靜電場(chǎng)求解方法的探討

（昌吉學(xué)院物理系 新疆 昌吉 831100）

1 靜電場(chǎng)的概念及規(guī)律

1.1 靜電場(chǎng)的概念

靜電場(chǎng)，通常是由靜止電荷所激發(fā)的一種場(chǎng)。它存在于電荷周圍，是一種看不見(jiàn)摸不著的特殊形態(tài)的物質(zhì)，其基本特征是對(duì)放入其中的電荷有作用力。［1］兩個(gè)靜止點(diǎn)電荷之間的相互作用就是通過(guò)靜電場(chǎng)來(lái)傳遞的，其中，它們之間的相互作用力F?的大小與它們各自所帶的電荷量q1和q2的乘積成正比，與它們之間的距離r的平方成反比；同時(shí)，作用力的方向沿著兩點(diǎn)電荷之間的連線，同號(hào)電荷相互排斥，異號(hào)電荷相互吸引，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

1.2 電場(chǎng)強(qiáng)度

（2）點(diǎn)電荷系的場(chǎng)強(qiáng)：

（3）電荷連續(xù)分布的帶電體的場(chǎng)強(qiáng)：

其中，不同形狀帶電體的電荷元dq可以有不同的表示形式，如：線電荷密度表示為λdl，面電荷密度表示為σds，體電荷密度表示為=ρdV。

1.3 電場(chǎng)強(qiáng)度通量

在電場(chǎng)中穿過(guò)任一曲面S的電場(chǎng)線條數(shù)稱為穿過(guò)該面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

1.4 靜電場(chǎng)的基本定理

（2）靜電場(chǎng)的環(huán)路定理：在靜電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度沿任一閉合路徑的線積分恒為零，靜電場(chǎng)的環(huán)路定理表明靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

2 靜電場(chǎng)的求解方法

2.1 疊加法求靜電場(chǎng)

例題：已知一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，其四個(gè)頂點(diǎn)上放置點(diǎn)電荷，電荷量分別為q（q＞0），2q，-3q和2q（如圖1所示），求該正方形中心O點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。

解析：因正方形四個(gè)頂點(diǎn)上分別有四個(gè)點(diǎn)電荷，利用點(diǎn)電荷在空間激發(fā)電場(chǎng)的公式（1-2），可求出各個(gè)點(diǎn)電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小分別是：

圖1 點(diǎn)電荷的分布圖

2.2 高斯定理求靜電場(chǎng)

高斯定理是靜電學(xué)中的一個(gè)非常重要的定理，主要用于求解電荷分布具有對(duì)稱性的場(chǎng)強(qiáng)，由公式（1-6）可知，具有高度對(duì)稱性的帶電體，可在周圍空間激發(fā)具有高對(duì)稱性分布的電場(chǎng)。［3-4］以下介紹三種典型的帶電體：

（1）帶電體具有球?qū)ΨQ性：如點(diǎn)電荷、電荷均勻分布的球面或球體，等；

（2）帶電體具有軸對(duì)稱性：如電荷均勻分布的無(wú)限長(zhǎng)直線、無(wú)限長(zhǎng)圓柱體或圓柱面，或者是無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電的同軸圓柱面；

（3）帶電體具有面對(duì)稱性：如電荷均勻分布的無(wú)限大平面或平板。

依據(jù)高斯定理的文字表述和計(jì)算公式（1-6），計(jì)算電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)時(shí)，首先根據(jù)帶電體上電荷分布的對(duì)稱性，分析出由其激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)分布的對(duì)稱性，依據(jù)場(chǎng)強(qiáng)的分布選取合適的閉合曲面作為高斯面，其中，選取的高斯面上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等，方向與其面元的法線方向相同，這樣便于場(chǎng)強(qiáng)E?與面元dS?的點(diǎn)積運(yùn)算。最后，利用高斯定理中的面積分求出場(chǎng)強(qiáng)的分布。下面是具體例題應(yīng)用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)：

例題：如圖2所示，一半徑為R的帶電球體，其電荷體密度分布為ρ=Ar (r≤ R)，ρ=0 (r＞ R)，A為大于零的常量。試求球體內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)分布及其方向。

圖2 半徑為R的帶電球體

解析：（1）當(dāng)r＜ R時(shí)，在球內(nèi)取半徑為r、厚為dr的薄球殼，該殼內(nèi)所包含的電荷為 dq=ρdV=Ar?4πr2dr=4πAr3dr

得到E1=Ar2/(4ε0)，方向沿徑向向外；

（2）當(dāng)r＞R時(shí)，在球體外作一半徑為r的同心高斯球面，按高斯定理有

得到 E2=AR4/(4ε0r2)，方向沿徑向向外。

2.3 分離變量法求靜電場(chǎng)

分離變量法是求解偏微分方程定解問(wèn)題的基本方法。在解線性偏微分方程的混合問(wèn)題或邊值問(wèn)題時(shí)，先求滿足邊界條件的變量分離的特解，再利用疊加原理，做這些特解的線性組合，得到定解問(wèn)題的解，這就是分離變量法。

通常情況下，靜電場(chǎng)的電勢(shì)所滿足的微分方程為：

是一個(gè)泊松方程，當(dāng)所處空間為自由空間，及無(wú)自由電荷時(shí)，靜電場(chǎng)的電勢(shì)所滿足的微分方程為：

該方程為拉普拉斯方程，借助一定的邊界條件，該方程可利用最有效的方法——分離變量法進(jìn)行求解。在此，利用分離變量法求解靜電勢(shì)舉例如下：

例題：將半徑為R0的接地導(dǎo)體球置于一勻強(qiáng)電場(chǎng)E?中，如圖3所示，求空間電勢(shì)？

圖3 半徑為R0的導(dǎo)體球置于一個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)

解析：由題意可知，該問(wèn)題應(yīng)選擇球坐標(biāo)系，而且空間中電場(chǎng)分布具有軸對(duì)稱型，于是具體的求解過(guò)程如下：

∵在自由空間，靜電場(chǎng)滿足的方程為：

利用分離變量法，可知，上方程的通解為：

利用邊值關(guān)系可知：

最后，確定常數(shù)：

∴該問(wèn)題的解為：

由以上例題可知，分離變量法適用于具有對(duì)稱性較好的實(shí)際問(wèn)題，具體的解題過(guò)程可分為以下三步：第一步根據(jù)題意確定坐標(biāo)系（如球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系）；第二步依據(jù)所選的坐標(biāo)系，待求的偏微分方程的解通?？杀硎緸槿齻€(gè)獨(dú)立變量函數(shù)的乘積，及其中的每一個(gè)函數(shù)僅是一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)，這樣，通過(guò)分離變量法就將偏微分方程轉(zhuǎn)化為三個(gè)常微分方程。第三步分別求解出三個(gè)常微分方程的通解，同時(shí)，依據(jù)邊界條件確定具體的系數(shù)，從而最終得到方程的有效解。這類問(wèn)題隨具體情況的不同需要選擇不同的坐標(biāo)系，因此，解題關(guān)鍵在于選取合適的坐標(biāo)系。

2.4 格林函數(shù)法求靜電場(chǎng)

格林函數(shù)法是一種通過(guò)借助格林公式，將靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解相應(yīng)的格林函數(shù)的問(wèn)題，具體方法就是將非齊次邊界條件下泊松方程的求解問(wèn)題，簡(jiǎn)化為齊次邊界條件下的拉普拉斯方程的求解問(wèn)題（第二類格林函數(shù)除外）。

上面提到的點(diǎn)電荷是電荷分布的一種極限情況，它可以看作一個(gè)體積很小而電荷密度很大的帶電小球的極限。若電荷分布于小體積ΔV內(nèi)，當(dāng)體積ΔV→0時(shí)，體積內(nèi)的電荷密度ρ→∞，而保持總電荷不變，所謂點(diǎn)電荷就是這種電荷分布。處于原點(diǎn)上的單位點(diǎn)電荷的密度用函數(shù)ρ(x)表示。

設(shè)有包含x′點(diǎn)的某空間區(qū)域V，在V的邊界S上有邊界條件：

則方程（1-12）同時(shí)滿足邊界條件（1-13）的解，稱為泊松方程在區(qū)域V的第一類邊值問(wèn)題中的格林函數(shù)。若在S上有另一邊界條件：

則方程（1-12）同時(shí)滿足邊界條件（1-14）的解，稱為泊松方程在區(qū)域V的第二類邊值問(wèn)題中的格林函數(shù)。

這方程中的?2算符是對(duì)x點(diǎn)的微分算符。如果是無(wú)界空間，在x′點(diǎn)上一個(gè)單位點(diǎn)電荷在空間中某點(diǎn)x處激發(fā)的電勢(shì)為：

式中r為源點(diǎn)x′到場(chǎng)點(diǎn)x的距離。因此，無(wú)界空間的格林函數(shù)為

2.5 鏡像法求靜電場(chǎng)

鏡像法是求解邊值問(wèn)題的一種特殊解法。［5］其理論依據(jù)是唯一性定理和疊加原理，其基本思想是用假想的集中電荷（鏡像電荷）來(lái)等效代替分界面上的分布電荷對(duì)場(chǎng)的貢獻(xiàn)，而無(wú)需求出方程的通解，只需求解鏡像電荷和區(qū)域內(nèi)給定電荷共同產(chǎn)生的電位，下面舉例說(shuō)明這方法的應(yīng)用。

例如，真空中放置一個(gè)半徑為R0的接地導(dǎo)體球，距球?qū)w球心O為a(a＞R0)的位置有一個(gè)點(diǎn)電荷Q，求該電荷體系在空間各點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)（如圖4）。

圖4 （a）半徑為R0的接地導(dǎo)體球；（b）等效示意圖

由此可見(jiàn)，假象電荷Q′的位置和大小是可以唯一確定的，把假象電荷Q′又稱作鏡像電荷。

由原電荷Q和鏡像電荷Q′激發(fā)的總電場(chǎng)，在滿足導(dǎo)體面上?=0的邊界條件下，可以得到空間中電場(chǎng)的唯一解。于是，球外任一點(diǎn)P（如等效示意圖4b）的電勢(shì)為：

式中r為電荷Q到P點(diǎn)的距離，R為球心O到P點(diǎn)的距離，θ為OP與OQ的夾角。

3 結(jié)論

本文通過(guò)對(duì)各種靜電場(chǎng)求解方法的探究，一方面，為靜電場(chǎng)的求解提供了完整的方法，另一方面，通過(guò)具體的實(shí)例對(duì)每種求解方法進(jìn)行應(yīng)用，使得讀著可以更好地理解和應(yīng)用每一種方法，為靜電場(chǎng)的求解提供合理可行的方法。