兩個(gè)獨(dú)立空間擁有公共基的一些先決條件

毛 華

(河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 河北 保定 071002)

0 引言

擬陣[1]有著廣泛的應(yīng)用[2-6].根據(jù)Oxley[7]給出的無限擬陣內(nèi)涵，獨(dú)立空間(independence space)就是被研究的無限擬陣[8-14]，Welsh[14]提出一個(gè)有關(guān)獨(dú)立空間的公開問題：“何時(shí)兩個(gè)獨(dú)立空間擁有一個(gè)公共基?”.到目前為止，該問題僅對一些特殊情況給予了解決[14-15].根據(jù)文獻(xiàn)[14，16]中有限擬陣相關(guān)問題的回答、以及文獻(xiàn)[7]帶來的啟發(fā)，本文將解答Welsh的部分問題.

1 預(yù)備知識

本文中，E代表某個(gè)任意的基數(shù)，也可能是無限的集合.對于一個(gè)集合S：P(S)是S的所有子集構(gòu)成的集合；|S|是S的基數(shù)；sup{S}表示{S}的上確界；max{S}代表{S}中最大元；這里S中的偏序?yàn)榧系陌P(guān)系.對于任何的X，Y?E，Y??X表示Y是X的一個(gè)有限子集.Z+代表非負(fù)整數(shù)集.

文獻(xiàn)[7] 分別給出算子f、f*的定義，一個(gè)集合是f-獨(dú)立的、f-相關(guān)的、f-支撐的、f的一個(gè)基的定義、還有冪等-交換或稱IE-算子的定義.文獻(xiàn)[7，14]給出一個(gè)準(zhǔn)-獨(dú)立空間Mp的定義、Mp中的獨(dú)立集、基的定義.文獻(xiàn)[14] 提供Mp的秩函數(shù)定義.文獻(xiàn)[7，14]還給出一個(gè)獨(dú)立空間M的定義、M中的獨(dú)立集、基的定義.文獻(xiàn)[7]有B-擬陣MB的定義.文獻(xiàn)[7]有MB的閉包算子(closure operator)的定義.文獻(xiàn)[14]中給出獨(dú)立空間的閉包算子的定義.文獻(xiàn)[14，16]提供擬陣MM的定義、MM的獨(dú)立集、基、秩函數(shù)的定義.

引理1令(Ij：j∈J)為E上的準(zhǔn)-獨(dú)立空間族，其秩函數(shù)為ρj(j∈J).令∨j∈JIj={X：X=∪j∈JAj，Aj∈Ij}，并且稱這一集合族為準(zhǔn)-獨(dú)立空間(Ij：j∈J)的并，記為∨j∈JMj.可以證明準(zhǔn)-獨(dú)立空間(Ij：j∈J)的并是一個(gè)準(zhǔn)-獨(dú)立空間[14].若B1和B2都是一個(gè)獨(dú)立空間的基，那么|B1|=|B2|.設(shè)M=(E，I)是一個(gè)獨(dú)立空間，并且ρ是它的秩函數(shù)，還有X?E.那么(X，I|X)是X上的一個(gè)獨(dú)立空間，用M|X表示，此處I|X={Y?X：Y∈I}.易證明對于Y?X，有r(Y)=ρ(Y)，此處r是M|X的秩函數(shù).進(jìn)而X的秩r(X)將是獨(dú)立空間M|X的秩[7].

(1) 易知對于?X，Y?E，若X?Y，則ρp(X)≤ρp(Y)，此處ρp是一個(gè)準(zhǔn)-獨(dú)立空間(E，Ip)的秩函數(shù).獨(dú)立空間M的秩函數(shù)ρ也如同Mp中的定義一樣.從文獻(xiàn)[7]可知，每個(gè)B-擬陣MB=(E，IB)是一個(gè)準(zhǔn)-獨(dú)立空間.因此，IB中的元也稱為獨(dú)立集，IB中的極大元也稱為基，因而，MB的秩函數(shù)ρB與Mp中的定義一樣.若M為E上的一個(gè)獨(dú)立空間并且其秩函數(shù)是ρ，則有對于任意的X?E，ρ(X)=ρB(X)=ρp(X)，此處ρB、ρp分別是B-擬陣M的秩函數(shù)與準(zhǔn)-獨(dú)立空間M的秩函數(shù).若一個(gè)獨(dú)立空間M被作為一個(gè)B-擬陣MB，那么M的基集合BM與MB的基集合BMB是一樣的(MB=M).也就是說，B∈BM?B∈BMB成立.

(2) 令X?E.若f是E上的一個(gè)IE-算子，此處|E|<∞，則f是E上的一個(gè)有限擬陣的閉包算子.對于E上的一個(gè)算子f，f*是E上的一個(gè)算子并且(f*)*=f.從而，若f是一個(gè)IE-算子，則f*亦然.關(guān)于f-的獨(dú)立集集合恰恰是關(guān)于f*-的支撐集的補(bǔ)集.關(guān)于f-的基恰好是f*-的基的補(bǔ)集.

(4) 對于一個(gè)準(zhǔn)-獨(dú)立空間Mp=(E，Ip)，不難證明對于任意的X?E，有(X，Ip|X)是一個(gè)準(zhǔn)-獨(dú)立空間，記為Mp|X，此處Ip|X={Y?X：Y∈Ip}.另外，rp(Y)=ρp(Y)成立，此處rp、ρp分別是Mp|X、Mp的秩函數(shù)，并且Y?X.

由引理1以及上面的討論，可得(M1∨…∨Mm)|X=(M1|X)∨… ∨(Mm|X)，此處X?E，而Mj是E上的一個(gè)準(zhǔn)-獨(dú)立空間(j=1，…，m<∞).本文中，ρp(Mp)有時(shí)也代表E的秩ρp(E).

2 回答

引理3設(shè)M=(E，I)為一個(gè)獨(dú)立空間，且ρ為其秩函數(shù).設(shè)ρ*是M*=(E，I*)的秩函數(shù)，此外，當(dāng)考慮M為一個(gè)B-擬陣時(shí)，M*是M的對偶.那么ρ*(E)=|EB|，這里B是M的一個(gè)基.

證明從第1節(jié)中可以知道，M*是一個(gè)B-擬陣，也是一個(gè)準(zhǔn)-獨(dú)立空間.另外，對于X?E，必有

ρ*(X)=sup{|Y|：Y∈I*，Y??X}.

利用定義知兩個(gè)獨(dú)立空間M1=(E1，I1)、M2=(E2，I2)擁有一個(gè)獨(dú)立集?.下面討論M1和M2擁有一個(gè)大小為k的獨(dú)立集的情況，其中k≠0.

若X是M1和M2的一個(gè)公共獨(dú)立集，則任何Y??X也是M1和M2的公共獨(dú)立集.因此，若尋找在何種條件下M1和M2擁有一個(gè)公共獨(dú)立集X，則僅需考慮|X|<∞的情況.另外有以下結(jié)論.

(a) 若E1∩E2=?，M1和M2有且僅有?作為公共獨(dú)立集.

(b) 若E1∩E2≠?， 需要考慮M1|(E1∩E2)和M2|(E1∩E2)擁有公共的非空獨(dú)立集.也就是說，需要考慮兩個(gè)定義在同一個(gè)底集上的獨(dú)立空間擁有公共基的情況.

基于上面的分析以及結(jié)論(a)、(b)，以下假設(shè)E1=E2.

證明如果|E|<∞，所需結(jié)果在引理2中給出.下面考慮|E|≮∞.

實(shí)驗(yàn)組和對照組操作技能考核成績差異無顯著性;實(shí)驗(yàn)組在自主學(xué)習(xí)的自我管理、學(xué)習(xí)合作維度上顯著優(yōu)于對照組，差異有顯著性；實(shí)驗(yàn)組對案例教學(xué)法課堂教學(xué)質(zhì)量的評價(jià)較高。

令Mj=(E，Ij)為一個(gè)獨(dú)立空間，fj為其閉包算子(j=1，2)，設(shè)X為M1和M2的一個(gè)公共獨(dú)立集.Y=f1(X)∩f2(X).由第1節(jié)，可以陳述為X是M1|Y和M2|Y的一個(gè)公共獨(dú)立集；另外，ρM1|Y(Y)=ρM2|Y(Y)是成立的.反之，設(shè)Z?E.可以說，若X是M1|Z和M2|Z的一個(gè)公共基，則X是M1和M2的一個(gè)公共獨(dú)立集；還有，ρM1|Y(X)=ρM2|Y(X)=|X|為正確的.即僅需解決若ρ1(E)=ρ2(E)，則M1和M2擁有一個(gè)公共基.

證明由引理2，對于|E|<∞的情況證明略.下面設(shè)|E|≮∞.

設(shè)Mj=(Ej，Ij)為一個(gè)獨(dú)立空間且ρj為其秩函數(shù)(j=1，2).將分成幾種情形來回答 Welsh的問題.

情形1E1∩E2=?.

對M1和M2,無論何種事情發(fā)生，利用定義可知：?將是M1和M2的一個(gè)公共獨(dú)立集.但是，若I1≠{?}或I2≠{?}，則?不是一個(gè)公共基.即在如此的假設(shè)下，M1和M2不存在公共基；若I1=I2={?}，則?是M1和M2的一個(gè)公共基.

情形2E1∩E2≠?.

由引理1，對于Mj的任意一個(gè)基Bj，ρj(Ej)=|Bj| 成立，j=1，2.可用兩種情形證明.

子情形2.1ρ1(E1)<ρ2(E2) (或者說ρ1(E1)>ρ2(E2)).可以得到|B1|<|B2|(或|B2|<|B1|).因此，M1和M2根本沒有公共基.

子情形2.2ρ1(E1)=ρ2(E2)=γ.若γ=0，則?是M1和M2的公共基.下面將處理γ≠0的情況.