把握過程，應(yīng)用特性，突破旋轉(zhuǎn)

凌潔

[摘? 要] 近幾年中考試題中圖形旋轉(zhuǎn)問題出現(xiàn)的頻率很高，該類問題的求解不僅需要合理把握圖形的旋轉(zhuǎn)過程，還需要充分利用旋轉(zhuǎn)特性進行條件挖掘，文章結(jié)合考題對幾何旋轉(zhuǎn)類問題進行深入探究，并進行解后思考，與讀者交流學(xué)習(xí).

[關(guān)鍵詞] 旋轉(zhuǎn);幾何;面積;路徑;數(shù)形結(jié)合

考題呈現(xiàn)，解析點評

1. 考題呈現(xiàn)

（2018年江蘇宿遷卷第18題）如圖1所示，將含有30°角的直角三角板ABC放置于直角坐標系中，其頂點A，B分別落在x，y軸的正半軸上，且∠OAB=60°，點A的坐標為（1，0），現(xiàn)將三角板ABC沿著x軸向右做無滑動的滾動（先繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，再繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°……）當點B第一次落在x軸上時，則點B的運動路徑與坐標軸圍成的圖形面積為______.

2. 試題解析

分析? 求旋轉(zhuǎn)過程中點B的運動軌跡與坐標軸圍成的幾何圖形面積，除了需要還原點B的運動軌跡外，還需要結(jié)合圖形旋轉(zhuǎn)過程中的一些幾何性質(zhì)，即旋轉(zhuǎn)過程中幾何圖形的角度和邊長保持不變. 分析可知點B的旋轉(zhuǎn)過程可以細分為兩個階段，如圖2，第一階段是以點A為旋轉(zhuǎn)中心，以邊AB為旋轉(zhuǎn)半徑;第二階段是以x軸上的點C1為旋轉(zhuǎn)中心，以B1C1為旋轉(zhuǎn)半徑，因此其圍成的圖形面積為兩階段形成的扇形面積與兩個三角板的面積之和，即S=S扇形ABB1+S扇形B1C1B2+2S△ABO，根據(jù)幾何面積公式可知只需求出具體的旋轉(zhuǎn)角度和相應(yīng)的邊長即可求解.

解：△AOB為直角三角形，根據(jù)點A（1，0）可得OA=1，已知∠OAB=60°，則AB=2，OB=BC=，△ABC旋轉(zhuǎn)過程中其角度和邊長始終保持不變，故B1C1=，∠BAB1=60°，∠B1C1B2=90°，S扇形ABB1=πAB2=π，S扇形B1C1B2=πB1C12=π，S△ABO=AO·BO=，則S總=S扇形ABB1+S扇形C1B1B2+2S△ABO=π+，所以點B的運動路徑與坐標軸圍成的圖形面積為π+.

3. 試題評析

本題目是以圖形旋轉(zhuǎn)為背景求解圖形面積的幾何題，其特點是通過幾何旋轉(zhuǎn)建立了靜態(tài)問題與幾何運動之間的聯(lián)系，且由圖形的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)建立了面積問題與已知條件之間的聯(lián)系，是對學(xué)生運用幾何旋轉(zhuǎn)特性解決實際問題能力的考查. 上述解題過程根據(jù)三角板的旋轉(zhuǎn)規(guī)律將其細分為兩個階段，然后建立了求解幾何面積的一般模型，最后結(jié)合幾何旋轉(zhuǎn)的幾何特性探尋面積求解的關(guān)鍵條件，從而實現(xiàn)問題的準確求解. 其中建立幾何模型是解題的基礎(chǔ)，旋轉(zhuǎn)特性的靈活運用是解題的關(guān)鍵. 在求解以圖形旋轉(zhuǎn)為背景的幾何問題時要充分把握圖形旋轉(zhuǎn)過程中的一些特殊規(guī)律，將動態(tài)旋轉(zhuǎn)問題轉(zhuǎn)化為較為簡單的幾何問題，通過分析幾何元素的基本性質(zhì)來獲得解題的突破口.

類題解讀，旋轉(zhuǎn)探究

幾何旋轉(zhuǎn)是初中數(shù)學(xué)的重要知識點，中考對于該知識點的考查存在多種問題形式，除了上述通過幾何旋轉(zhuǎn)求解幾何面積外，還涉及求旋轉(zhuǎn)角的三角函數(shù)值、點的路徑、點的坐標等問題. 不同的問題形式之間存在一定的聯(lián)系，即都是由幾何旋轉(zhuǎn)衍生的問題，旋轉(zhuǎn)特性是解題條件獲取的關(guān)鍵，下面將結(jié)合考題進行深入探究.

1. 幾何旋轉(zhuǎn)，求解路徑

（2018年江蘇無錫卷第27題）如圖3所示，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，將此矩形繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)θ（0°<θ<90°）得到矩形A1BC1D1，點A1在邊CD上.

（1）若m=2，n=1，求在旋轉(zhuǎn)過程中，點D到點D1所經(jīng)過路徑的長度;

（2）將矩形A1BC1D1繼續(xù)繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形A2BC2D2，點D2在BC的延長線上，設(shè)邊A2B與CD交于點E，如果=-1，試求的值.

分析? （1）由于矩形ABCD圍繞點B進行旋轉(zhuǎn)，則其上點D的旋轉(zhuǎn)路徑必然為以點B為中心的弧線，求其路徑只需要求得旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)半徑即可. 如圖4，連接DB和D1B，則其旋轉(zhuǎn)角為兩線之間的夾角∠DBD1，結(jié)合旋轉(zhuǎn)特性可知圖形旋轉(zhuǎn)過程中的旋轉(zhuǎn)角為定值，則點A的旋轉(zhuǎn)角等于點D的旋轉(zhuǎn)角，即∠DBD1=∠ABA1，過點A1作AB的垂線，垂足為點H，在Rt△A1HB中利用勾股定理可求得∠ABA1為30°，旋轉(zhuǎn)半徑DB也可求得，利用弧長公式即可求解.

（2）略.

解：（1）作A1H⊥AB，垂足為點H，連接DB和D1B，由旋轉(zhuǎn)特性可知∠D1BD=∠A1BA，在Rt△A1BH中，sin∠A1BH==，則∠A1BH=30°，所以∠D1BD=30°，BD==，所以D到點D1所經(jīng)過路徑=2π·=π.

解讀? 本題目與第一道考題相類似，都涉及了點的旋轉(zhuǎn)路徑，其過程為繞點B進行的旋轉(zhuǎn)，求解的特點在于充分利用圖形旋轉(zhuǎn)過程中旋轉(zhuǎn)角相等的性質(zhì)，即圖形旋轉(zhuǎn)過程中不同點、線之間的旋轉(zhuǎn)角是一致的，利用該性質(zhì)可以直接建立等角關(guān)系，對于問題的分析有著極大的幫助. 另外，在獲取旋轉(zhuǎn)角時需要掌握一定的方法，旋轉(zhuǎn)起終點分別與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角就為旋轉(zhuǎn)角，不同點的旋轉(zhuǎn)路徑雖不相同，但旋轉(zhuǎn)角保持一致.

2. 幾何旋轉(zhuǎn)，求三角函數(shù)

（2018年江蘇蘇州卷第17題）如圖5所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=，現(xiàn)將△ABC繞著點A以逆時針的方向旋轉(zhuǎn)90°得到了△AB′C，則sin∠ACB′的值為______.

分析? 上述旋轉(zhuǎn)過程為△ABC繞著點A進行的旋轉(zhuǎn)，而求sin∠ACB′的值需要將其放置在直角三角形中. 過點A作CB′的垂線，垂足為點N，則在Rt△ACN中有sin∠ACB′=，則問題的關(guān)鍵就是求出AN和AC的值. AC可以在Rt△ABC中利用勾股定理求得，而AN則可以結(jié)合旋轉(zhuǎn)特性，在△AB′C中利用等面積法來求得.

解：如圖6，過點A作CB′的垂線，垂足為點N，則sin∠ACB′=，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC==5. 過點C作AB′的垂線，垂足為點M，因為△ABC通過旋轉(zhuǎn)得到了△AB′C，由旋轉(zhuǎn)特性可知AB′=AB=2. 由于∠B′AB=∠B=∠CMA=90°，所以四邊形ABCM為矩形，CM=AB=2，AM=BC=，在Rt△B′MC中，由勾股定理可得B′C==5，由等面積法可得B′C×AN=AB′×CM，解得AN=4，所以sin∠ACB′=.

解讀? 上述題目以圖形旋轉(zhuǎn)為背景求解三角函數(shù)值，由于初中階段對于三角函數(shù)的求解需要將其放置在直角三角形中，因此求解過程通過構(gòu)建直角三角形將問題轉(zhuǎn)化為求線段的長，然后充分利用旋轉(zhuǎn)過程中對應(yīng)線段長度不變，以及線段旋轉(zhuǎn)角的特性來實現(xiàn)問題的作答. 另外，題目中將幾何旋轉(zhuǎn)與三角函數(shù)有效融合在一起，是對知識聯(lián)系性的體現(xiàn)，對于培養(yǎng)學(xué)生解決綜合問題的能力有著一定的提升作用.

解后思考，學(xué)習(xí)反思

1. 牢實基礎(chǔ)知識，講求知識綜合

幾何旋轉(zhuǎn)特性作為重要的知識點在中考中側(cè)重于以知識綜合的形式考查，該特點在上述考題中有著充分的體現(xiàn). 上述考題分別以圖形旋轉(zhuǎn)為背景考查求解幾何面積、動點路徑長和三角函數(shù)值，其中涉及了面積公式、弧長公式和三角函數(shù)表達式等知識點，是幾何與代數(shù)知識領(lǐng)域的綜合. 求解該類問題除了需要掌握一些基礎(chǔ)的知識內(nèi)容，還需要充分把握知識之間的聯(lián)系，對各部分內(nèi)容有著準確的定位，這樣的學(xué)習(xí)策略對于知識體系的構(gòu)建和后續(xù)解決綜合問題有著極大的幫助.

2. 重視解題方法，完善數(shù)形結(jié)合

幾何旋轉(zhuǎn)問題是初中數(shù)學(xué)較為典型的問題，其復(fù)雜的運動過程中包含著一定的變化規(guī)律和幾何性質(zhì)，合理利用分析方法，還原運動過程，建立分析模型是高效求解的關(guān)鍵，如考題一在求解面積時采用幾何分割的方式將旋轉(zhuǎn)過程階段化，分別建立面積模型求解;考題二則在求解動點路徑時通過添加輔助線，還原動點軌跡，調(diào)用旋轉(zhuǎn)特性;考題三求三角函數(shù)時通過添加輔助線將其轉(zhuǎn)化為求線段長的問題. 上述問題的求解過程充分采用了構(gòu)建模型、數(shù)形結(jié)合的解題策略，該種解題思路對于復(fù)雜幾何問題的求解有著顯著的作用，在解該類問題時可以推廣使用.

3. 把握問題核心，挖掘問題本質(zhì)

學(xué)習(xí)幾何旋轉(zhuǎn)最為重要的內(nèi)容是對旋轉(zhuǎn)特性的理解，這也是求解該類問題的關(guān)鍵. 旋轉(zhuǎn)特性包括旋轉(zhuǎn)過程中線段長、圖形內(nèi)角和外在形狀的一些性質(zhì)，學(xué)習(xí)時需要從“旋轉(zhuǎn)不變性”角度來加以理解，即整個旋轉(zhuǎn)過程的幾何元素保持不變，幾何元素之間的旋轉(zhuǎn)角始終保持一致，這是旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)內(nèi)容，也是問題求解、思路構(gòu)建的關(guān)鍵. 在求解旋轉(zhuǎn)問題時需要充分利用旋轉(zhuǎn)特性，從圖形運動中挖掘不變因素，從而獲得問題求解的本質(zhì)解法，真正實現(xiàn)解題能力的提升.

圖形旋轉(zhuǎn)作為幾何三大運動之一，是具有顯著培養(yǎng)意義的學(xué)習(xí)內(nèi)容，對于學(xué)生樹立空間幾何觀，發(fā)展模型思想有著重要意義. 對于該部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，需要在掌握其運動過程的基礎(chǔ)上理解旋轉(zhuǎn)特性，并結(jié)合相關(guān)幾何知識形成旋轉(zhuǎn)問題的解題策略，促進自我解題思維的發(fā)展，從本質(zhì)上提升解題能力.