探求多維視角 踐行一題多悟

繆凌穎

數(shù)學的教研活動一直以來都是數(shù)學教師成長的最佳途徑之一，因此如何促進教師的專業(yè)成長應該也必然成為教研的主題，眾所周知，解題析題不僅是數(shù)學發(fā)展的主要形式，更是數(shù)學教學的主體之一，近年，隨著中考試卷的難度增加，如何優(yōu)化解題教學路徑是廣大數(shù)學教師共同思考的一個問題，因此筆者所在的學校數(shù)學組經(jīng)過長期深入研究，提出“類型化選題一切題點分析一多思多悟一橫縱深推進”教研活動模式，旨在提高教師深入思考題目立意，挖掘背后的思想方法，引導教師從提高學生數(shù)學核心素養(yǎng)的角度深度剖析數(shù)學問題，解題教學時展示思維過程，提高中考復習的效率，本文以一個案例說明教研活動模式和對解題教學研究的一些理解.

1 選題背景

解題是每個數(shù)學教師必須磨練的基本素養(yǎng)，學校教研組平常要求教師多解題、多研究，提前一周選定主題和主講人，試題選取標準以“試題背景”“研究價值”為主要參考，主講人應說明試題背后的數(shù)學知識、思想方法、數(shù)學素養(yǎng).

1.1 原題呈現(xiàn)

（2018年寧德市質檢.24）如圖1，在AABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，D是BC上一個動點，連接AD，以AD為邊向右側作等腰直角AADE，其中∠ADE= 90°.

（1）如圖2，G，H分別是邊AB，BC的中點，連接DG，AH，EH.求證：AGD∽AHE;

（2）如圖3，連接BE，直接寫出當BD為何值時，ABE是等腰三角形;

（3）在點D從點B向點C運動過程中，求ABE周長的最小值.

1.2 入選說明

本題入選是基于以下幾個方面的思考：首先，這是一道幾何動態(tài)壓軸題，綜合性強，涉及知識面廣，包括相似、等腰三角形、對稱、勾股定理等;其次，背后的數(shù)學思想方法多，包含轉化、變換、構造、分類討論、解析法等;第三，解法靈活多變，可多角度切入思考，發(fā)展發(fā)散思維，本文重點談第（2）、（3）問，它們分別屬于等腰三角形的分類問題和運動過程中動點的路徑問題，從各地市的模擬卷和中考卷來看，這類問題已成為命題的關注點，因而對此類問題的解題通法研究和拓展富有意義和研究價值.

2 巧思妙解，集思廣益

教研活動時，組長把選題發(fā)給組員，要求大家在限定時間內解題，并在黑板上寫出自己的思路，分享體會，鼓勵大家從通性通法、特殊巧解、合理變式、教學思考這四個角度去分析問題和解決問題.

2.1 借助勾股，尋找思路

通過對（2）問的分析，我們得出解題關鍵是對ABE是等腰三角形哪兩邊為腰進行分類討論，如何通過設元借助勾股定理合理地表示三角形的三條邊呢？看似思路簡單，卻蘊含著大量的計算，但不失為一種解決問題的通法，EH為線段AB的垂直平分線，則直線EH必過點G，

∴當BD=O或√2或2√2時，MBE是等腰三角形.

研習與反思這是針對當BE= AE時的一種巧妙的解題思路，利用垂直平分線的判定定理將（1）、（2）兩小題聯(lián)系在一起，將問題轉化為已知的結論進行求解.

2.3 再探距離，以直代折

如何求解第（3）問呢？已知AB=4，則只需思考何時BE +AE最小，

思路1 由第（2）問的解法1知：

研習與反思由設元將幾何問題代數(shù)化，利用兩點間的距離的幾何意義來解決最值問題，在初中階段兩點間的距離公式是教學的良好補充，教師可用此法來開拓思路、引發(fā)問題探討，問題1：為什么x=√2呢？此時若作點A關于點C的對稱點A，如圖7，是否有B，E，A三點共線呢？問題2：連接CE，CE是否垂直平AA呢？問題3：點E的運動軌跡是什么？如何證明呢？

研習與反思以上解法主要分兩個步驟，先證點E的運動軌跡在一條確定的直線上，再利用“將軍飲馬”模型來解決問題，這說明本題最大的難點在于探究點E的運動軌跡，但此法是點E在直線BC的下方，若點E在直線BC的上方呢？注意到ACE∽AHD仍然成立，所以∠ACE =∠AHD= 90°，即點E的運動軌跡是在一條確定的直線上，如圖9，觀察圖形會發(fā)現(xiàn)∠ACE=∠ADE= 90°，聯(lián)想到直徑所對的圓周角為直角，因此A，D，C，E四點共圓，能否由四點共圓來證明呢？

研習與反思在旋轉過程中又伴隨著角度的不變，往圓周角方面去思考往往有柳暗花明的感覺，盡管在考綱中對四點共圓的要求有所淡化，但從各地的模擬卷、中考卷中均有不同程度的體現(xiàn)，

研習與反思也可直接設E（x，y），去尋找點E橫、縱坐標所滿足的關系，或者過直角頂點D構造出“K”型圖來求取點E的坐標，從而確定E點的運動軌跡，建立直角坐標系可以實現(xiàn)幾何與代數(shù)問題的完美轉化.

2.4 回歸本質——旋轉位似

回顧各類解法，重新審視E點的軌跡，它的形成過程是由D點來決定的，每一個E點都是由D點繞著旋轉中心A點逆時針旋轉450再按1：√2位似放大得到，而D點的運動軌跡是一條線段，因此E點的運動軌跡也是一條線段，且點E經(jīng)過的路徑長一定是點D經(jīng)過的路徑長的√2倍，這是用一種函數(shù)的觀點來刻畫圖形的運動變化.

3 精心變式，觸類旁通

合理變式是走出題海的最好辦法，緊緊抓住題目的核心知識改變其外在形式，對題目進行充分拓展，挖掘其內在本質，才可以真正做到觸類旁通，培養(yǎng)發(fā)散思維和創(chuàng)新精神，同時也可以提高教師的命題水平，

變式1改動點的運動路徑，如圖12，ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=4，CD⊥AB于D，P是CD上一個動點，以P為直角頂點向下作等腰直角PBE，連接DE，求DE的最小值，

研習與反思由思路2的解答想到，連接AE，易證ABE∽CBP，則∠BAE= 45°，所以E點在直線AE上運動，考慮垂線段最短和中位線的相關知識，得出DE的最小值為2.

變式2改等腰直角三角形為矩形，如圖13，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P，E分別是線段AC，BC上的點，且四邊形PEFD為矩形，求在點P的運動過程中，點F經(jīng)過的路徑長，變式2和變式1類似，只不過相似的證明稍有不同（但在原題的解法中均有呈現(xiàn)），有興趣的讀者不妨試一試.

4 解而思教，悟道有方

4.1 以知識為載體的素養(yǎng)思考

以旋轉相似為背景的壓軸題，往往和四邊形、三角形、圓、函數(shù)等知識綜合，結合其他代數(shù)、幾何知識來命題，既讓圖形問題生動有趣又富有數(shù)學味，又是考查數(shù)學運算、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學建模等數(shù)學核心素養(yǎng)的良好載體和培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識和運動觀點的良好契機，圖形的變換問題要求抓住圖形運動時的不變量，從點、線、面著手，把握變化規(guī)律，將其中的數(shù)量關系表達出來，這要求教學要時時關注到學生的知識能力，關注知識的內在聯(lián)系，關注思維層次，關注核心思想和素養(yǎng).

4.2 復習建議

近年來，以圖形的運動為命題角度的中考數(shù)學試題在各地市已經(jīng)屢見不鮮，因此，在復習中應引導學生回歸旋轉的本質，并運用這些基本性質來分析問題和解決問題，特別是積累各類基本模型，不斷積累解題經(jīng)驗，以數(shù)學基本思想為指導，通過適當?shù)淖兪接柧殻岣邔W生解決與圖形有關的問題的能力，培養(yǎng)學生思維的廣闊性、敏捷性、靈活性，在具體實施過程中，建議借助方格紙來幫助學生操作圖形的旋轉，同時厘清圖形運動的本質是一個點的集合進行同樣的圖形變換，前后的圖形之間的各種對應關系往往是解題關鍵，有條件的課堂教學可以結合幾何畫板進行模擬操作，引導學生深刻理解運動過程中的每個時刻圖形又都是相對靜止的，這些靜止時刻的圖形和原圖形又有哪些不變性.

4.3 自省內化

以說題為載體的研修活動，要求教師在解題之后反思思維過程，暴露思維局限，在交流中學習新的思考角度，優(yōu)化解題方法，歸納解法共性，這對解題能力的提高和經(jīng)驗的積累大有裨益，同時研修活動也將教師置于學生的同等情境，體會解題的樂趣和成就感，只有這樣課堂教學中才能更合理地說明“為什么這樣思考？”、“這些思考是基于什么背景？”久而久之，學生在解題過程中也會學會反思，提高自身的反省能力.

參考文獻

[1]顧宏萍，孫學東.在問題合理性分析的過程中聯(lián)想解題思路EJl.中學數(shù)學教學參考：中旬，2018 （4）： 20-22

[2]邵文鴻.研題探解變式論法[J].中學數(shù)學教學參考：中旬，2017 （11）：65-67