格的模糊子集的模糊理想度

朱 翔，廖祖華

(1.江南大學(xué) 理學(xué)院 江蘇 無錫 214122；2.無錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)課部 江蘇 無錫 214121)

0 引言

邏輯代數(shù)，如Boole代數(shù)、MV代數(shù)、BL代數(shù)[1]等是人工智能基礎(chǔ)理論研究的熱點(diǎn)之一．在這些邏輯代數(shù)中，格是一種最基本的代數(shù)結(jié)構(gòu)，它得到了人們的重視，并逐步發(fā)展成為一門獨(dú)立的代數(shù)理論，被稱為格論[2]．格的理論在信息科學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用．1971年，Rosenfeld將模糊集理論應(yīng)用到經(jīng)典代數(shù)學(xué)中，提出了模糊群的概念．此后，國內(nèi)外眾多學(xué)者又將其他代數(shù)結(jié)構(gòu)模糊化，模糊格代數(shù)便應(yīng)運(yùn)而生[3-5]．文獻(xiàn)[6]提出并研究了格上的模糊理想．此后，隨著模糊理想的深入研究，格上的模糊理論得到了進(jìn)一步的發(fā)展[7]．

在模糊理論的應(yīng)用中，引進(jìn)了一系列“度”的概念對事物間的相似程度進(jìn)行刻畫[1].在模糊模式識別中，利用“貼近度”來度量兩個(gè)模糊集的接近程度[8-9].學(xué)者將此思想應(yīng)用到模糊邏輯代數(shù)的研究中，研究一個(gè)模糊子集成為某種模糊邏輯代數(shù)的程度.文獻(xiàn)[10]提出了模糊子群度的概念，用以刻畫一個(gè)模糊子集滿足模糊子群條件的程度．文獻(xiàn)[11]討論了一個(gè)群的兩個(gè)模糊子集乘積的子群度．文獻(xiàn)[12]提出了環(huán)的模糊子環(huán)度的概念．利用該思想，王緒柱的研究團(tuán)隊(duì)近年來做了一系列的工作，得到了一些好的結(jié)果[13-16]．

受上述思想的啟發(fā)，本文提出了模糊理想度的新概念，用它來刻畫格L的模糊子集成為模糊理想的程度.

1 預(yù)備知識

現(xiàn)介紹下文所需的格、格同態(tài)、理想、模糊理想、蘊(yùn)涵、水平集、擴(kuò)展原理、模糊直積等基本概念和性質(zhì)．

定義1[2]設(shè)(L,≤)是偏序集，如果對于L中的任意一對元素a和b，sup{a,b}和inf{a,b}恒存在，則稱(L,≤)是一個(gè)格．sup{a,b}和inf{a,b}分別記作a∨b和a∧b．

定義2[2]設(shè)f是格L→M上的一個(gè)映射，若?x，y∈L，f滿足條件：(1)f(x∨y)=f(x)∨f(y)；(2)f(x∧y)=f(x)∧f(y)，則稱f是格L→M上的同態(tài)映射．若f是滿射，則稱f是滿同態(tài)映射；若f是單射，則稱f是單同態(tài)映射；若f是雙射，則稱f是同構(gòu)映射．

定義3[2]設(shè)L是格，?≠J?L．若(1) ?x，y∈J，有x∨y∈J；(2) ?x∈J，?y∈L，有x∧y∈J，則稱J是L的一個(gè)理想．

定義4[6]設(shè)A是格L的模糊子集，若對L中任意元素x，y，有：A(x)∧A(y)≤A(x∨y)；A(x)≤A(x∧y)，則稱A是L的模糊理想．

定義5[8]設(shè)映射I:[0,1]×[0,1]→ [0,1]，若?x，y，z∈[0,1]滿足條件：(1)x≤y?I(x,z)≥I(y,z)；(2)y≤z?I(x,y)≤I(x,z)；(3)I(1,0)=0，I(0,0)=I(1,1)=1，則稱映射I為一個(gè)模糊蘊(yùn)涵算子． ?x，y∈ [0,1]，I(x,y)=∨{t∈[0,1]|x∧t≤y}，顯然I為一個(gè)蘊(yùn)涵，該蘊(yùn)涵稱為由min生成的R-蘊(yùn)涵，通常記為x→y．

蘊(yùn)涵算子及取大、取小運(yùn)算具有如下性質(zhì).

命題1[17]設(shè)a,ai∈[0,1]，i∈I(I為任意指標(biāo)集)，則：

定義6[8]設(shè)A為格L的模糊子集，b∈[0,1]，記A[b]={x|A(x)≥b,x∈L}，稱A[b]為A的水平集；記A(b)={x|A(x)>b,x∈L}，稱A(b)為A的強(qiáng)水平集．

2 模糊理想度

現(xiàn)將給出模糊理想度的定義，討論它的基本性質(zhì)并給出其等價(jià)刻畫．最后將研究模糊子集簇的交、模糊直積以及一個(gè)模糊子集在同態(tài)映射下的模糊理想度問題．

定義10設(shè)A為格L中的模糊子集，記

稱mL(A)為A的模糊理想度．為了下文敘述方便，令

B1(x,y)={t∈[0,1]|A(x)∧A(y)∧t≤A(x∨y) }，B2(x,y)={t∈[0,1]|A(x)∧t≤A(x∧y) }，

例1設(shè)Z是整數(shù)集，“≤”表示通常意義下的大小關(guān)系，則(Z,≤)構(gòu)成一個(gè)格．定義A:Z→[0,1]，

容易驗(yàn)證mL(A)=0.5．

定理1設(shè)A是格L的一個(gè)模糊子集，則A為格L的模糊理想?mL(A)=1．

下面討論mL(A)的性質(zhì)，由此給出其等價(jià)刻畫．

引理1設(shè)A是格L上的一個(gè)模糊子集，則mL(A)≥a?A(x)∧A(y)∧a≤A(x∨y)且A(x)∧a≤A(x∧y)(?x，y∈L)．

定理2設(shè)A是格L上的一個(gè)模糊子集，且mL(A)>0．令K1={a∈(0,1]|A(x)∧A(y)∧a≤A(x∨y),?x，y∈L}；K2={a∈(0,1]|A(x)∧a≤A(x∧y),?x，y∈L}；K3={a∈(0,1]|A(x)∧A(y)∧a≤A(x∨y),A(x)∧a≤A(x∧y),?x，y∈L}，則mL(A)=(∨K1)∧ (∨K2)=∨K3．

證明先證明mL(A)=∨K3．設(shè)mL(A)=c，由引理1得?x，y∈L，A(x)∧A(y)∧c≤A(x∨y)且A(x)∧c≤A(x∧y)．令b=∨K3，則易知b≥c．又?ε>0，?tε∈K3，使得tε>b-ε，且?x，y∈L，A(x)∧A(y)∧tε≤A(x∨y)且A(x)∧tε≤A(x∧y)．所以，A(x)∧A(y)∧(b-ε)≤A(x∨y)且A(x)∧(b-ε)≤A(x∧y)．由ε的任意性可得，A(x)∧A(y)∧b≤A(x∨y)且A(x)∧b≤A(x∧y)．再由引理1得mL(A)≥b，即c≥b，所以b=c．

下面證明(∨K1)∧(∨K2)=∨K3．?a∈K3，則?x，y∈L，有A(x)∧A(y)∧a≤A(x∨y)且A(x)∧a≤A(x∧y)．因此a∈K1且a∈K2．故a≤∨K1且a≤∨K2．所以a≤(∨K1)∧(∨K2)，從而∨K3≤(∨K1)∧(∨K2)．令a1=∨K1，a2=∨K2，則?ε>0，?tε∈K1∩K2，使得tε>a1-ε，tε>a2-ε．令b=(∨K1)∧(∨K2)，則a1≥b且a2≥b．所以tε>b-ε，tε>b-ε．又A(x)∧A(y)∧tε≤A(x∨y)，A(x)∧tε≤A(x∧y)，所以，A(x)∧A(y)∧(b-ε)≤A(x∨y)，A(x)∧(b-ε)≤A(x∧y)．由ε的任意性可得A(x)∧A(y)∧b≤A(x∨y)，A(x)∧b≤A(x∧y)．由引理1得，mL(A)≥b，即∨K3≥b．

綜上所述，(∨K1)∧(∨K2)=∨K3．

我們知道，模糊理想與水平集具有密切的聯(lián)系．接下來，我們將研究模糊理想度與水平集的關(guān)系，并利用水平集給出模糊理想度的等價(jià)刻畫．

引理2設(shè)A是格L上的一個(gè)模糊子集，且mL(A)=c>0，則?b∈(0,c]，若A[b]≠?，則A[b]是L的理想．

證明?b∈(0,c]，若A[b]≠?，則?x，y∈A[b]，z∈L，有A(x)≥b，A(y)≥b．因?yàn)閙L(A)=c，由引理1可得：A(x∨y)≥A(x)∧A(y)∧c≥b∧c=b；A(x∧z)≥A(x)∧c≥b∧c=b．所以，x∨y∈A[b]且x∧z∈A[b]．從而A[b]是L的理想．對于強(qiáng)截集也有類似于上述的結(jié)論.

引理3設(shè)A是格L上的一個(gè)模糊子集，且mL(A)=c>0，則?b∈[0,c)，若A(b)≠?，則A(b)是L的理想．

證明?b∈[0,c)，若A(b)≠?，則?x，y∈A(b)，z∈L，有A(x)>b，A(y)>b．因?yàn)閙L(A)=c，由引理1可得：A(x∨y)≥A(x)∧A(y)∧c>b；A(x∧z)≥A(x)∧c>b．所以，x∨y∈A(b)且x∧z∈A(b)．從而A(b)是L的理想．

定理3設(shè)A是格L上的一個(gè)模糊子集，且mL(A)>0，則mL(A)=∨{a∈(0,1]|?b∈(0,a]，A[b]≠?是L的理想}．

證明令mL(A)=c，B={a∈(0,1]|?b∈(0,a]，A[b]≠?是L的理想}，由引理2可得，c∈B，所以∨B≥c，即∨B≥mL(A)．下面證明∨B≤mL(A)即可．先證明：?a∈B，?x，y∈L，有A(x)∧A(y)∧a≤A(x∨y)．若不然，?x0，y0∈L，使得A(x0)∧A(y0)∧a>A(x0∨y0)．令A(yù)(x0)∧A(y0)∧a=b，則b∈(0,a]，A(x0)，A(y0)≥b，即x0，y0∈A[b]且A(x0∨y0)

綜上所述，mL(A)=∨B=∨{a∈(0,1]|?b∈(0,a]，A[b]≠?是L的理想}．

定理4設(shè)A是格L上的一個(gè)模糊子集，且mL(A)>0，則mL(A)=∨{a∈(0,1]|?b∈[0,a]，A(b)≠?是L的理想}．

證明令mL(A)=c，B=∨{a∈(0,1]|?b∈[0,a]，A(b)≠?是L的理想}，由引理3可得，c∈B，所以∨B≥c，即∨B≥mL(A)．下面證明∨B≤mL(A)即可．先證明：?a∈B，?x，y∈L，有A(x)∧A(y)∧a≤A(x∨y)．若不然，?x0，y0∈L，使得A(x0)∧A(y0)∧a>A(x0∨y0)．令A(yù)(x0∨y0)=b，則A(x0)，A(y0)>b即x0，y0∈A(b)且a>b．又因?yàn)楫?dāng)bb，這與A(x0∨y0)=b矛盾．類似可證，?a∈B，?x，y∈L，有A(x)∧a≤A(x∧y)．再由引理1可得mL(A)≥a，從而∨B≤mL(A)．

綜上所述，mL(A)=∨B=∨{a∈(0,1]|?b∈[0,a]，A(b)≠?是L的理想}．下面我們討論模糊子集運(yùn)算的模糊理想度．首先，我們給出模糊子集簇交的模糊理想度與各模糊子集的模糊理想度的關(guān)系．

接下來，再討論模糊子集在模糊直積運(yùn)算下的模糊理想度．

定理6可推廣到指標(biāo)集I為任意非有限集的情形，但下面定理7的證明與定理6的證明有所不同．

所以，由定義10可得

最后，我們給出格上的一個(gè)模糊子集在同態(tài)映射下的像集與原像集的模糊理想度的關(guān)系．

定理8設(shè)f:L1→L2為格同態(tài)，A、B分別為L1和L2上的模糊子集，且mL1(A)，mL2(B)>0，則

(1)mL1(A)≤mL2(f(A))；(2)mL2(B)≤mL1(f-1(B))．

證明(1) 由定理2及定義7可知，

推論1設(shè)A，B分別為格L1和L2上的模糊子集，且mL1(A)，mL2(B)>0，那么(1) 若f:L1→L2為滿同態(tài)映射，則mL2(B)=mL1(f-1(B))；(2) 若f:L1→L2為單同態(tài)映射，則mL1(A)=mL2(f(A))．

3 結(jié)語

為了衡量一個(gè)模糊子集構(gòu)成模糊理想的程度，本文提出了模糊理想度的概念．通過對模糊理想度的研究，對模糊理想有了更深的認(rèn)識，進(jìn)一步豐富了格上的模糊理論．利用此思想，還可以度量格的其他類型的模糊理想，更進(jìn)一步地還可以度量其他的模糊代數(shù)結(jié)構(gòu)，同時(shí)也為模糊模式識別等應(yīng)用領(lǐng)域提供一定的理論基礎(chǔ)．