“數(shù)形結(jié)合”思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

摘要：“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)研究中的兩大對(duì)象，二者相互依存，數(shù)形結(jié)合的思想方法即是指將數(shù)的精確與圖形的直觀兩個(gè)特點(diǎn)巧妙結(jié)合，有效地提高解決問題的效率。本文以數(shù)形結(jié)合思想中的兩個(gè)分支為例，對(duì)其應(yīng)用策略做簡(jiǎn)要分析。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;應(yīng)用策略

現(xiàn)階段，數(shù)形結(jié)合已經(jīng)成為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的一種思想方法，通過尋找數(shù)與形之間的聯(lián)系，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)具象思維到抽象邏輯思維的過渡，以具有直觀感的圖形，幫助學(xué)生理解抽象化的數(shù)字以及數(shù)量關(guān)系，以代數(shù)形式解決復(fù)雜的幾何問題，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的全面理解和有效利用。

一、 以形助數(shù)

（一） 借助線段，理解數(shù)學(xué)問題

數(shù)形結(jié)合思想的最大特點(diǎn)就是將抽象問題具象化、簡(jiǎn)單化，通過借助圖形的方式將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得更加直觀、易懂，學(xué)生還能夠從中獲得趣味性的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，在自主探究中把握數(shù)學(xué)概念本質(zhì)。以線段圖為例，線段圖作為能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)量關(guān)系變得直觀化的工具，它全面地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)線段圖并學(xué)會(huì)畫線段圖，進(jìn)而將復(fù)雜的問題變得更加直觀和清晰。例如，在植樹問題中，“學(xué)生在全場(chǎng)100m的馬路上植樹，每隔5m種一棵樹，兩端都要栽種的話，一共要栽種多少棵樹？”題中的重點(diǎn)顯然是“兩端都要栽種”，因此栽種的棵數(shù)比間隔數(shù)要多1，即：棵樹=間隔數(shù)+1;間隔數(shù)=棵樹-1;全場(chǎng)÷間距=間隔數(shù);全長÷間隔數(shù)=間距;間隔數(shù)×間距=全長;（棵樹-1）×間距=全長。應(yīng)用題的解題過程必須要建立在具備一定的數(shù)學(xué)邏輯和知識(shí)基礎(chǔ)上，并且隨著年級(jí)的不斷升高，應(yīng)用題的難度也越來越大，只有將題目中的繁多的文字以及條件、隱藏條件和數(shù)量關(guān)系等因素用線段圖的方式來表示，問題的解決思路就會(huì)變得更加清晰。教師要著重引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)借助線段圖的方式來解決問題，建立起實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，以“植樹問題”為例，學(xué)生通過觀察兩端都栽上樹的線段圖，將線段中的分割點(diǎn)和所栽樹的數(shù)量一一對(duì)應(yīng)，學(xué)生才能夠進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，由于是兩端都栽，所以栽的棵數(shù)比間隔數(shù)多1。學(xué)生從審視問題到分析問題再到解決問題的過程中，感受數(shù)圖結(jié)合在解決問題中的高效率。

（二） 利用面積模型，掌握算理

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，計(jì)算類的知識(shí)占的比重并不小，它是根據(jù)小學(xué)生的成長和發(fā)展規(guī)律以及學(xué)習(xí)特點(diǎn)所設(shè)置的。計(jì)算類知識(shí)的關(guān)鍵在于學(xué)生是否能夠理解算理，只有充分理解算理，才能更好地掌握計(jì)算技巧，并且在面對(duì)問題時(shí)，有著清晰的計(jì)算思路。在教學(xué)中，教師可以利用數(shù)形結(jié)合的思想，將計(jì)算問題中的數(shù)字信息借助圖形通俗易懂地清晰展示出來，使學(xué)生在理解算理的同時(shí)，也能夠掌握解決問題的正確思路和方法。例如，在“真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)”的相關(guān)教學(xué)中，這一部分的學(xué)習(xí)是學(xué)生在了解分?jǐn)?shù)的性質(zhì)以及分?jǐn)?shù)除法的基礎(chǔ)上所進(jìn)行的分?jǐn)?shù)深入學(xué)習(xí)，在于幫助學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)形成較為全面、準(zhǔn)確的理解。由于概念教學(xué)的抽象性，學(xué)生在吸收和掌握上存在一定障礙，教師可以在教學(xué)中讓學(xué)生重點(diǎn)關(guān)注直觀圖形和直線上表示的點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而直觀地發(fā)現(xiàn)真分?jǐn)?shù)小于1，假分?jǐn)?shù)大于1的特征;教師還可以讓學(xué)生進(jìn)行分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)敘述，緊接著，對(duì)單位為1的圓，進(jìn)行涂畫，將幾個(gè)圓分為幾部分，隨機(jī)標(biāo)出陰影和空白，讓學(xué)生寫出陰影部分所表示的分?jǐn)?shù)，這就是“將一個(gè)圓看作單位1”的分?jǐn)?shù)練習(xí)。學(xué)生通過觀察、思考，得出分子與分母的大小關(guān)系，從而真正理解分?jǐn)?shù)的概念，并能夠?qū)﹄S機(jī)給出的分?jǐn)?shù)進(jìn)行判斷。

二、 以數(shù)解形

（一） 活用公式，把握?qǐng)D形結(jié)構(gòu)

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)幾何學(xué)習(xí)，如長方形、正方形、三角形、平行四邊形等都是相對(duì)基礎(chǔ)性的，學(xué)生對(duì)于圖形的理解也主要是建立在實(shí)物和圖像上，是具象思維的體現(xiàn)。而在“組合圖形的面積”中的教學(xué)內(nèi)容是對(duì)學(xué)生之前所學(xué)幾何知識(shí)的總結(jié)、歸納，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)基本圖形建立聯(lián)系，形成系統(tǒng)化的知識(shí)體系。例如，在學(xué)生學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形和梯形的面積公式后，還需要對(duì)三者進(jìn)行聯(lián)系，掌握三者之間存在的連接點(diǎn)。教師可以引導(dǎo)學(xué)生用割補(bǔ)法將梯形學(xué)具進(jìn)行拼接，感知由梯形到平行四邊形的轉(zhuǎn)化過程，并思考當(dāng)梯形的上底和下底怎樣變化，才能夠產(chǎn)生平行四邊形;怎樣移動(dòng)，才能夠產(chǎn)生三角形，在不斷地拼接中，使學(xué)生腦中的知識(shí)變得可操作，從而有效理解三種圖形間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

（二） 勤于計(jì)算，探索形的大小

“形”具有直觀、具象化的優(yōu)勢(shì)，但也存在著不利于表達(dá)的劣勢(shì)。而在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生將精確的數(shù)字與直觀圖形進(jìn)行結(jié)合，才能在“數(shù)形結(jié)合”的過程中，準(zhǔn)確地把握“形”的內(nèi)涵。例如，在“多邊形面積”的教學(xué)中，有一道課后練習(xí)題：有位于同一平行線中的長方形、平行四邊形、梯形和三角形，設(shè)法求出它們的面積。教師首先要讓學(xué)生先回憶四種圖形的面積公式，再用實(shí)際測(cè)量的方法，測(cè)量長方形的長和寬，以及平行四邊形、梯形和三角形的底，由于三者存在于同一平行線內(nèi)，高只需測(cè)量一次即可，根據(jù)測(cè)量的數(shù)據(jù)得出長方形的面積為1.8×3=5.4;平行四邊形的面積為1.8×3=5.4;梯形面積為（1.2+2.4）×3÷2=5.4;三角形面積為3.6×3÷2=5.4。學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，在高相等的情況下，四個(gè)圖形的面積也都相等，三角形的底是平行四邊形底的2倍，也就能夠準(zhǔn)確地解釋在同一平行線內(nèi)，二者面積相等的原因。

三、 數(shù)形互助

所謂“數(shù)形互助”，即是在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)共同運(yùn)用“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”的數(shù)學(xué)思想，其關(guān)鍵在于要從已知結(jié)論同時(shí)出發(fā)，找出問題中存在的“形”“數(shù)”關(guān)系，從而高效率地解決問題。

（一） 挖掘“數(shù)”與“形”之間的內(nèi)在聯(lián)系

“數(shù)形互助”的典型例題，就是“雞兔同籠”的問題，并且該問題的解決思路在學(xué)生的腦中往往總是不清晰的狀態(tài)。教師只有幫助學(xué)生掌握正確的思路和解題技巧，才能真正地理解該問題的內(nèi)涵。例如，小明家利用家中的空地養(yǎng)了一些兔子和雞，它們一共有35個(gè)頭，94只腳，問雞和兔分別有多少只？教師可以引導(dǎo)學(xué)生將雞和兔抽象出來，通過簡(jiǎn)單的畫圖來進(jìn)行問題分析，在一張紙上用○代表雞和兔的頭，畫出35個(gè)○，接下來采用啟發(fā)誘導(dǎo)的方式，讓學(xué)生換一個(gè)角度進(jìn)行思考，假設(shè)籠子里全部都是雞，就會(huì)有35×2=70只腳，但如果按照問題中所給的條件進(jìn)行假設(shè)就會(huì)多出24只腳，而根據(jù)這24腳也就能夠推斷出兔子的數(shù)量，接下來只需要將這24只腳按兩只腳的形式添加在剛剛假設(shè)的雞身上，就可以變?yōu)?條腿的兔子，也就是24÷（4-2）=12只，所以雞一共有35-12=23只。從該題可以看出，每一個(gè)解題步驟的進(jìn)行都是將題中條件轉(zhuǎn)換到圖中去的過程，將“數(shù)形互助”思想貫穿始終，使學(xué)生在具象思維上所建立起的抽象邏輯思維也得到了發(fā)展。

（二） 善于作圖，以形助數(shù)

教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要經(jīng)常性地引導(dǎo)學(xué)生打破思維定勢(shì)，嘗試多種方法結(jié)合來解決具體問題。在“數(shù)形互助”思想方法中，最能夠體現(xiàn)該思想的應(yīng)是學(xué)生在學(xué)習(xí)過條形統(tǒng)計(jì)圖之后的折線統(tǒng)計(jì)圖，從數(shù)據(jù)的大小以及圖中的折線高低來感受數(shù)據(jù)的變化，其特點(diǎn)也正是數(shù)據(jù)與增減變化能在同一張圖上同時(shí)展現(xiàn)出來，教師要引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)該圖的特點(diǎn)，從而感知由數(shù)到形再到數(shù)的分析過程，認(rèn)識(shí)到數(shù)形結(jié)合思想在解決問題中的妙用，在分析和思考中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析意識(shí)。

數(shù)學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的學(xué)科，數(shù)形結(jié)合思想基于“生活化數(shù)學(xué)”的教學(xué)理念提出，為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法提供了捷徑，在獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)的同時(shí)，提高邏輯思維能力。

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作者簡(jiǎn)介：

張承志，浙江省寧波市，浙江省寧波市北侖區(qū)淮河小學(xué)。