數(shù)學(xué)解題運(yùn)算中低效算法與優(yōu)化算法的對(duì)比分析

李 碩 李 剛 馬園媛 王 力?

（1.昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系 新疆 昌吉 831100；2.昌吉州第一中學(xué) 新疆 昌吉 831100）

引言

核心素養(yǎng)是個(gè)人終身發(fā)展、融入主流社會(huì)和充分就業(yè)所必需的素養(yǎng)的集合。核心素養(yǎng)聚焦的是“全面發(fā)展的人”，而學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)是指“學(xué)生應(yīng)具備的、能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力”。［1］運(yùn)算能力作為數(shù)學(xué)最重要的核心素養(yǎng)之一，是學(xué)生發(fā)展所必須具備的關(guān)鍵能力。運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力，培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題。［2］

《中學(xué)數(shù)學(xué)解題研究》課程作為高校數(shù)學(xué)系師范生學(xué)習(xí)的一門必修課，對(duì)培養(yǎng)師范生的教學(xué)能力有很大的幫助和顯著的效果?！吨袑W(xué)數(shù)學(xué)解題研究》不同于中學(xué)數(shù)學(xué)系統(tǒng)復(fù)習(xí)，更不是例題、習(xí)題的堆積。而是中學(xué)數(shù)學(xué)主要知識(shí)點(diǎn)的深化，整個(gè)課程把運(yùn)用數(shù)學(xué)邏輯方法和研究解答數(shù)學(xué)問題的策略、方法作為核心內(nèi)容。［3］一名優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師應(yīng)該有扎實(shí)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，敏捷而合理的數(shù)學(xué)思維素質(zhì)以及良好的數(shù)學(xué)解題能力，包括對(duì)解題過程的自我反思能力和流暢的數(shù)學(xué)表達(dá)與交流的能力，由此可見，解題的意識(shí)、能力和修養(yǎng)是數(shù)學(xué)教師專業(yè)素養(yǎng)的重要組成部分。［4］

訓(xùn)練有素的運(yùn)算能力使得解題速度更快，準(zhǔn)確率更高。毫無章法、盲目隨意的運(yùn)算方式，往往導(dǎo)致錯(cuò)誤百出，事倍功半。優(yōu)秀運(yùn)算能力的形成，不是一朝一夕，一蹴而就的，需要用科學(xué)的方法加以引導(dǎo)，要明確每種運(yùn)算的算理，養(yǎng)成“有章有法”的運(yùn)算習(xí)慣，以達(dá)到提高運(yùn)算能力的目的。

1 從整體到部分，優(yōu)化解題

低效算法：先算分式的乘方，所有分子分母分別兩兩同時(shí)約分，再按從左往右把分子分母分別乘到一起。

此案例是昌吉州某中學(xué)期末考試試題，我們?cè)诳己蟮摹秾W(xué)習(xí)導(dǎo)報(bào)》做了如下的點(diǎn)評(píng)：

大部分學(xué)生先算乘方后直接約分，然后再分子分母分別乘到一起。由于有多次累加約分，加之有些學(xué)生字跡不清，因此失誤率很高；

有很多學(xué)生第二個(gè)因式乘方后丟掉了“－”號(hào)，有的即使有“－”號(hào)，也不打括號(hào)；

出錯(cuò)的學(xué)生有三分之一是最后結(jié)果丟掉了“－”號(hào)。

比較討論：在分子分母是單項(xiàng)式的分式乘除運(yùn)算時(shí)，先整體乘得一個(gè)分式再進(jìn)行約分。對(duì)于分式中分子分母是單項(xiàng)式的課堂教學(xué)中我們提倡的優(yōu)化解法，即先從整體上將所有分式分子分母分別相乘，使積的分子分母變?yōu)閱雾?xiàng)式，此時(shí)同底數(shù)冪的相除關(guān)系則很顯然，然后在從部分著手，對(duì)每一個(gè)字母進(jìn)行約分，準(zhǔn)確率便會(huì)高很多。在進(jìn)行兩個(gè)班的統(tǒng)計(jì)中，采用優(yōu)化算法“先乘再約”的有65人，其中正確41人，正確率約為63%；采用低效算法“先約再乘”的有22人，其中正確13人，正確率約為59%。

分式是代數(shù)式的延伸，與整式、分?jǐn)?shù)、函數(shù)、方程和不等式都有密切的聯(lián)系。在分子分母都是單項(xiàng)式這一類型的問題中，師范生學(xué)習(xí)時(shí)不但要自己能夠快速準(zhǔn)確地進(jìn)行化簡計(jì)算，而且要明確在以后的教學(xué)過程中要讓所教學(xué)生注重使用優(yōu)化算法的解題策略，達(dá)到事半功倍的效果。

2 靈活運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)，優(yōu)化解題

案例2.計(jì)算(3x3y2z-1)-2(5xy-2z3)2

對(duì)于整數(shù)指數(shù)冪的乘除運(yùn)算，我們遵循冪的運(yùn)算性質(zhì)最后將其化成分式。讓我們回歸教材，通過教材分析，仔細(xì)研究課本上有關(guān)知識(shí)體系安排。本章節(jié)內(nèi)容以正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)為開始，然后通過演繹推理得出0指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的概念，隨后思考“引入負(fù)整數(shù)指數(shù)和0指數(shù)后，am?an=am+n（m，n是正整數(shù)）這條性質(zhì)能否推廣到m，n是任意整數(shù)的情形？”經(jīng)過歸納推理得出結(jié)論：“隨著指數(shù)的取值范圍由正整數(shù)推廣到全體整數(shù)，前面提到的運(yùn)算性質(zhì)也推廣到整數(shù)指數(shù)冪”。接著給出四道例題，都是先按照冪的運(yùn)算性質(zhì)，最后再用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)化為分式，并以歸納整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（也可以看成公式）作為結(jié)尾。

比較討論：可以看出，如果按照常規(guī)方法將整數(shù)指數(shù)冪化為分式，繼而將其化簡，最終通過計(jì)算得出結(jié)果。這樣的計(jì)算沒有問題，但是通過學(xué)生對(duì)冪的運(yùn)算性質(zhì)的深入理解與靈活運(yùn)用，就可以將有負(fù)整數(shù)指數(shù)冪參與的“冪的運(yùn)算”作為重點(diǎn)，冪的運(yùn)算性質(zhì)是整個(gè)運(yùn)算過程的基本框架。理解到這個(gè)深意，我們就會(huì)自覺遵循這里的“優(yōu)化解法”，能夠很好避免運(yùn)算的盲目性。

冪的運(yùn)算性質(zhì)是中學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是聯(lián)系初高中學(xué)習(xí)的紐帶，在高校的學(xué)習(xí)中也尤為重要。在解決解題訓(xùn)練時(shí)，師范生要注重認(rèn)真審題，不盲目照搬運(yùn)算法則，而是靈活解題，并在以后的教學(xué)中要注重落實(shí)靈活運(yùn)用解題方法，優(yōu)化運(yùn)算的解題策略。其實(shí)解題主要是培養(yǎng)思維能力，而不是套用現(xiàn)成的結(jié)論，所以知識(shí)并不需要非常之多，重要在于靈活運(yùn)用。［5］

3 化繁為簡，優(yōu)化解題

此案例題是昌吉州某中學(xué)初中數(shù)學(xué)期中考試題，我們通過兩個(gè)班統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，采用低效算法的有49人，其中正確35人，正確率為71%；采用優(yōu)化算法的有48人，其中正確39人，正確率為81%。

比較討論：低效算法是“先分別化簡再乘除”，整個(gè)運(yùn)算過程既繁瑣又冗長，式子變換頻繁，很容易出錯(cuò)。優(yōu)化解法是“先乘除最后再開方”，把各二次根式中的被開方數(shù)集中統(tǒng)一處理，減少了運(yùn)算變換次數(shù)，節(jié)約了運(yùn)算時(shí)間，避免了可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤。對(duì)于含有二次根式乘除形式的混合運(yùn)算，師范生在解題中要注意采用先乘除后開方化簡的方法，并在以后的教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生重視化繁為簡，優(yōu)化解題的策略來進(jìn)行學(xué)習(xí)和解題。

4 挖掘教材例題，優(yōu)化解題

不論是老師的課前備課，還是學(xué)生課上的自主探究，除了關(guān)注課本上的知識(shí)內(nèi)容外，還應(yīng)該深挖例題解題過程的細(xì)節(jié)。在教學(xué)中，我們常常按照例題學(xué)習(xí)的“四步曲”，即“例題上面怎樣解？——為什么這樣解？——還可以怎樣解？——我們?cè)鯓咏?？”，指?dǎo)學(xué)生歸納提煉、明確算法。在課堂上不僅要注意聽講，仔細(xì)觀摩優(yōu)化示范，后續(xù)練習(xí)時(shí)更要自覺落實(shí)糾錯(cuò)，改變自己“不管方法只要算對(duì)就行”的粗放意識(shí)。

5 結(jié)語

師范生的培養(yǎng)目標(biāo)是服務(wù)于中小學(xué)教育教學(xué)，一名合格的師范生不但要自己能夠有較強(qiáng)的運(yùn)算能力，還需要注重培養(yǎng)所教學(xué)生的運(yùn)算能力。2017版高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析，其中“運(yùn)算能力”是學(xué)生所有數(shù)學(xué)素養(yǎng)形成的基礎(chǔ)。我國的數(shù)學(xué)教學(xué)具有重視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能訓(xùn)練和能力培養(yǎng)的傳統(tǒng)，新世紀(jì)的高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)發(fā)揚(yáng)這種傳統(tǒng)［6］。運(yùn)算能力不是一朝一夕可以培養(yǎng)起來的，需要在日常的教學(xué)中不斷加以分析和引導(dǎo)。師范生自己也要學(xué)會(huì)深挖教材中的算法內(nèi)涵，并在未來的教學(xué)中注重教會(huì)學(xué)生從整體觀察到部分運(yùn)算，并能夠靈活運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)，化繁為簡的解題策略，以達(dá)到優(yōu)化解題的目的。