博弈論—囚徒困境模型淺析

(黃山學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 安徽 黃山 245041)

一、囚徒困境模型

警方逮捕兩名嫌疑犯A、B，可以用某電影中的黎叔與小葉代替，警察沒有證據(jù)指控二人。他們每一個人都被單獨囚禁，并單獨進行審訊，即雙方無法互通信息。警方向這兩名嫌疑犯交代量刑原則：坦白從寬，抗拒從嚴。具體如下：

1、如果兩人都坦白，則每人各判刑5年；

2、如果一方坦白，一方不坦白，則坦白的一方將被釋放，不坦白的將被判10年；

3、如果兩人都不坦白，警方由于證據(jù)不足，只能對二人短期關(guān)押，各判1年。

如下圖的支付矩陣：

囚徒A(黎叔)囚徒B(小葉)坦白抵賴坦白(-5,-5)(0,-10)抵賴(-10,0)(-1,-1)

這兩個囚犯的博弈過程如下：先考慮黎叔的選擇。黎叔要決定自己的選擇，他必須要先考慮小葉的選擇，即黎叔是在考慮了小葉的選擇的前提下來決定自己的選擇。那么，黎叔一定是這樣考慮的：

如果小葉選擇坦白，我如果也選擇坦白，被判5年，如果我選擇抵賴，被判10年。于是我選擇坦白。(因為5<10)

如果小葉選擇抵賴，我如果選擇坦白，立馬釋放，如果我選擇抵賴，被判1年。于是我選擇坦白。(因為0<1)

得出結(jié)論：無論小葉選擇坦白還是抵賴，我都選擇坦白。

同理，在分析小葉的選擇時，我們也會得到類似結(jié)論。但當(dāng)我們仔細分析，不難發(fā)現(xiàn)，如果兩個人都選擇抵賴(即合作),則可以獲得最好的結(jié)局(即只判1年)。但是由于他們之間不能互通信息，所以每一方都擔(dān)心由于對方坦白而自己抵賴時自己所遭受到的重判(即對方釋放，自己抵賴被判10年)。在這種情況下，每個人都會從自己的利益考慮，最后的選擇都是坦白。

這就是博弈論中的重要的數(shù)學(xué)模型——完全信息靜態(tài)博弈模型。

二、完全信息靜態(tài)博弈

完全信息靜態(tài)博弈是指各博弈方同時決策，且所有博弈方對各方得益都了解的博弈。屬于非合作博弈最基本的類型。基于以上考慮，黎叔和小葉都會選擇坦白，達到一個穩(wěn)定解，但是這個解卻不是整體的最優(yōu)解。

通過對囚徒困境的分析，我們得出這樣一個結(jié)論：無論小葉選擇坦白還是抵賴，黎叔都會選擇坦白。于是，我們說坦白策略是他的占優(yōu)策略，類似的分析對于小葉也是適用的，所以坦白策略也是小葉的占優(yōu)策略。

因此，我們給出占優(yōu)策略的定義：無論其他參與者采取什么策略，某參與者的唯一的最優(yōu)策略就是他的占優(yōu)策略。在我們的分析例子中，(坦白，坦白)這一對策略組合下的博弈狀態(tài)，就是一種均衡狀態(tài)。一般地說，由博弈中的參與者的占優(yōu)策略組合構(gòu)成的均衡就是占優(yōu)策略納什均衡。

我們可以在支付矩陣中用劃橫線的方法來尋找占優(yōu)策略納什均衡。具體做法如下：當(dāng)小葉選擇坦白時，黎叔會選擇坦白，則在報酬-5下劃一橫線，當(dāng)小葉選擇抵賴時，黎叔仍會選擇坦白，則在報酬0下劃一橫線。小葉選法同理。最后，矩陣圖中的唯一兩個數(shù)字都被劃上橫線的那一格報酬組合(-5，-5)所對應(yīng)的(坦白，坦白)的策略組合就是該博弈的占優(yōu)策略納什均衡。

三、公共資源流失

黎叔和小葉都是理性人作出的選擇都是理性對自己收益最大的，最終整體的的結(jié)果卻沒有達到最優(yōu)，這個問題值得我們?nèi)ニ伎肌?/p>

自私自利的人類可能因為自己的聰明而降低包括自身在內(nèi)的所有人的福利水平，個人的理性導(dǎo)致集體的非理性，非合作的自利行為導(dǎo)致兩敗俱傷。

以生活中實例對這一現(xiàn)象加以說明和理解：

1、父母為什么熱衷于給孩子報暑期班，暑期班廣告鋪天蓋地，只此一句不要讓孩子輸在起跑線上，就讓家長對商家的套路毫無抵抗，這里就蘊含了囚徒困境原理，輔導(dǎo)班廣告正是通過囚徒困境將家長捆綁在一起。

2、每年暑期高考之后各大名校爭搶狀元，納什均衡最大悲劇就在于北大和清華都意識到搶狀元毫無意義，即使他們都認同不搶狀元才是最好的結(jié)果但是這樣的結(jié)果卻達不到，因為雙方不得不采取對自己最有利的策略：搶狀元。

類似生活中的現(xiàn)象比比皆是：上網(wǎng)購物、夫妻吵架、各大商家企業(yè)價格戰(zhàn)、軍備競賽等。

四、如何走出囚徒困境？

(一)增加背叛成本—信任

若在囚徒困境模型中，增加雙方選擇坦白策略的成本：各判5年增加到各判15年，當(dāng)庭釋放增加到判5年，則支付矩陣如下：

黎叔小葉坦白抵賴坦白(-15,-15)(-5,-10)抵賴(-10,-5)(-1,-1)

如果小葉選擇坦白，黎叔如果也選擇坦白，被判15年，如果選擇抵賴，被判10年。于是黎叔選擇抵賴。(因為10<15)

如果小葉選擇抵賴，黎叔如果選擇坦白，被判5年，如果選擇抵賴，被判1年。于是黎叔選擇抵賴。(因為1<5)

得出結(jié)論：無論小葉選擇坦白還是抵賴，黎叔都選擇抵賴。

同理，小葉也會得到相同的結(jié)論，這樣小葉和黎叔的最終選擇都變成了抵賴策略，達到了整體最優(yōu)，避免了公地悲劇的發(fā)生。

(二)雙方達成協(xié)議—合作

若雙方可以相互溝通達成協(xié)議，直接選擇最優(yōu)策略，那么也會達到共贏。