落實核心素養(yǎng)的初中幾何推理能力培養(yǎng)對策

丘富喜

邏輯推理成為人類生活所需要的“共通”素質(zhì)[1].在國家公務(wù)員、管理人員的各類選拔中，都將邏輯推理作為重要的一項基本技能進(jìn)行考察，而《義務(wù)教育數(shù)字課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出應(yīng)當(dāng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識[2]，幾何推理在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力起著非常重要的作用，著名數(shù)學(xué)家楊樂院士說“凡從事數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)教育的人，都會對從中學(xué)學(xué)習(xí)幾何時受到的嚴(yán)格的邏輯思維訓(xùn)練有很深的體會，似乎很難找到別的方式來代替它對邏輯思維的培養(yǎng)”[3].

在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)成績的分化是從學(xué)習(xí)幾何推理后開始：一方面，因為幾何推理的有趣和富有挑戰(zhàn)性提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，另一方面有些學(xué)生對幾何推理的難以適應(yīng)，產(chǎn)生怕幾何一怕數(shù)學(xué)一厭數(shù)學(xué)一放棄數(shù)學(xué)的連鎖反應(yīng)，其原因在于（1）初學(xué)幾何概念多、幾何語言要求嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯推理抽象;（2）學(xué)生從小學(xué)的算術(shù)、代數(shù)轉(zhuǎn)為初中幾何，由數(shù)到形、由計算到推理的轉(zhuǎn)變，學(xué)生難以適應(yīng);（3）部分教師認(rèn)為教幾何證明比幾何推理更有把握，所以在教學(xué)中一味強(qiáng)調(diào)幾何證明，采用“撒網(wǎng)式”教學(xué)方法，急功近利，忽視學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，

依據(jù)學(xué)生認(rèn)知特點、學(xué)習(xí)特點，建立促進(jìn)學(xué)生幾何推理能力的教學(xué)系統(tǒng)，幫助教師進(jìn)行有效地進(jìn)行幾何教學(xué)設(shè)計，把其分為為孕育期、發(fā)展期、成熟期三個階段.

1 孕育期：直觀實驗語言互換

1.1 注重培養(yǎng)學(xué)生直觀推理

低年級學(xué)生的幾何推理水平較低，通常通過對實物的表象來判斷實物的屬性，通過看一看，量一量，做一做的直觀實驗來進(jìn)行推理和判斷，

例1 幾何體的識別，下列圖形的名稱按從左到右的順序依次是（ ）

A.圓柱、圓錐、正方體、長方體

B.圓柱、球、正方體、長方體

C.棱柱、球、正方體、長方體

D.棱柱、圓錐、四棱柱、長方體

評析 通過引導(dǎo)，讓學(xué)生把實物和在頭腦與已知的幾何體的形象進(jìn)行比較，從而推理和抽象出幾何圖形，在教學(xué)中，應(yīng)不斷培養(yǎng)學(xué)生的直觀感知，從而提高對圖形的直觀推理能力.

1.2 注重培養(yǎng)描述推理

在幾何學(xué)習(xí)中，文字語言、圖形語言、符號語言這三種語言是培養(yǎng)學(xué)生幾何推理的基礎(chǔ)，而描述推理的培養(yǎng)就算表現(xiàn)為正確運用文字語言，圖形語言，符號語言;能進(jìn)行三種語言的轉(zhuǎn)換，教師可以從以下三個方面來加強(qiáng)學(xué)生的描述推理能力.

1.2.1 加強(qiáng)學(xué)生幾何文字語言的嚴(yán)謹(jǐn)性

幾何文字語言和平時的文字語言有一定的區(qū)別，教師在教學(xué)中要注重自己的幾何語言規(guī)范和板書規(guī)范，對學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生的不夠嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范的幾何表述應(yīng)及時給予糾正，促使學(xué)生養(yǎng)成良好的幾何文字語言的嚴(yán)謹(jǐn)，為培養(yǎng)幾何推理打下扎實的基礎(chǔ)，

例2 下列說法正確的是（ ）

A.兩點之間，直線最短;

B.過一點有一條直線平行于已知直線;

C.有兩組邊與一組角對應(yīng)相等的兩個三角形全等;

D.在平面內(nèi)過一點有且只有一條直線垂直于已知直線，

評析 通過引導(dǎo)，讓學(xué)生逐漸掌握對幾何文字使用的嚴(yán)謹(jǐn)性和規(guī)范性，剛開始學(xué)時，學(xué)生對“有且只有”、“互相”、“交于一點”等語言的使用不太規(guī)范，所以教師在教學(xué)中得不斷地強(qiáng)化，讓學(xué)生不斷適應(yīng)規(guī)范語言的使用.

1.2.2 加強(qiáng)文字語言和圖形語言的轉(zhuǎn)化

例3如圖1，四點A，B，C，D，按照下列語句畫出圖形：

（1）直線AC和線段DB相交于點O;

（2）延長線段AD至E，使AD= DE;

（3）畫射線BA;

（4）反向延長線段BC.

評析通過引導(dǎo)，讓學(xué)生逐漸掌握文字語言和圖形語言的轉(zhuǎn)化，在教學(xué)中通過“文字一圖形”、“圖形一文字”訓(xùn)練學(xué)生在不同語言間相互轉(zhuǎn)化，并且通過不斷示范和糾正強(qiáng)化學(xué)生對數(shù)學(xué)語言使用的嚴(yán)謹(jǐn).

1.2.3 加強(qiáng)幾何符號語言的正確表達(dá)

用幾何符號語言來表達(dá)推理過程是學(xué)好初中幾何的前提，在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生掌握“∵（因為），∴（所以）”的幾何符號語言的模式，能夠把定義、定理、性質(zhì)由文字語言轉(zhuǎn)為為符號語言，從而簡化書寫，使得推理思路明確和清晰，

例4 平行線的判定2（圖2）：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

符號語言：若∠l= ∠2，則m∥n.

證明∵∠1=∠2（已知），

∠1=∠3（對頂角相等），

∴∠2= ∠3（等量代換），

∴m∥n（同位角相等，兩直線平行）.

評析通過引導(dǎo)，讓學(xué)生明確如何將文字轉(zhuǎn)化為幾何符號語言，并用引導(dǎo)學(xué)生用幾何符號來進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^程的證明，同時在教學(xué)中，讓學(xué)生明確語言的聯(lián)系;有意識地用推理性的語言引導(dǎo)學(xué)生靈活地在三種語言的不斷轉(zhuǎn)化;適當(dāng)增加簡單符號語言的推理格式要求.

2 發(fā)展期：簡單關(guān)系的推理幾何證明的模仿

學(xué)生有直觀推理能力和三種語言為基礎(chǔ)后，要重視學(xué)生邏輯規(guī)則的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生如何建立已知和未知之間的關(guān)系推理和對幾何證明的模仿.

例5三角形全等的證明（后面得有依據(jù)）：

如圖3，點E，C在BF上，AB=DE，AC=DF，BE= CF，求證：∠A=∠D.

分析思路

評析通過上面的分析，引導(dǎo)學(xué)生明確形成“已知一結(jié)論”的正推模式，規(guī)范性的證明格式讓學(xué)生從模仿到自覺地形成規(guī)范，養(yǎng)成良好、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰Γ?評析通過討論，讓學(xué)生思考曾經(jīng)學(xué)過的知識何為180°，逆向思考，從而搭建起“已知一結(jié)論”的橋梁，

在培養(yǎng)學(xué)生推理能力時，讓學(xué)生緊緊圍繞條件和結(jié)論開展推理活動，尋求條件或結(jié)論中的“枝節(jié)”關(guān)系，可以由條件到結(jié)論的正向推理，也可從結(jié)論到條件的逆向推理，甚至于可以從條件和結(jié)論往中間推理，建立起他們之間的關(guān)系，搭建“已知一結(jié)論”的橋梁，同時嚴(yán)格要求學(xué)生的幾何證明格式，讓學(xué)生“模仿一自覺”地使用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明過程.

3 成熟期：結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的推理形式邏輯的推理

學(xué)生在有基本的邏輯規(guī)則，有了幾何證明的嚴(yán)謹(jǐn)意識前提下，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)推理和形式邏輯推理，

幾何結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)推理主要表現(xiàn)為（1）識別不同圖形的特征和相關(guān)圖形間的關(guān)系;（2）從復(fù)雜圖形中，找到基本圖形，接受其內(nèi)在隱含的關(guān)系，學(xué)生常常在復(fù)雜的圖形推理問題中無法進(jìn)行下去，就是因為無法從復(fù)雜的圖形中抽象出幾何基本圖形、基本模型，無法尋求其幾何圖形的本質(zhì)，所以說培養(yǎng)幾何結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)推理在幾何推理中起著重要的作用，而幾何命題的真假不能靠直觀和實驗的基礎(chǔ)上來確認(rèn)，必須通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男问竭壿嫷姆绞絹碜C明，形式邏輯推理就是在結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)推理后進(jìn)行關(guān)系的轉(zhuǎn)化和重組，建立起所需要的各種關(guān)聯(lián)，按照形式邏輯推理的規(guī)則書寫推理過程.

例7（2017年福建中考·24）如圖7，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分別是線段AC，BC上的點，且四邊形PEFD為矩形.

評析本題從圖形中挖掘出“手拉手”模型的相似基本圖形，提供了思考的方向，而在需要求證∠PCF= 90°時，發(fā)現(xiàn)四點共圓的基本圖形，又再次提供了思考的方向，所以在證明探究中，遇到推理不下去時，常常會通過發(fā)現(xiàn)基本圖形，基本模型，發(fā)現(xiàn)其幾何本質(zhì)，提供學(xué)生思考方向，有一種柳暗花明又一村的感覺.

評析 當(dāng)學(xué)生能通過幾何結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)推理尋找出整個推理方向和推理思路后，培養(yǎng)學(xué)生熟地用形式邏輯進(jìn)行表達(dá)，完成幾何證明的全部過程.

在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生幾何結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)推理能力和形式邏輯推理，應(yīng)重視結(jié)構(gòu)良好的幾何證明，培養(yǎng)學(xué)生對眾多關(guān)系、復(fù)雜圖形選取所需要的關(guān)系和基本圖形，進(jìn)行關(guān)系的轉(zhuǎn)化和重組，并通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男问竭壿嬕?guī)則表達(dá)證明過程.

4 結(jié)束語

幾何推理能力的培養(yǎng)是加強(qiáng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要組成組成部分，在幾何教學(xué)中，不能拔苗助長，應(yīng)遵循孕育期一發(fā)展期一成熟期的規(guī)律，遵循學(xué)生心理、智力的發(fā)展特點，循序漸進(jìn)地強(qiáng)化幾何的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中得到成就感，激發(fā)他們的探究的欲望，促使全體學(xué)生幾何推理能力的提高.

參考文獻(xiàn)

[1]李紅婷.初中生幾何推理能力發(fā)展研究[J].教育研究與實驗，2009 （06）：81-85

[2]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011

[3]馬俊彤，數(shù)學(xué)史教育在中小學(xué)數(shù)學(xué)教育中的作[J].遼寧師專學(xué)報（自然科學(xué)版），2006 （02）： 83

[4]田載今，李海東.幾何教學(xué)中的直觀實驗與邏輯推理[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2005 （06）： 2-4