帶擾動的隨機微分方程的貝葉斯估計及其漸近性

譚慧玲，呂 艷

(南京理工大學 理學院 江蘇 南京 210094)

0 引言

在概率空間(Ω,F,P)上，研究帶擾動的隨機微分方程

(1)

其中：θ∈Θ(Θ?R)為待估參數(shù)；0<ε≤1為擾動參數(shù)；Wt和Bt是相互獨立的標準布朗運動；初始值(x0,y0)∈R×R.隨機微分方程的參數(shù)狀態(tài)往往是未知的，因此對隨機系統(tǒng)中的參數(shù)估計也就成了實際應用中必須要解決的問題.目前，對于隨機微分方程的參數(shù)研究，大部分都是對離散參數(shù)的估計[1]，以及對參數(shù)的極大似然估計[2-3]，而對于隨機微分方程參數(shù)的貝葉斯估計的研究則不多.文獻[4]證明了由分數(shù)布朗運動驅動的一類簡單的線性隨機微分方程的貝葉斯估計量的漸近正態(tài)性.文獻[5]考慮了一類特定的一階隨機微分方程的貝葉斯估計問題，給出了當損失函數(shù)滿足一定條件時，其參數(shù)的貝葉斯估計量的公式.相對于上述幾種模型，本文考慮一類帶擾動參數(shù)的隨機微分方程的貝葉斯估計，并討論了小擾動參數(shù)ε對估計量的影響.

1 θ的貝葉斯估計量

(2)

(3)

令θ0為參數(shù)θ在Θ中的一個真值，則由式(3)、Pθ相對于Pθ0的Radon-Nikodym導數(shù)為

(4)

由方程(1)可知

(5)

將方程(5)代入到式(4)中，整理可得

(6)

?u∈Θ.

(7)

2 貝葉斯估計的漸近正態(tài)性

現(xiàn)在來討論估計量的性質，P和E表示概率和期望.考慮隨機過程ZT(u)=(dPθ0+u/λ(T))/(dPθ0)，其中

(8)

(9)

由引理1可知，當T→∞時，有

(10)

3 貝葉斯估計的漸近一致性

(11)

假設下列3個條件成立.

引理2假設條件a)～c)成立，則存在δ0>0，使得當ε→0時，有

證明由文獻[13]可直接得到.

證明由引理2可得

(12)

令K(τ)≡1，則

(13)

由式(12)、(13)和文獻[5]可得，當ε→0時，上述不等式右側趨于零，得證.