立足幾何直觀?促進數(shù)學(xué)課堂生命化

董秀英

摘 要：幾何直觀是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。生命化的數(shù)學(xué)課堂必須立足于幾何直觀，才能促進思維的提升，深刻感悟數(shù)學(xué)思想與方法，從而促進生命化的數(shù)學(xué)課堂充分體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性。

關(guān)鍵詞：幾何直觀 數(shù)學(xué)課堂 生命化 核心素養(yǎng)

“生命化課堂”顧名思義，就是把課堂還給學(xué)生，讓課堂煥發(fā)生命活力，充分體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確提出：幾何直觀是十個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。所謂幾何直觀主要是指利用圖形描述幾何或其他數(shù)學(xué)問題分析、探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，更好地促進學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解。這對于以形象思維為主的小學(xué)生來說顯得尤為重要。幾何直觀在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮著“幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)，化抽象為具體，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力”等重要作用，從而促進學(xué)生主動思考，自主探索，構(gòu)建生命化課堂。下面筆者將結(jié)合自身的教學(xué)實踐經(jīng)驗淺談如何使幾何直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中得以有效應(yīng)用，促進數(shù)學(xué)課堂生命化，從而實現(xiàn)對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。[1]

一、借幾何直觀明晰算理，助問題分析，促數(shù)學(xué)課堂生命化

幾何直觀是指利用圖形來描述和分析問題。借助幾何圖形能夠幫助學(xué)生更加直觀地理解算理，還能夠幫助學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、描述所要研究的問題，尋求解決問題的思路?！皥D形化”的過程就是將抽象的算法或繁雜的問題直觀化。所以，借助“形”的幾何直觀性可以更好地分析理解數(shù)與數(shù)之間或數(shù)量之間的關(guān)系。[2]

例如，教學(xué)人教版六年級上冊《分數(shù)乘分數(shù)》一課中的 × 的計算法則及算理教學(xué)。如圖一，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助一張長方形紙先在長方形紙中表示出一小時粉刷墻壁面的 ，然后讓學(xué)生通過觀察思考：怎樣表示出 小時粉刷墻壁面的幾分之幾？如圖二，學(xué)生通過動手畫圖，自主探索交流，直觀地理解了 × 的意義，就是把這張紙先平均分成5份，其中的1份即 ，再將涂出的 部分再平均分成4份，這樣一共平均分成20份，再涂出其中的1份就是這張長方形紙的 。學(xué)生借助幾何圖形的直觀性，在理解了 × 的實際意義的同時也很輕松、自主地掌握了分數(shù)乘分數(shù)的計算方法及算理，即將分母相乘的積作為分母，（也就是先把1平均分成5份，再把分得的每一份平均分成4份，這樣一共20份，就是分母），將分子乘分子的積作為分子，（即表示其中的一份）。筆者認為教學(xué)中教師可以充分利用幾何圖形直觀，幫助學(xué)生理解加減乘除法的意義、算理及方法。

又如，教學(xué)“公園里種了150棵柏樹，種的楊樹的棵樹比柏樹多54棵，種的柳樹的棵數(shù)比楊樹多23棵。公園里柳樹的棵數(shù)比柏樹的棵數(shù)多多少棵？”的問題解決，這里的數(shù)量關(guān)系相對于三年級的學(xué)生來說較為抽象及復(fù)雜，這個年齡段的孩子思維水平大多數(shù)只停留在理解“一個數(shù)比另一個數(shù)多（或少）幾，求一個數(shù)或求另一個數(shù)”的層面，而對于上面這道題數(shù)量關(guān)系的抽象性具體體現(xiàn)如下：首先題目中是三個數(shù)量（分別是柏樹、楊樹和柳樹）之間的相互比較（關(guān)系比較復(fù)雜），其次，題目中只給定三種樹的總棵數(shù)（數(shù)量不明確），再次，比較的標(biāo)準(zhǔn)量不同（第一個比較的標(biāo)準(zhǔn)量是柏樹的棵數(shù)，第二個比較的標(biāo)準(zhǔn)量是楊樹的棵數(shù)，導(dǎo)致學(xué)生的思維產(chǎn)生混亂），最后，提出的問題是求兩種樹的棵數(shù)的相差量。這道題單從字面上去理解題目的數(shù)量關(guān)系使問題得以解決，學(xué)生會感到抽象，難以理解題意。此時，教師可以借助畫線段圖來表示題目中的關(guān)鍵信息，如圖三，學(xué)生有了線段圖的直觀支撐，對題意的理解便一目了然，要求柳樹的棵數(shù)比柏樹的棵數(shù)多多少棵？從線段圖中一眼就能確定兩次的比較都要以柏樹的棵數(shù)為比較的標(biāo)準(zhǔn)量，求柳樹的棵數(shù)比柏樹的棵數(shù)多多少棵？也就是求楊樹的棵數(shù)比柏樹多的棵數(shù)與柳樹的棵數(shù)比楊樹多的棵數(shù)的和。教學(xué)中因為有了直觀的幾何圖作為形象支撐，學(xué)生的思維被充分的激發(fā)，在自主探索與合作交流中思維不斷完善，思考的主動意識不斷增強，問題解決的數(shù)學(xué)模型得以初步構(gòu)建，最后在獲得成功中體驗到問題解決的喜悅，從而讓數(shù)學(xué)課堂充滿生命活力。

二、借幾何直觀發(fā)現(xiàn)規(guī)律，助抽象推理，促數(shù)學(xué)課堂生命化

數(shù)學(xué)的規(guī)律時常需要通過借助幾何圖形直觀地支撐，經(jīng)過嚴謹?shù)赝评?，使學(xué)生迅速地發(fā)現(xiàn)其中隱含著的規(guī)律。教學(xué)中可以把幾何圖形與數(shù)量相結(jié)合幫助學(xué)生更形象直觀地發(fā)現(xiàn)規(guī)律，使復(fù)雜的問題簡單化，再利用規(guī)律解決復(fù)雜的問題，從而使學(xué)生的抽象推理能力得以進一步提升。[3]

例如，教學(xué)“數(shù)學(xué)思考”中的一道題。課一開始，教師出示問題：20個點能連成多少條線段？并讓學(xué)生獨立思考大膽猜測。經(jīng)過交流討論發(fā)現(xiàn)：要想研究20個點能連成多少條線段？可以先截取5個點通過學(xué)生自主探索，動手連一連，自主探究能連成幾條線段？（滲透化繁為簡及有序思考的數(shù)學(xué)思想方法）。學(xué)生經(jīng)歷獨立思考，自主動手：畫一畫、數(shù)一數(shù)、算一算，在與小組合作交流中發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律并板書：2點： 如圖一，1條（A與B連1條； 3點：如圖二，2+1=3條；（A要與另外兩點B、C連兩條，B要與C再連1條）；4點：如圖三，3+2+1=6條；（A要與自己除外的3點B、C、D連3條，B要與自己和A除外的兩點C、D連2條，C與D連1條）；5點：如圖四，4+3+2+1=10條；（A與自己除外的4個點B、C、D、E連4條，B與自己和A除外的3點C、D、E連3條，C與自己和A、B除外的D、E兩點連2條，D與自己和A、B、C除外的E連1條）。學(xué)生借助幾何圖形的形象直觀，經(jīng)歷有序思考，取數(shù)量少的一組點數(shù)為研究對象，從中發(fā)現(xiàn)隱藏在幾何圖形中的規(guī)律，從而實現(xiàn)化繁為簡的轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想方法的有效滲透。根據(jù)以上的規(guī)律，20個點連成線段的問題就可以從比總點數(shù)少1的數(shù)字19開始倒加到數(shù)字1，再求和。算式：19+18+17+……+3+2+1，最后，可以運用等差數(shù)列求和的方法求出結(jié)果。進而總結(jié)計算n個點連成的線段總條數(shù)通用模型：（n-1）+（n-2）+（n-3）+……+3+2+1 ，將幾何圖形與代數(shù)相結(jié)合有助于學(xué)生直觀形象地發(fā)現(xiàn)規(guī)律，化抽象為具體，使學(xué)生的抽象推理能力得以進一步提升。

再如，教學(xué) + + +……+ + =？ 教師可以引導(dǎo)學(xué)生從簡單的 + 入手，借助圖形 如圖（五），引導(dǎo)學(xué)生認真觀察發(fā)現(xiàn)： + 可以看成從正方形“1”中減去空白部分的 ，同理可得 + + 可以看成把剩下的 再平均分成兩份，這樣共分成8份，其中的一份是 ，如圖（六），因此， + + 可以看成從正方形“1”中減去 ，那么 + + + =？如圖（七），可以看成從正方形“1”中減去 ，以此類推， + + +……+ + =？可以看成從“1”中減去 ，結(jié)果就轉(zhuǎn)化為“1- ”。因此，這樣復(fù)雜的分數(shù)加法計算題，若離開幾何直觀圖形的支撐，是很難想象出只要用“1- ”就能很簡便地算出結(jié)果，再一次體現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化。

學(xué)生經(jīng)歷化繁為簡、化抽象為具體直觀的知識形成過程，歸納概括出規(guī)律，抽象推理能力得以提升，思維能力得以進一步拓展，數(shù)學(xué)模型思想初步形成，促進數(shù)學(xué)課堂煥發(fā)生命活力，學(xué)生的核心素養(yǎng)得以進一步提升。

三、借幾何直觀感悟極限，助模型構(gòu)建，促數(shù)學(xué)課堂生命化

所謂極限思想就是用聯(lián)系變化的觀點，無限逼近的方式來研究數(shù)量的變化趨勢的思想。極限思想的滲透需要通過無限觀念的建立和極限思想的感悟等兩個層面來實現(xiàn)，然而這兩層面的有效落實都與學(xué)生想象能力的培養(yǎng)密不可分。合理地想象必須借助幾何直觀地支撐，這樣才能建立學(xué)生的無限觀念，促使學(xué)生真正感悟到極限思想。

例如，教學(xué) + + + + + ……的計算結(jié)果時，若用常規(guī)的思維方法解決，是無法得出結(jié)果的，因此教學(xué)時只能另辟蹊徑，借助正方形的幾何直觀圖，將這些分數(shù)與幾何圖形建立聯(lián)結(jié)，通過想象，感悟極限思想，從而使問題得以解決。如圖一：假設(shè)大正方形的面積為1，一半就是 ，余下的一半就是 ，余下的余下的一半就是 ，……從圖中非常直觀地看出：隨著加數(shù)的不斷增加，空白部分的面積就逐漸變大，陰影部分的面積就不斷趨于零，空白部分的面積就會越來越接近正方形的面積，通過讓學(xué)生無限地想象，其結(jié)果就會無限地逼近1。這樣無限多項的數(shù)相加，其結(jié)果就會變?yōu)?。

再如，教學(xué)“圓的面積”一課，教師可以組織引導(dǎo)學(xué)生將圓切割等分成若干（偶數(shù)）個扇形，分得越多就越接近等腰三角形，直到拼成的圖形近似于長方形，學(xué)生可以通過觀察所拼成的近似長方形的幾何圖形，通過無限想象，把圓等分成8份、16份、32份、64份……，一直不斷地這樣分下去，分成的份數(shù)越多，拼成的幾何圖形就越趨于長方形。如圖二：這樣學(xué)生自主探究關(guān)于圓的面積計算公式的推導(dǎo)就水到渠成，以上的教學(xué)方法主要是借助幾何直觀圖——近似的長方形，引導(dǎo)學(xué)生采用“變曲為直”、“化圓為方”的轉(zhuǎn)化法，讓學(xué)生經(jīng)歷從無限到極限的過程，感悟極限思想，進一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，從而促使數(shù)學(xué)課堂煥發(fā)生命活力

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一節(jié)成功的數(shù)學(xué)課的衡量標(biāo)準(zhǔn)要看學(xué)生通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)是否能夠用數(shù)學(xué)觀點、數(shù)學(xué)思維方式和數(shù)學(xué)方法來觀察、猜想、實驗、驗證、歸納、推理、分析及解決問題等，這些都是小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的具體體現(xiàn)。借助幾何直觀，幫助學(xué)生理解題意，分析問題，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進行抽象推理，提升思維能力，從而深刻感悟數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生主動經(jīng)歷知識的形成過程，促進數(shù)學(xué)課堂跳躍出如同生命般，充滿生機的思維火花，進而促使學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到培養(yǎng)。

參考文獻

[1]林碧珍.數(shù)學(xué)思維養(yǎng)成課——小學(xué)數(shù)學(xué)這樣教（福建教育出版社）.

[2]邱月華.基礎(chǔ)教育研究：巧用幾何直觀促進有效建模.（福建基礎(chǔ)教育研究.2018.3）

[3]朱偉森.讓“問題解決”真正發(fā)生.小學(xué)數(shù)學(xué)教育2017.4.