基于“數(shù)學(xué)運(yùn)算”核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，探索橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

殷延恒

從以往的教學(xué)實(shí)踐來看，每當(dāng)學(xué)生學(xué)到“圓錐曲線”這一章時(shí)，都會(huì)遇到很大的困難——數(shù)學(xué)運(yùn)算，在平時(shí)的學(xué)習(xí)和考試中經(jīng)常是列幾個(gè)代數(shù)式之后，就無從下手了，不能夠進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)運(yùn)算，更談不上真正解決問題，因此要求學(xué)生用解析幾何的基本思想（用代數(shù)的方法解決幾何問題）解決問題也就成了一句口號(hào)，如何幫助學(xué)生解決這個(gè)困難和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，是這幾年在教學(xué)實(shí)踐中不斷探索和思考的課題.

通過調(diào)查和筆者的教學(xué)實(shí)踐可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)運(yùn)算感覺困難的原因主要有兩個(gè)方面：

其一是高中教師對(duì)運(yùn)算的認(rèn)識(shí)加劇了學(xué)生實(shí)施運(yùn)算的困難，在高中的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師一般不會(huì)把代數(shù)式的運(yùn)算納入到自己的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)中，更多的是關(guān)注如何幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)原理，學(xué)會(huì)分析問題，理清解題思路，而對(duì)問題解決過程中所需的運(yùn)算推理指導(dǎo)不夠，因?yàn)楦咧袃?nèi)容多，理解難度大，教師在課堂上需要花費(fèi)相當(dāng)多的時(shí)間去解決這些困難，客觀上造成了課堂上很難再擠出時(shí)間對(duì)運(yùn)算給予詳細(xì)的指導(dǎo)，更談不上在課堂上留出時(shí)間展示學(xué)生的運(yùn)算過程.

其二是學(xué)生對(duì)運(yùn)算的不重視致使運(yùn)算水平難以提高，在初中，學(xué)生在課堂上有較多機(jī)會(huì)學(xué)習(xí)并練習(xí)運(yùn)算;而在高中，教師在課堂上講解運(yùn)算的機(jī)會(huì)較少，由于學(xué)生覺得運(yùn)算練習(xí)枯燥且乏味，沒有較強(qiáng)思維的挑戰(zhàn)性，往往不重視課下的運(yùn)算訓(xùn)練，缺少必要的運(yùn)算操作，從而對(duì)復(fù)雜的運(yùn)算缺乏信心和耐心，致使學(xué)生對(duì)稍顯復(fù)雜的運(yùn)算畏難情緒嚴(yán)重.

針對(duì)以上問題，為了落實(shí)學(xué)生“數(shù)學(xué)運(yùn)算”核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)，我們要精心設(shè)計(jì)自己的教學(xué)過程，比如在《橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》新授課，當(dāng)我們講到對(duì)

問題1 對(duì)①式的化簡(jiǎn)，同學(xué)們有自己的想法嗎？

在各個(gè)小組經(jīng)過一段時(shí)間的思考、討論、交流后，每個(gè)小組選派一個(gè)代表到黑板上展示，

生1：對(duì)等式兩邊直接平方整理得：

寫到此處，生1就算不下去了.

師：難道直接平方不行嗎？觀察等式兩邊的結(jié)構(gòu)，你能發(fā)現(xiàn)有什么特征嗎？

經(jīng)歷了再觀察、思考、交流后，

師：生2觀察得很細(xì)致，能夠發(fā)現(xiàn)等式的左邊有“平方差的結(jié)構(gòu)”，對(duì)于根號(hào)，平方后即可去掉，然后使用平方差公式和完全平方公式把等式展開后，就可以消項(xiàng)及合并同類項(xiàng)，為了使化簡(jiǎn)后的方程變得更加簡(jiǎn)潔，我們引入b2= a2-C2，最終得到中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：

因此在教學(xué)過程中，教師要多點(diǎn)耐心，給學(xué)生留出充分的時(shí)間進(jìn)行觀察、思考、討論、交流，以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)開展教學(xué)，教師的“導(dǎo)”要把握好時(shí)機(jī)，不能過早，也不能太晚，該出手時(shí)就出手，但又不能包辦代替，而是適時(shí)提出啟發(fā)性的問題來撬動(dòng)學(xué)生的思維，使其能夠繼續(xù)運(yùn)算下去，同時(shí)要求學(xué)生能講清自己選擇運(yùn)算的理由，根據(jù)運(yùn)算目標(biāo)，靈活運(yùn)用公式法則，形成運(yùn)算策略，一定要提醒學(xué)生記住形成運(yùn)算能力的核心是盯住運(yùn)算目標(biāo)，根據(jù)問題特點(diǎn)選擇運(yùn)算途徑，逐步形成合理、簡(jiǎn)潔的運(yùn)算意識(shí)與習(xí)慣，這是提升學(xué)生“數(shù)學(xué)運(yùn)算”核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.

師：你是怎么想到要移項(xiàng)后再平方的呢？

生3：經(jīng)過仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)等式以的左邊兩個(gè)根號(hào)下面的表達(dá)式有對(duì)稱性，因此想到移項(xiàng)后再平方可以消掉很多項(xiàng).

師：生3說得很好，因此我們?cè)谶M(jìn)行運(yùn)算時(shí)，一定要多觀察運(yùn)算對(duì)象的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，只有這樣才能夠準(zhǔn)確運(yùn)用運(yùn)算法則來解決問題，雖然生1和生3的運(yùn)算策略不一樣，但是兩個(gè)運(yùn)算過程中都是反復(fù)使用兩個(gè)公式（x+y）（x-y）=x2-y2和（x±y）2=x2±2xy+y2.

通過師生、生生的互動(dòng)與交流，使學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)算的過程，發(fā)現(xiàn)運(yùn)算的本質(zhì)，深刻理解運(yùn)算法則，使他們認(rèn)識(shí)到運(yùn)算失敗的根源是未能有效利用運(yùn)算法則對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而克服對(duì)稍顯復(fù)雜的運(yùn)算的畏難情緒，同時(shí)，還要使學(xué)生認(rèn)識(shí)到運(yùn)算不僅對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很重要，而且對(duì)于個(gè)人的性格和品質(zhì)的形成也有重要影響.

正如章建躍先生所說：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而逐步形成的具有數(shù)學(xué)特征的關(guān)鍵能力、必備品格與價(jià)值觀念，一個(gè)平時(shí)總是難以集中精神準(zhǔn)確、快速、簡(jiǎn)潔完成運(yùn)算的人，在做其他事情中，一般也不可能做到認(rèn)真、嚴(yán)謹(jǐn)，不可能以平靜的心態(tài)面對(duì)任務(wù)，而圓錐曲線內(nèi)容的學(xué)習(xí)是鑄就其品質(zhì)和提升其“數(shù)學(xué)運(yùn)算”核心素養(yǎng)的重要載體.

生4：我有個(gè)想法和生1與生3都不一樣.

選擇③或④中的一個(gè)進(jìn)行平方、化簡(jiǎn)，即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

師：你是怎么想到這種方法的呢？

生4：我記得在學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)解過這樣一道數(shù)列題：已知數(shù)列{an}滿足an=√n+1-√n（n∈N+），證明：數(shù)列{an）是遞減數(shù)列，為了證明這個(gè)數(shù)列是遞減數(shù)列，我們只需要用作差（商）的方法比較的大小即可，對(duì)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式分子有理化得，顯然有.我受到這個(gè)題目的啟發(fā)想到了此法，

問題2 這三種方法誰優(yōu)誰劣，它們所反映的數(shù)學(xué)本質(zhì)一樣嗎？請(qǐng)分小組討論、交流.

師：學(xué)生5總結(jié)得很好，看似三種不同的運(yùn)算過程，其實(shí)所反映的數(shù)學(xué)本質(zhì)是一樣的，歸根溯源就是一個(gè)運(yùn)算法則——分配律，同學(xué)們只有在平時(shí)的學(xué)習(xí)中經(jīng)常思考，不斷總結(jié)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，才不會(huì)畏懼復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算，同學(xué)們打開課本可以發(fā)現(xiàn)，教材中的方法是移項(xiàng)平方，而不是其他兩種方法，為什么教材中比較青睞“移項(xiàng)平方”這種方法呢？

問題3 通過以上過程，我們發(fā)現(xiàn)焦點(diǎn)在x軸上、中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓上每一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程

作為教師，要把對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的指導(dǎo)滲透在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程，因?yàn)閺恼J(rèn)知的規(guī)律來講，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成不是短時(shí)間內(nèi)集中強(qiáng)化訓(xùn)練就能實(shí)現(xiàn)的，當(dāng)然，一定數(shù)量和強(qiáng)度的訓(xùn)練是必不可少的，更需要操作者在實(shí)踐中去感受、體驗(yàn)、思考、調(diào)整、檢驗(yàn)、再調(diào)整，顯然這需要一個(gè)較長(zhǎng)的時(shí)期，因此只有堅(jiān)持適時(shí)滲透指導(dǎo)，才能有效提高學(xué)生的“數(shù)學(xué)運(yùn)算”核心素養(yǎng)，

參考文獻(xiàn)

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