面向數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與探索的合情推理規(guī)則教學(xué)

【摘要】本文針對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教師存在的對(duì)發(fā)展核心素養(yǎng)“推理能力”的關(guān)注不足，對(duì)“推理”認(rèn)識(shí)有偏差，沒(méi)有掌握有關(guān)推理的理論知識(shí)，不能將推理規(guī)則運(yùn)用于教學(xué)實(shí)踐等問(wèn)題，論述在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)歸納推理與類比推理的策略。

【關(guān)鍵詞】合情推理 數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn) 推理能力 核心素養(yǎng)

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2019）01A-0028-05

推理能力是各年齡段學(xué)生都要發(fā)展的重要數(shù)學(xué)素質(zhì)之一，但是中小學(xué)生受其心理發(fā)展水平的制約，需在教師的指導(dǎo)下提升推理能力，因此要求教師具備一定的推理知識(shí)。近三年來(lái)，筆者通過(guò)對(duì)參加我校組織的“國(guó)培”項(xiàng)目培訓(xùn)的小學(xué)數(shù)學(xué)教師訪談發(fā)現(xiàn)：大部分小學(xué)數(shù)學(xué)教師對(duì)發(fā)展核心素養(yǎng)“推理能力”的關(guān)注不足，對(duì)“推理”認(rèn)識(shí)有偏差，沒(méi)有掌握有關(guān)推理的理論知識(shí)，特別是不能將推理規(guī)則運(yùn)用于教學(xué)實(shí)踐。針對(duì)這些問(wèn)題，筆者從生活情境、中小學(xué)數(shù)學(xué)教材、數(shù)學(xué)家的著作和數(shù)學(xué)教學(xué)研究文獻(xiàn)入手，深入學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)中廣泛運(yùn)用的觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等典型思維方法，總結(jié)成文以期引導(dǎo)數(shù)學(xué)教師在體驗(yàn)中感悟合情推理的規(guī)則及其背后隱含的數(shù)學(xué)思想，并將合情推理的方法和規(guī)則運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué)，成為“講道理”的數(shù)學(xué)教師。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）指出：推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們?cè)趯W(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，通過(guò)歸納和類比等推斷某些結(jié)果;演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論;演繹推理用于證明結(jié)論。

數(shù)學(xué)家是怎樣發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理的？他們是否有秘訣？十八世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家歐拉告訴我們一個(gè)秘訣：數(shù)學(xué)定理是靠觀察得來(lái)的。事實(shí)上，歐拉自己就是一位善于觀察的數(shù)學(xué)家。十八世紀(jì)法國(guó)的另一位著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾經(jīng)指出：在數(shù)學(xué)這門科學(xué)里，我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律的主要工具是歸納和類比。歸納和類比是合情推理的主要規(guī)則，也是對(duì)實(shí)驗(yàn)觀察的結(jié)果進(jìn)行去粗取精、去偽存真，厘清事實(shí)、概括經(jīng)驗(yàn)的思維方法。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中我們經(jīng)常運(yùn)用“實(shí)驗(yàn)歸納”“觀察歸納”等方法來(lái)尋找規(guī)律。教師在學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的過(guò)程中，應(yīng)重視自己的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)觀察、歸納和類比等科學(xué)方法，掌握數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的藝術(shù)。筆者主要論述合情推理規(guī)則的教學(xué)。

一、“特殊到一般”的歸納推理

（一）歸納推理概述

由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡(jiǎn)稱歸納）。將推理“符號(hào)化”，即將具體的對(duì)象進(jìn)行抽象、概括，形成了歸納推理的一般結(jié)構(gòu)形式。用文字表達(dá)則是：S1具有（或不具有）性質(zhì)P;S2具有（或不具有）性質(zhì)P;……;Sn具有（或不具有）性質(zhì)P;S1，S2，……，Sn都是S類事物，所以，S類事物都具有（或不具有）性質(zhì)P。

許多人承認(rèn)科學(xué)上的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明，如物理學(xué)中的運(yùn)動(dòng)定律、化學(xué)中的鏈霉素、生物學(xué)中的遺傳規(guī)律等都是依靠實(shí)驗(yàn)歸納和觀察歸納得到的。在小學(xué)數(shù)學(xué)階段學(xué)習(xí)的“找規(guī)律”，幾乎都是運(yùn)用歸納進(jìn)行探索和發(fā)現(xiàn)的。歸納推理是從特殊到一般的推理。由于事物的普遍性寓于事物的特殊性之中，歸納可以為我們提出猜想提供基礎(chǔ)與依據(jù)。它是一種重要的思維方法，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理的一個(gè)重要途徑。圖2列舉了兩個(gè)推理案例。

但是我們一定要意識(shí)到，歸納推理所得的結(jié)論并不可靠。例如，我們?cè)谝粋€(gè)班級(jí)任意抽取4名學(xué)生，抽取的第1名學(xué)生是男生，第2名學(xué)生是男生，第3名學(xué)生是男生，第4名學(xué)生還是男生，于是我們就下結(jié)論：這個(gè)班上的學(xué)生全是男生。事實(shí)上，這個(gè)班是有女生的，很顯然，歸納推理得到的結(jié)論并不可靠。我們也常常把這樣的歸納推理稱為“不完全歸納推理”。

教師在指導(dǎo)小學(xué)生用歸納推理“找規(guī)律”時(shí)應(yīng)該告訴學(xué)生：發(fā)現(xiàn)規(guī)律還需要弄清其真?zhèn)?，可以繼續(xù)研究一系列的特例，如果有不支持結(jié)論的反例，我們就可以否定之前的規(guī)律;如該規(guī)律在新的特殊情況中仍被證實(shí)，結(jié)論就變得更加可靠，同時(shí)還得滲透給學(xué)生知道“更加可靠”不等于“一定可靠”，還需要依靠演繹推理去證明。

（二）歸納推理在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用及教學(xué)改進(jìn)

【案例1】長(zhǎng)方形的面積公式的“推導(dǎo)”

以下是小學(xué)教育專業(yè)大三師范生在數(shù)學(xué)課堂上與學(xué)生的一段對(duì)話。

師：你會(huì)求長(zhǎng)方形的面積嗎？

生：會(huì)呀，用公式呀，長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬。

師：為什么長(zhǎng)和寬都是長(zhǎng)度，“長(zhǎng)×寬”就變成面積了呢？

生1：小學(xué)階段學(xué)的，怎么推導(dǎo)沒(méi)有印象了。

生2：長(zhǎng)與寬雖然都是長(zhǎng)度，但它們的乘積是“積”，應(yīng)該就是“面積”吧。

生3（尷尬地說(shuō)）：是哦，為什么是“長(zhǎng)×寬”，記得老師讓我們記住公式，會(huì)求長(zhǎng)方形面積就行了。好像教師也沒(méi)有講過(guò)推導(dǎo)。

筆者后來(lái)又聽了其他小學(xué)教師、實(shí)習(xí)生教學(xué)的“長(zhǎng)方形面積的計(jì)算”一課，以及師范生“教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施”課程的模擬講課。他們大多是“照本宣科”地“推導(dǎo)”出長(zhǎng)方形的面積公式。學(xué)生真的明白“長(zhǎng)×寬”的道理了嗎？這樣上課又給學(xué)生留下了什么？

教師依據(jù)教材（如圖3），讓學(xué)生經(jīng)歷從數(shù)格子，到借助方格圖發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)與每行的方格個(gè)數(shù)的關(guān)系、寬與行數(shù)之間的關(guān)系，用乘法來(lái)計(jì)算格子的個(gè)數(shù)，即得到長(zhǎng)方形的面積。隨后教師可以依次用若干個(gè)單位邊長(zhǎng)的“小方塊”擺出5個(gè)不相同的長(zhǎng)方形，而從5個(gè)不同的長(zhǎng)方形面積都是“長(zhǎng)×寬”，得到“所有的長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)[×]寬”的結(jié)論。學(xué)生感悟到這恰好是我們找規(guī)律最常用的“歸納推理”，從而明白長(zhǎng)方形面積公式形成的道理所在。

為了防止學(xué)生認(rèn)為歸納推理就足以保證公式“可靠”，筆者建議小學(xué)教師此時(shí)再加一句話，“今天我們發(fā)現(xiàn)的這個(gè)公式到目前為止沒(méi)出過(guò)反例”或者“當(dāng)我們到中學(xué)或大學(xué)階段，還會(huì)學(xué)習(xí)用邏輯推理（必然推理）規(guī)則更加嚴(yán)格地證明這一公式”……

【案例2】圓周率的計(jì)算

師：圓的周長(zhǎng)與直徑到底有什么關(guān)系呢？這個(gè)規(guī)律需要同學(xué)們自己去發(fā)現(xiàn)?，F(xiàn)在請(qǐng)同桌二人小組分工，測(cè)量一個(gè)圓片的直徑并計(jì)算出該圓片的周長(zhǎng)除以直徑所得的商，得數(shù)保留兩位小數(shù)，把數(shù)據(jù)填寫在相應(yīng)的表格（見(jiàn)表1）中。

（學(xué)生測(cè)量、計(jì)算、填表，然后小組匯報(bào)）

師：從他們匯報(bào)的數(shù)據(jù)看，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了什么嗎？

生：我們這個(gè)小組每個(gè)圓的周長(zhǎng)也大約是直徑的3倍多一些。

師：這就說(shuō)明圓的周長(zhǎng)除以直徑的商可能是有規(guī)律的。在我們所測(cè)量的這些圓中，每一個(gè)圓的周長(zhǎng)都是它直徑的3倍多一些，是一個(gè)固定不變的數(shù)。

這個(gè)探究環(huán)節(jié)有點(diǎn)流于形式，學(xué)生按教師要求充當(dāng)了一回“操作工”。筆者課后訪談發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)圓周率的認(rèn)識(shí)太膚淺、不深刻。單純地去觀察可能視而不見(jiàn)。觀察時(shí)，一是要有目標(biāo)，處處留心;二是要有方法，觀察和歸納常常聯(lián)系在一起。歸納是一種對(duì)經(jīng)驗(yàn)、實(shí)驗(yàn)觀察結(jié)果進(jìn)行去粗取精、去偽存真的處理方法，我們要用歸納的方法厘清事實(shí)、概括經(jīng)驗(yàn)，從而形成概念，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

教師在教學(xué)中不妨通過(guò)以下語(yǔ)言引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考：“我們通過(guò)測(cè)量不同圓形物品的周長(zhǎng)與直徑并計(jì)算它們的比值來(lái)尋找規(guī)律，在我們所測(cè)量的這些圓中，這些圓是不同的、變化的，圓的周長(zhǎng)都是它直徑的3倍多一些。如果再換成其他的圓來(lái)測(cè)量或者計(jì)算的話，同學(xué)們還會(huì)發(fā)現(xiàn)，它們的周長(zhǎng)還是它們直徑的3倍多一些。請(qǐng)用歸納推理的規(guī)則概括‘圓周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系。”學(xué)生通過(guò)測(cè)量不同圓形物品的周長(zhǎng)與直徑并計(jì)算它們的比值，發(fā)現(xiàn)千變?nèi)f化的圓的周長(zhǎng)與直徑的比是一個(gè)固定不變的數(shù)的規(guī)律，體會(huì)由具體到抽象、由特殊到一般的歸納方法，感悟歸納思想，積累了探索“變化中的不變”規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)，凸顯了探索規(guī)律的教學(xué)價(jià)值。

【案例3】小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的“哥德巴赫猜想”的文化價(jià)值和教育價(jià)值

1742年，德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫在觀察自然數(shù)時(shí)，把大量的自然數(shù)拆成其他自然數(shù)之和，運(yùn)用歸納推理的方法從一串等式——4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7，14=3+11……概括出一條規(guī)律：任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和。

教師在學(xué)生閱讀課本內(nèi)容后通過(guò)名言啟發(fā)學(xué)生：高斯說(shuō)，數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)論是數(shù)學(xué)這位皇后頭上的皇冠，哥德巴赫猜想就是皇冠上的明珠;牛頓說(shuō)，沒(méi)有大膽的猜想，就沒(méi)有偉大的發(fā)現(xiàn)，鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)會(huì)用“歸納”去大膽地猜想，敢于用“歸納”去猜想。

哥德巴赫猜想一定正確嗎？我們不知道。哥德巴赫本人無(wú)法給予證明，就連大名鼎鼎的歐拉也無(wú)法給予證明。兩百七十多年來(lái)，包括我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚、王元、陳景潤(rùn)在內(nèi)的世界上的一大批數(shù)學(xué)家付出了巨大的心血，仍不能證明該猜想的正確性，也不能找出否定它的反例。盡管如此，數(shù)學(xué)家們?cè)诮鉀Q這一難題的過(guò)程中創(chuàng)造及發(fā)現(xiàn)了許多嶄新的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)理論，這些方法和理論的價(jià)值遠(yuǎn)比哥德巴赫猜想本身要高。形成的新理論推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，甚至推動(dòng)了科學(xué)的發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步。教師可以借此鼓勵(lì)學(xué)生不畏難題、敢于探究。

二、“特殊到特殊”的類比推理

（一）類比推理概述

相傳有一次魯班進(jìn)深山砍樹木時(shí)，一不小心，腳下一滑，手被一種野草的葉子劃破了，滲出血來(lái)，他摘下葉片輕輕一摸，原來(lái)葉子兩邊長(zhǎng)著鋒利的齒，他用這些密密的小齒在手背上輕輕一劃，手背居然被割開了一道口子。他想，要是有這樣齒狀的工具，不就能很快地鋸斷樹木了嗎！于是，他經(jīng)過(guò)多次試驗(yàn)，終于發(fā)明了鋒利的鋸子，大大提高了工效。

筆者認(rèn)為，魯班在發(fā)明鋸子的過(guò)程中的思路是這樣的：茅草是齒形的、茅草能割破手，需要一種能割斷木頭的工具，這種工具也可以是齒形的。事實(shí)上，這就是一個(gè)類比推理的過(guò)程。所謂類比推理，就是根據(jù)A與B兩個(gè)或兩類對(duì)象在某些屬性上相同或相似，已知A對(duì)象還有另外某種屬性，推出B對(duì)象也有這種屬性的推理，其規(guī)則用圖表示如圖5，用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言表達(dá)是：對(duì)象A和對(duì)象B類似，因?yàn)閷?duì)象A具有屬性d，所以對(duì)象B具有屬性d。

類比推理是從特殊到特殊的推理。運(yùn)用類比推理，可以通過(guò)對(duì)一些類似現(xiàn)象、過(guò)程的對(duì)比分析，在看似互不關(guān)聯(lián)的偶然信息中發(fā)現(xiàn)規(guī)律性的必然。但是，類比推理得到的結(jié)論有可能是對(duì)的，也可能是錯(cuò)的。例如，張老師和王老師都是湖南人，張老師愛(ài)吃辣椒，所以王老師也愛(ài)吃辣椒。在生活中，兩個(gè)前提是真的，但也許王老師不愛(ài)吃辣椒，我們類比推理出來(lái)的這個(gè)結(jié)論就可能是錯(cuò)的。類比推理的一般步驟如圖6。

（二）類比推理在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，新知識(shí)一般是舊知識(shí)的延伸或組合，兩者之間必有很多共同屬性。新舊知識(shí)的共同點(diǎn)越多，越容易實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移。在教學(xué)中，教師要努力揭示新舊知識(shí)之間的共同點(diǎn)，盡力創(chuàng)設(shè)類比情境，凡是學(xué)生能在已學(xué)的基礎(chǔ)上類推的，盡量引導(dǎo)他們自己類推出應(yīng)學(xué)的新知識(shí)。

【案例1】探究圓周率的教學(xué)片段——“類比搭橋，問(wèn)題鋪路”

教師在教學(xué)“圓周率”一課時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比“正方形的周長(zhǎng)與其邊長(zhǎng)的比值恒等于4”探究圓周率，教學(xué)片段如下。

（媒體演示：在幾何畫板上作一個(gè)動(dòng)態(tài)的正方形，拖動(dòng)正方形的各個(gè)頂點(diǎn)，測(cè)量其周長(zhǎng)、邊長(zhǎng)，計(jì)算其周長(zhǎng)與邊長(zhǎng)的比值）

師：什么在變？（正方形的大小和位置都發(fā)生了變化）什么不變？（正方形的周長(zhǎng)與邊長(zhǎng)的比值沒(méi)有變化，它恒等于4）正方形千變?nèi)f化，但它的周長(zhǎng)始終是它的邊長(zhǎng)的4倍，從而得到正方形的周長(zhǎng)公式為“正方形的周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)×4”。

師：“變化中的不變性”就是規(guī)律，找到了這樣的規(guī)律，就能發(fā)現(xiàn)公式、法則、性質(zhì);尋找不變量不僅是數(shù)學(xué)研究的任務(wù)，也是科學(xué)研究和社會(huì)研究的任務(wù);“變化中的不變”也是守恒，守恒是一種美麗，這節(jié)課我們也要去發(fā)現(xiàn)和欣賞這種數(shù)學(xué)之美。

師：現(xiàn)在我們的任務(wù)是尋求一個(gè)計(jì)算圓周長(zhǎng)的方法。我們應(yīng)該先研究什么問(wèn)題？

生：我們要研究圓的周長(zhǎng)與直徑是否存在這樣的倍數(shù)關(guān)系。這樣一來(lái)，我們知道直徑就可以計(jì)算出圓的周長(zhǎng)，從而得到圓的周長(zhǎng)公式。

【案例2】“新題舊解”

一名小學(xué)生向老師請(qǐng)教這樣一個(gè)問(wèn)題：媽媽去商店買布，所帶的錢剛好能買花布2米或黃布3米，若打算兩種布都買同樣多的米數(shù)，最多能各買幾米？老師并沒(méi)有直接告訴他怎么做，而是要求他比較學(xué)過(guò)的工程問(wèn)題：一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做要2個(gè)月，乙隊(duì)單獨(dú)做要3個(gè)月，兩隊(duì)合做要幾個(gè)月？學(xué)生發(fā)現(xiàn)原題與熟知的工程問(wèn)題相似，從而求出了原問(wèn)題的解，也學(xué)會(huì)了類比推理。

學(xué)生在解題過(guò)程中，可以找到一道與要解答的題目類似的原型題，通過(guò)觀察、比較、聯(lián)想、類比，用原型題的解題方法求解新問(wèn)題。學(xué)生不再有“遇到生人就害怕”的感覺(jué)，反而覺(jué)得“舊壺裝新酒”。教師引導(dǎo)學(xué)生類比，有“隨風(fēng)潛入，無(wú)聲潤(rùn)物”的教學(xué)效果。再如，習(xí)題“工地運(yùn)來(lái)長(zhǎng)度分別為8米和5米的水管共25根，用它們一共鋪設(shè)了173米長(zhǎng)的管道。運(yùn)來(lái)兩種水管各多少根？”可以類比為8條腿的“怪兔”和5條腿的“怪雞”的“雞兔同籠”問(wèn)題。“有一個(gè)掛鐘，每小時(shí)敲1次鐘，幾點(diǎn)鐘就敲幾下，鐘敲7下，6秒鐘敲完;鐘敲11下，幾秒敲完？”可與植樹問(wèn)題進(jìn)行類比：把鐘點(diǎn)數(shù)看作是一棵棵的樹，把敲的時(shí)間看作樹距，學(xué)生就能求出正確答案。

【案例3】矩形與長(zhǎng)方體類比

人類認(rèn)識(shí)的過(guò)程是由簡(jiǎn)單發(fā)展到復(fù)雜的過(guò)程。小學(xué)生學(xué)習(xí)的幾何問(wèn)題基本限制在平面上：先認(rèn)識(shí)點(diǎn)、線，然后是由線段圍成的三角形、四邊形、正方形、長(zhǎng)方形、梯形……在低維成立的理論是否可以推廣到高維呢？答案是：有些可以（要促進(jìn)正遷移），如平面上的勾股定理就可以在立體幾何中找到類似的定理;有些不可以（要避免負(fù)遷移），如“平面上兩直線不平行就相交”在三維空間就不成立了。

在學(xué)習(xí)了二維的平面圖形后，教師可引導(dǎo)學(xué)生類比二維平面圖形與三維立體圖形的性質(zhì)，進(jìn)一步明確推理規(guī)則，培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)。以矩形與長(zhǎng)方體的類比為例。矩形與長(zhǎng)方體的幾何構(gòu)造十分相似：矩形每相鄰兩邊互相垂直，長(zhǎng)方體每相鄰兩面互相垂直，矩形可以看作長(zhǎng)方體的高為零的特殊情況，長(zhǎng)方體則可以看作是矩形沿著與其所在平面垂直的方向連續(xù)平移而形成的。幾何構(gòu)造上的相似，使我們推想它們?cè)趲缀涡再|(zhì)上也相似，見(jiàn)表2：

【案例4】圓柱體的體積公式的推導(dǎo)類比于圓的面積公式的推導(dǎo)

教師首先引導(dǎo)學(xué)生回憶圓的面積公式的推導(dǎo)：“我們先切，然后再拼一拼。先后把圓分成8等分、16等分……我們所拼得的這些圖形越來(lái)越近似平行四邊形。”“如果我們?cè)偾?，這樣無(wú)限地切分下去，所拼得的圖形就慢慢地轉(zhuǎn)化成了長(zhǎng)方形。轉(zhuǎn)化后長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于圓的周長(zhǎng)的一半，寬相當(dāng)于圓的半徑。”于是，得出圓的面積公式：S=πr2。

接著，教師引導(dǎo)學(xué)生類比上述推導(dǎo)過(guò)程推導(dǎo)圓柱體的體積公式——先切，然后再拼一拼，我們所拼得的這些圖形越來(lái)越近似長(zhǎng)方體，如果這樣無(wú)限地切分下去，所拼得的圖形就慢慢轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體了，于是得出圓柱體的體積公式為V=sh。

教師還可以引導(dǎo)學(xué)生：“長(zhǎng)方體和圓柱體都是柱體，因?yàn)殚L(zhǎng)方形的體積=底面積×高，所以圓柱體的體積=底面積×高，這樣類比是不是也有些道理呢？”讓學(xué)生自主思考，培養(yǎng)他們的類比思維。

三、合情推理的誤導(dǎo)

在數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和探究過(guò)程中，合情推理確實(shí)讓我們獲得很多結(jié)論。但是合情推理得出的結(jié)論可能是對(duì)的，也可能是錯(cuò)的，合情推理可能誤導(dǎo)我們，甚至一些數(shù)學(xué)大師也曾被“騙”。

數(shù)學(xué)家費(fèi)馬聲望極高，他對(duì)數(shù)論、幾何、分析和概率都做過(guò)深入的研究，并有不少重大的發(fā)現(xiàn)。他曾研究形如Fn=[22][n]+1的數(shù)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)n=0，1，2，3，4時(shí)，有F0=3，F(xiàn)1=5，F(xiàn)2=17，F(xiàn)3=257，F(xiàn)4=65537都是質(zhì)數(shù)，于是他歸納推理出一個(gè)猜想：一切自然數(shù)n，F(xiàn)n=[22][n]+1都是質(zhì)數(shù)。近百年后，著名數(shù)學(xué)家歐拉卻發(fā)現(xiàn)：F5=641×6700417并非質(zhì)數(shù)，費(fèi)馬的猜想是錯(cuò)誤的。由此可見(jiàn)，歸納推理的結(jié)論不一定正確。

再例如，圖7來(lái)自美國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)課本：先畫個(gè)圓的外接正方形，然后按圖示把正方形轉(zhuǎn)化成圓的外接多邊形，認(rèn)為外接多邊形會(huì)無(wú)限接近圓，于是外接多邊形的周長(zhǎng)就和圓的周長(zhǎng)相等了。結(jié)果求得π=4。它非?！邦愃啤眲⒒盏摹案顖A術(shù)”的逼近方法，為什么有不一樣的結(jié)果？

在圖7中，無(wú)論怎么分解，外接多邊形的周長(zhǎng)是不變的，為圓外接正方形的周長(zhǎng)。它不能無(wú)限逼近圓的周長(zhǎng)，這就是錯(cuò)誤的本質(zhì)所在，它與割圓術(shù)有著本質(zhì)的區(qū)別。

類比推理屬于合情推理，上面的做法就是一個(gè)未恰當(dāng)使用類比推理的例子，在我們的日常生活中，如果只用類比推理來(lái)為結(jié)論提供支持，那么這個(gè)支持的力度通常會(huì)非常弱。類比推理，其實(shí)更多時(shí)候是起到一個(gè)說(shuō)明的效果，讓大家更容易理解我們想表達(dá)的結(jié)論。我們可以用類比推理來(lái)啟發(fā)自己的思考、向他人通俗易懂地說(shuō)明自己的想法，但最好不要用類比推理來(lái)支持自己的結(jié)論，也就是說(shuō)：類比不是數(shù)學(xué)證明。我們還要通過(guò)演繹推理弄清合情推理得到的猜想的真?zhèn)巍?/p>

尋找數(shù)學(xué)規(guī)律，即數(shù)學(xué)猜想，是數(shù)學(xué)研究的一種常用的科學(xué)方法，又是數(shù)學(xué)發(fā)展的一種重要的思維方式。引發(fā)猜想主要有兩種模式：“實(shí)驗(yàn)（觀察）—?dú)w納—猜想”和“聯(lián)想—類比—猜想”。教師學(xué)習(xí)和研究合情推理的規(guī)則和思維方法并將其滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)之中，對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，讓學(xué)生把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)及其發(fā)展規(guī)律，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，有著重要的意義。

作者簡(jiǎn)介：李織蘭（1967— ），女，漢族，廣西百色人，副研究館員，管理學(xué)學(xué)士，曾從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，現(xiàn)擔(dān)任桂林師范高等?？茖W(xué)校師范生教學(xué)技能實(shí)踐教學(xué)工作，研究方向：教育管理、數(shù)學(xué)教育、圖書館學(xué)研究。

（責(zé)編 劉小瑗）