面積法、向量法等證明方法，凝聚著前人的智慧，感興趣的同學(xué)課后可以查閱資料進(jìn)行了解．

2.11 歸納概括，整合新知

師生共同回顧本節(jié)課所解決的問(wèn)題：本節(jié)課我們利用從特殊到一般的數(shù)學(xué)研究方法，從直角三角形出發(fā)，探求出正弦定理，并將其推廣到一般三角形中，找到了三角形邊角間的數(shù)量關(guān)系,在定理的探究過(guò)程中找到了比值就是三角形外接圓的直徑．緊接著利用正弦定理解決了課堂最開(kāi)始提出的解三角形問(wèn)題，又經(jīng)歷了從一般到特殊的過(guò)程，并且還從解方程的角度分析了正弦定理可以解決的解三角形問(wèn)題，至于具體的運(yùn)用，我們下一節(jié)課再來(lái)探究．

3 教學(xué)反思

3.1 思路清晰，方法得當(dāng)

教學(xué)過(guò)程以活動(dòng)為主線(xiàn)，以問(wèn)題為載體，學(xué)生合作探究，展示自我，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，充分體現(xiàn)了以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)的現(xiàn)代課堂教學(xué)理念．

3.2 目標(biāo)明確，過(guò)程流暢

本堂課先創(chuàng)設(shè)生活中的實(shí)際問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，無(wú)論引入、探究還是證明都是以從直角三角形到一般三角形為主線(xiàn)，滲透了從特殊到一般、由已知到未知的轉(zhuǎn)化與化歸思想．

3.3 動(dòng)畫(huà)展示，動(dòng)靜直觀

充分運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)，在探索正弦定理和驗(yàn)證比值為直徑時(shí)都通過(guò)動(dòng)畫(huà)展示，讓學(xué)生直觀感受隨著三角形的邊角變化3個(gè)比值的變化規(guī)律，動(dòng)中有靜，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)本質(zhì)，展示了數(shù)學(xué)的和諧統(tǒng)一美．

3.4 層次分明，亮點(diǎn)突出

1)在直角三角形中探索邊角關(guān)系時(shí)，分析為什么研究正弦，而不是余弦和正切；

2)在證明比值為外接圓直徑時(shí)，對(duì)學(xué)生所作輔助線(xiàn)的原理進(jìn)行分析，即將邊角轉(zhuǎn)化到直角三角形中，并且讓斜邊與直徑相關(guān)．

3.5 美中不足，盡力完善

1)教師的板書(shū)示范不夠；

2)評(píng)價(jià)時(shí)應(yīng)加大對(duì)學(xué)生的鼓勵(lì)力度．

4 課堂教學(xué)點(diǎn)評(píng)

4.1 定位準(zhǔn)確

本堂課在準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)教材的地位與作用的基礎(chǔ)上，充分了解學(xué)情，挖掘本課知識(shí)與學(xué)生認(rèn)知的聯(lián)系，目標(biāo)定位恰當(dāng)，教法學(xué)法符合實(shí)際．

4.2 設(shè)計(jì)精當(dāng)

本堂課先創(chuàng)設(shè)生活中的實(shí)際問(wèn)題情境，展開(kāi)對(duì)三角形3個(gè)角、3條邊這6個(gè)元素間的關(guān)系的探索，自然得當(dāng)，激發(fā)求知欲望.隨后通過(guò)對(duì)學(xué)生已知的直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行探究得出在直角三角形中的正弦定理，這里對(duì)僅知一邊的三角形為什么研究的是正弦而不是余弦作了分析應(yīng)是本堂課的亮點(diǎn)；接著利用幾何畫(huà)板對(duì)任意三角形進(jìn)行驗(yàn)證；證明時(shí)作高構(gòu)造直角三角形，利用對(duì)三角形高的二次運(yùn)算得證，利用正弦定理形式上的對(duì)稱(chēng)美引導(dǎo)學(xué)生探索比值的幾何意義，過(guò)渡自然，為之后利用三角形外接圓的幾何性質(zhì)證明比值為三角形外接圓直徑作了巧妙的鋪墊，并對(duì)學(xué)生為什么在圓中作直徑的輔助線(xiàn)或利用垂徑定理作高構(gòu)建直角三角形作了分析，點(diǎn)評(píng)到位．站在方程的高度分析正弦定理的作用并成功地解決了課堂一開(kāi)始提出的問(wèn)題，前后呼應(yīng)，設(shè)計(jì)精當(dāng)．整堂課緊緊圍繞一條主線(xiàn)“將一般三角形中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的問(wèn)題”進(jìn)行研究，充分體現(xiàn)了從特殊到一般、從已知到未知的求知過(guò)程；提升了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活同時(shí)又服務(wù)于生活．

4.3 手段多樣

充分利用信息技術(shù)手段，利用動(dòng)畫(huà)，隨著三角形形狀變化，邊與對(duì)角的正弦之比在變化，但3個(gè)比值總相等，動(dòng)中有靜，充分展示了數(shù)學(xué)與美的和諧統(tǒng)一．

4.4 活動(dòng)豐富

教學(xué)過(guò)程以活動(dòng)為主線(xiàn)，以問(wèn)題為載體，問(wèn)題設(shè)計(jì)有層次、有梯度；學(xué)生合作探究，展示自我，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，師生交流深入，是一堂以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)、學(xué)生發(fā)展為主線(xiàn)的高效課堂．

4.5 美中不足

本堂課教師教態(tài)自然、語(yǔ)言?xún)?yōu)美、敘述準(zhǔn)確，對(duì)學(xué)生在細(xì)節(jié)上的問(wèn)題糾正到位，對(duì)學(xué)生回答問(wèn)題或提出新的方法有鼓勵(lì)，但還可以再加大對(duì)學(xué)生的鼓勵(lì)力度，教師在板書(shū)示范上尚有不足．

5 一點(diǎn)思考

一堂優(yōu)秀展示課的設(shè)計(jì)與實(shí)施需要舉團(tuán)隊(duì)之力，對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)框架、教學(xué)環(huán)節(jié)、教學(xué)過(guò)程、教學(xué)的每一個(gè)細(xì)節(jié)都要仔細(xì)研磨，對(duì)教案、說(shuō)課稿字斟句酌，真正做到一絲不茍．選手們不僅收獲了榮譽(yù)，更多地收獲了教學(xué)設(shè)計(jì)的理念與方法．然而筆者認(rèn)為更積極的意義不在于獲獎(jiǎng)，而在于設(shè)計(jì)這堂課的“過(guò)程”與這堂課的教學(xué)設(shè)計(jì)的理念與方法的“推廣”.筆者所在學(xué)校數(shù)學(xué)組近40位教師在全程參與的過(guò)程中都得到了磨煉，各位優(yōu)秀選手的激情展示都會(huì)輻射到每位教師身上，從而整體提升了教師團(tuán)隊(duì)的課堂教學(xué)水平.這樣的活動(dòng)應(yīng)當(dāng)多開(kāi)展、多參與，讓更多的數(shù)學(xué)教師用不僅有“長(zhǎng)度”的教學(xué)，更多運(yùn)用有“深度”的教學(xué)[2]，讓數(shù)學(xué)思想滲透在每一堂課的教學(xué)中，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)中落地生根．