淺析轉(zhuǎn)化與化歸思想在高三數(shù)列專題復(fù)習(xí)中的應(yīng)用

范建珍

化歸與轉(zhuǎn)化思想是重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，它是學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的重要途徑，是處理解決復(fù)雜問題方法的精髓，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的沃土[1].所謂的化歸與轉(zhuǎn)化思想是指在研究或解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，借助觀察、聯(lián)想、分析、類比等思維方式，將問題變換歸結(jié)為已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題，進(jìn)而使原問題得到解決的一種解題策略[2].簡(jiǎn)而言之，即“化生為熟、化繁為筒、化難為易、化未知為已知”，轉(zhuǎn)化和化歸的特點(diǎn)是通過不斷轉(zhuǎn)化實(shí)現(xiàn)問題的熟悉化、簡(jiǎn)單化、直觀化、特殊化等，以便應(yīng)用已知的知識(shí)和方法達(dá)到問題的有效解決[1]，其一般模式如圖1：

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中處處都體現(xiàn)著轉(zhuǎn)化與化歸思想，常見的轉(zhuǎn)化有一般與特殊的轉(zhuǎn)化、正與反的轉(zhuǎn)化，特殊與一般的轉(zhuǎn)化，整體與局部的轉(zhuǎn)化，高維與低維的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、等價(jià)轉(zhuǎn)化等，

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是高考考查的重點(diǎn)，縱觀近年來新課標(biāo)全國(guó)卷對(duì)數(shù)列考查的重點(diǎn)是以等差等比數(shù)列為載體，包括常見的簡(jiǎn)單變形，考查學(xué)生對(duì)數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握，以及運(yùn)用所學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)解決問題的能力和素養(yǎng)，特別是對(duì)“推理論證能力”、“運(yùn)算求解能力”、“應(yīng)用意識(shí)”以及“邏輯推理”和“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的考查.

由于數(shù)列公式多、計(jì)算雜、題型多樣，且常與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來考察，所以對(duì)于基礎(chǔ)薄弱的高中校學(xué)生來說難度較大，學(xué)生常常因記憶不全，“思想”不明，用法不清，邏輯混亂，思維受限制，再加上運(yùn)算能力低下，以及缺少反思感悟，因此在數(shù)列問題上出錯(cuò)概率較大，失分現(xiàn)象較為普遍，本文以數(shù)列問題為例從四個(gè)方面闡述化歸與轉(zhuǎn)化思想在高三專題復(fù)習(xí)的應(yīng)用，以例題為載體，以化歸與轉(zhuǎn)化思想滲透為核心，通過對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的梳理構(gòu)建和基本題型的變式訓(xùn)練，以期達(dá)到串“點(diǎn)”成“線”的目的，促進(jìn)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握、基本技能的形成以及相應(yīng)能力素養(yǎng)的發(fā)展，切實(shí)提高復(fù)習(xí)的有效性.

1 陌生問題熟悉化

在教學(xué)實(shí)際中，常常會(huì)看到這樣的現(xiàn)象：基本公式學(xué)生是會(huì)的，但是有些學(xué)生卻不明白什么時(shí)候該用哪個(gè)公式，因此在教學(xué)中應(yīng)教學(xué)生學(xué)會(huì)將陌生問題熟悉化，并運(yùn)用已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和方法解決當(dāng)前問題，

設(shè)計(jì)意圖首先，例1和變式1既先讓學(xué)生嘗到到陌生問題熟悉化的“甜頭”，又起到溫“等差、等比數(shù)列定義公式”之故，進(jìn)而為知“更為陌生的問題熟悉化”之新做鋪墊，讓學(xué)生把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的等差、等比數(shù)列問題，再借助等差、等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式解決問題，讓學(xué)生養(yǎng)成不斷回到概念去，是解決數(shù)列問題的常見的轉(zhuǎn)化思路;其次，隨著變式2～4問題的難度的逐步加大和問題形式的不斷復(fù)雜化，讓學(xué)生通過啟發(fā)和引導(dǎo)不斷地“化陌生為熟悉”，逐步掌握“陌生問題熟悉化”的基本“程序”，這樣設(shè)計(jì)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，激發(fā)學(xué)生探索的熱情，讓學(xué)生全面看待問題，學(xué)會(huì)合理轉(zhuǎn)化，感悟化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法，把握等差等比數(shù)列定義的本質(zhì)，熟練基本公式，通過啟發(fā)引導(dǎo)使學(xué)生不斷實(shí)現(xiàn)“從陌生到熟悉、從不懂到懂”，掌握基礎(chǔ)知識(shí)，形成基本技能，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

2 未知問題已知化

當(dāng)解決問題方向模糊時(shí)，可以通過適當(dāng)對(duì)問題的表面形式加以挖掘、探究，找到“溝通”已知的“連結(jié)點(diǎn)”，進(jìn)而達(dá)到未知問題已知化的目的，再借助已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和方法解決問題，

變式5若把例1條件“在x-y+1=0上”改為條件“在x-y+2n+l=0上”，其它條件不變，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，

變式6 若把例1條件“在x-y+l=0上”改為條件“在x-y+3”=0上”，其它條件不變，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，

變式7 若把例1條件“在x-y+1=0上”改為條件“在上”，其它條件不變，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，

變式8若把例1條件“在x-y+1=0上”改為條件“在4x-y+1=0上”，其它條件不變，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，

變式9 若把例1條件“在x-y+1=0上”改為條件“在4x-y+3”=0上”，其它條件不變，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，

變式10 若把例1條件“點(diǎn)Pn（an，an+1）（n∈N*）改為“只（Sn，an+1）（n∈N*）”，其它條件不變，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，

變式11 若把例1條件“點(diǎn)Pn（an，an+1）（n∈N*）在x-y+l=0上”改為“P（Sn，Sn+1，an+1）（n∈N*）在x-y=O上”，其它條件不變，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，

設(shè)計(jì)意圖 首先通過變式5～7的解決讓學(xué)生進(jìn)一步對(duì)等差、等比數(shù)列的定義進(jìn)行辨析，把握等差、等比數(shù)列定義的本質(zhì)，同時(shí)回顧等差等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)將知識(shí)、方法進(jìn)行正向遷移，從而達(dá)到未知問題已知化的目的;其次通過變式8，9的解決，讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”，并將未知問題已知化，讓學(xué)生體驗(yàn)感悟?qū)⑿聠栴}化為老問題，即努力將新問題化歸為等差、等比數(shù)列基本問題來解決是解決數(shù)列問題的基本思路和常規(guī)做法，合理轉(zhuǎn)化，滲透定義法、加K法、倒數(shù)法、疊加法、累乘法等;再次拋出變式10，11讓學(xué)生探究，加強(qiáng)比較，讓學(xué)生感悟在a與Sn同時(shí)出現(xiàn)的關(guān)系式中，一般通過進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使關(guān)系式僅含an或Sn，再根據(jù)情況進(jìn)行處理，學(xué)生動(dòng)腦獨(dú)立思考嘗試解答，并參與編題，加深學(xué)生對(duì)此類題型的印象;通過長(zhǎng)期這樣的基本技能演練和數(shù)學(xué)思想方法的熏陶，學(xué)生就能逐步地將教師的做法轉(zhuǎn)化為其自覺行為，從而能逐步較有“章法”地解決數(shù)列問題.

3 復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化

通過一定形式的變形轉(zhuǎn)換將復(fù)雜問題化歸為熟悉的簡(jiǎn)單問題，通過對(duì)簡(jiǎn)單問題的解答，達(dá)到解決復(fù)雜問題的目的，或者獲得某種解決問題的啟示[1].

例2 （1）已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an+3x2n，a1=2，求數(shù)列{an）的通項(xiàng)公式，本例（3）嘗試讓學(xué)生體驗(yàn)把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，引導(dǎo)學(xué)生執(zhí)行數(shù)學(xué)運(yùn)算三步曲：理解、選擇、運(yùn)算，注重方法的選擇，規(guī)范答題的板書，結(jié)合課件展示，最值問題是普通高中學(xué)生掌握較為薄弱的題型，學(xué)生往往不知道如何下手，從何入題，結(jié)合學(xué)生實(shí)際，我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中，應(yīng)該逐步滲透并總結(jié)出求數(shù)列最值問題的方法：（1）轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性;（2）運(yùn)用遞推公式，通過例2的解決讓學(xué)生體驗(yàn)通過一定形式的變形轉(zhuǎn)換，將復(fù)雜的問題化歸為我們所熟悉的簡(jiǎn)單問題，使問題得以輕松解決，讓學(xué)生親歷如何由“山重水復(fù)”到“柳暗花明”的過程，掌握通解同法、形成基本技能、感悟思想方法、積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

4 抽象問題具體化

通過考察問題的極端元素，靈活地借助特殊問題解題，避開抽象及復(fù)雜運(yùn)算，優(yōu)化解題過程，降低解題難度[1]，

設(shè)計(jì)意圖本例（1）用基本量法可以解決，但本題是填空題，在考試時(shí)最好能做到“省時(shí)、準(zhǔn)確”，由題意可知，只要滿足a1，a3，a9成等比數(shù)列的條件，數(shù)列{an}取何種等差數(shù)列與所求代數(shù)式的值無關(guān)，因此可以將抽象數(shù)列具體化，例如a=n，則課輕松求得本例（2）的解決具體化方法則更顯優(yōu)勢(shì)，結(jié)合題目信息，通過考察問題的特殊元素（即特值法），靈活地借助特殊問題解題，避開抽象及復(fù)雜運(yùn)算，優(yōu)化解題過程，降低解題難度.

5 結(jié)束語

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓和靈魂，因此數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)教師應(yīng)樹立“思想”意識(shí)，將隱性的思想方法充分的地挖掘出來使之顯性化，并貫穿在課堂教學(xué)的全過程，然而羅馬不是一天就蓋起來的，數(shù)學(xué)思想方法的滲透、掌握和靈活運(yùn)用需要長(zhǎng)期不懈的努力，但只要用心澆灌定能結(jié)出碩果，

參考文獻(xiàn)

[1]詹爽姿.數(shù)學(xué)高考中的化歸與轉(zhuǎn)化思想[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2016（3）： 41-45

[2]楊恩彬，柯躍海，陳清華.化歸與轉(zhuǎn)化思想的數(shù)學(xué)能力統(tǒng)領(lǐng)功能探析[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)， 2013 （10）：4-7