培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的聯(lián)想能力

楊業(yè)業(yè)

[摘? 要] 數(shù)學(xué)聯(lián)想能力能將數(shù)學(xué)各不同分支或章節(jié)之間的內(nèi)容相互聯(lián)系與滲透，教師應(yīng)善于利用舊知、直觀、直覺(jué)與推理的結(jié)合，特殊與一般的結(jié)合引發(fā)學(xué)生展開(kāi)聯(lián)想并促進(jìn)學(xué)生思維與解題能力的不斷攀升.

[關(guān)鍵詞] 聯(lián)想;舊知;新知;直觀;直覺(jué);推理;特殊;一般

教師著眼于學(xué)生舊知、直觀、直覺(jué)與推理的有機(jī)結(jié)合以及特殊與一般的有機(jī)結(jié)合進(jìn)行思維聯(lián)想的引導(dǎo)，能使學(xué)生在化繁為簡(jiǎn)、化抽象為具體、化陌生為熟悉的數(shù)學(xué)聯(lián)想中獲得思維與能力的同步提升. 事實(shí)上，聯(lián)想能力在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的參與還能很好地培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性與創(chuàng)造性. 那么，教師在實(shí)際教學(xué)中究竟應(yīng)該怎樣培養(yǎng)學(xué)生展開(kāi)合理聯(lián)想并促進(jìn)思維發(fā)展呢？

利用舊知引發(fā)聯(lián)想

新知識(shí)都是在舊知識(shí)的基礎(chǔ)上增加內(nèi)容或?qū)εf知識(shí)重新組織、轉(zhuǎn)化而形成的，因此，著眼于舊知識(shí)這一新知學(xué)習(xí)的?？奎c(diǎn)對(duì)學(xué)生的思維進(jìn)行觸動(dòng)并引其聯(lián)想是很好的一個(gè)手段.

例如，筆者在“二次函數(shù)與一元二次方程”這一內(nèi)容的教學(xué)中首先設(shè)計(jì)了這樣的例題：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖1所示，請(qǐng)觀察圖像并回答問(wèn)題：

（1）方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是什么？

（2）不等式ax2+bx+c>0的解集如何？

（3）如果方程ax2+bx+c=k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍如何？

很多學(xué)生在自主解決第（1）題時(shí)首先想到的都是求拋物線(xiàn)的解析式y(tǒng)=-2（x-2）2+2，接著解方程-2（x-2）2+2=0.筆者首先肯定了學(xué)生的想法，然后又引導(dǎo)學(xué)生對(duì)二次函數(shù)與一元二次方程形式上的區(qū)別和聯(lián)系進(jìn)行了仔細(xì)的觀察與分析. 學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)在y=ax2+bx+c（a≠0）中，令y=0就能得到一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），因此，只要求出對(duì)應(yīng)拋物線(xiàn)和x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就能求出ax2+bx+c=0（a≠0）的解.

大多數(shù)學(xué)生在第（1）小題的解決中已經(jīng)建立了一定的經(jīng)驗(yàn)，因此沒(méi)有盲目去解不等式-2（x-2）2+2>0.觀察其形式可得，在二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）中，令y>0可得不等式ax2+bx+c>0（a≠0），因此，不等式的解即為二次函數(shù)圖像在x軸上方的圖像所對(duì)應(yīng)的橫軸坐標(biāo)，因此，解集是1

學(xué)生在第（3）小題的解決中給了筆者驚喜，有學(xué)生沒(méi)有經(jīng)過(guò)動(dòng)筆計(jì)算而直接給出了答案，筆者引導(dǎo)學(xué)生將解題思路進(jìn)行了分享：求出當(dāng)k為何值時(shí)能令二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）和一次函數(shù)y=k有兩個(gè)交點(diǎn)即可，因此結(jié)合圖像可得k<2.

借助直觀引發(fā)聯(lián)想

很多抽象、概括、不便演算的代數(shù)式往往借助形象、具體、直觀的圖形能夠表達(dá)得一目了然，因此，教師在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)善于引導(dǎo)將代數(shù)式進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)換，使學(xué)生能夠聯(lián)想圖形進(jìn)行觀察、分析并獲得解題的突破.

例如，求x-1+x-2+x-3的最小值.

這是一條已知條件特別簡(jiǎn)單的代數(shù)問(wèn)題，很多學(xué)生初看此題時(shí)往往覺(jué)得難以下手. 筆者在此題的教學(xué)中首先引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想了絕對(duì)值的幾何含義，強(qiáng)調(diào)了數(shù)軸這一數(shù)與形的碰撞并要求學(xué)生畫(huà)出數(shù)軸，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題意與數(shù)軸建立幾何模型，問(wèn)題很快得到了轉(zhuǎn)化. 學(xué)生在筆者的引導(dǎo)下展開(kāi)了尋找表示x的點(diǎn)并令其到1，2，3各點(diǎn)的距離之和最小，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)當(dāng)x在數(shù)軸上2的位置時(shí)，x-1+x-2+x-3能取得最小值4.此題還可以做出一定的拓展，比如求x-1+x-2的最小值，求x-1+x-2+x-3+x-4的最小值，求x-1+x-2+x-3+x-4+x-5的最小值，等等. 在求出一系列的值之后，筆者又引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一般性的結(jié)論進(jìn)行了歸納：求y=

x-a+

x-a+

x-a+…+

x-a的最小值，根據(jù)絕對(duì)值的意義可得，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，若a≤x≤a，y的值最小;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，若x=a，y的值最小.

顯而易見(jiàn)，學(xué)生的思維在數(shù)與形的聯(lián)想中得到了發(fā)展，教師應(yīng)經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的聯(lián)想并使學(xué)生樹(shù)立起一定的意識(shí)與習(xí)慣，很多原本令學(xué)生難以下手的題目也會(huì)因此變得直觀而簡(jiǎn)單了.

在直覺(jué)與推理的結(jié)合中引發(fā)聯(lián)想

數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決在很大程度上也要依賴(lài)直覺(jué)的作用，很多直覺(jué)的判斷對(duì)于解題來(lái)說(shuō)精準(zhǔn)而又直奔主題，不過(guò)，教師在實(shí)際教學(xué)中也應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生不得過(guò)分依賴(lài)直覺(jué)，很多經(jīng)驗(yàn)主義的錯(cuò)誤就是過(guò)分依賴(lài)直覺(jué)而導(dǎo)致的.

例如，小明上山時(shí)的速度是5千米/時(shí)，原路返回下山時(shí)的速度是7千米/時(shí)，他往返的平均速度是________千米/時(shí).

很多學(xué)生初看題目時(shí)都會(huì)覺(jué)得非常簡(jiǎn)單，也會(huì)很快得出6千米/時(shí)的答案，事實(shí)上，這就是學(xué)生過(guò)分依賴(lài)直覺(jué)而產(chǎn)生的錯(cuò)誤. 對(duì)題目重新審視就會(huì)發(fā)現(xiàn)，路程除以時(shí)間的公式始終是不能忽略的，因此，正確解題應(yīng)為：設(shè)該段路程是s千米，則上山用時(shí)應(yīng)為小時(shí)，下山用時(shí)應(yīng)為小時(shí)，因此，小明上山、下山往返的平均速度應(yīng)為千米/時(shí).

變式：小明上山一共用了4小時(shí)，前半段時(shí)間的平均速度是5千米/時(shí)，后半段時(shí)間的平均速度是7千米/時(shí)，小明上山時(shí)的平均速度是_______千米/時(shí).

經(jīng)過(guò)計(jì)算可得此處的答案為6.

題目解決至此，筆者對(duì)學(xué)生進(jìn)行了適時(shí)的引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生在以下思考中獲得更深的領(lǐng)悟：甲、乙兩部卡車(chē)均在直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中，甲車(chē)前一半位移的平均速度是v，后一半位移的平均速度是v，則其全程的平均速度v=______;乙車(chē)前一半時(shí)間的平均速度是v，后一半時(shí)間的平均速度是v，則其全程的平均速度是v=______（v≠v）.

教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)中進(jìn)行抽象并使其得到生長(zhǎng)，在一定的加工與提煉之后將其上升至理性認(rèn)識(shí)的層面并使得學(xué)生的思維空間最終得到有意義的延伸與拓展.

在特殊與一般的結(jié)合中引發(fā)聯(lián)想

很多事物的認(rèn)識(shí)都是從特殊到一般化的結(jié)果，因此，教師在相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)中應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生從特殊現(xiàn)象入手并展開(kāi)聯(lián)想.

例如，“用字母表示數(shù)”這一章節(jié)的內(nèi)容就將特殊到一般的思想方法展現(xiàn)得淋漓盡致. 事實(shí)上，這一思想方法在很多的數(shù)學(xué)解題中都得到了應(yīng)用. 很多具備特殊結(jié)構(gòu)或背景的數(shù)學(xué)問(wèn)題，只要能夠在解題時(shí)針對(duì)等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)將一般與特殊之間的矛盾關(guān)系進(jìn)行靈活運(yùn)用即可得到轉(zhuǎn)化.

在動(dòng)靜結(jié)合中引發(fā)聯(lián)想

近幾年的數(shù)學(xué)中考試題中都會(huì)有一些動(dòng)態(tài)的問(wèn)題，動(dòng)態(tài)問(wèn)題的解決往往需要從特殊情形切入并在變化中求不變，動(dòng)態(tài)問(wèn)題一旦轉(zhuǎn)化成靜態(tài)問(wèn)題也就意味著“動(dòng)”“靜”之間的聯(lián)系已經(jīng)達(dá)成，解題突破也會(huì)因此而快速獲得.

例如，如圖2，已知矩形ABCD中，AB=6，BC=2，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且BP=3.現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)O出發(fā)并以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿OA做勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)后即沿AO返回，速度不變. 動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)P出發(fā)并以同樣速度沿射線(xiàn)PA做勻速運(yùn)動(dòng). 若點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)出發(fā)并至兩點(diǎn)相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，以EF為邊作等邊△EFG并使△EFG與矩形ABCD在射線(xiàn)PA的同側(cè). 設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t≥0）. （1）當(dāng)?shù)冗叀鱁FG的邊FG恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值如何？（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中，設(shè)等邊△EFG與矩形ABCD的重疊部分面積是S，則S和t之間的函數(shù)關(guān)系式是怎樣的？自變量t的取值范圍如何？

第（1）問(wèn)中，等邊△EFG的邊FG恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C意味著點(diǎn)E，F(xiàn)此處處于靜止?fàn)顟B(tài)，因此，只要畫(huà)出圖形并求出PF的長(zhǎng)度即可解決問(wèn)題.

第（2）問(wèn)中，等邊△EFG因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)的運(yùn)動(dòng)而變化，所以它與矩形ABCD重疊部分的圖形是不確定的. 不過(guò)，不管如何運(yùn)動(dòng)，總有一些特殊位置會(huì)將變化前后的圖形聯(lián)系起來(lái). 這一特殊的位置其實(shí)就是點(diǎn)E，F(xiàn)靜止的瞬間，這也是解題的關(guān)鍵. 本題中除了開(kāi)始與結(jié)束時(shí)候的特殊位置以外，還有以下三個(gè)特殊的位置：①邊FG恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C;②點(diǎn)F和點(diǎn)B重合（點(diǎn)E和點(diǎn)A重合），即t=3時(shí);③點(diǎn)G恰好落在邊CD上，即t=4時(shí). 畫(huà)出相應(yīng)圖形并進(jìn)行聯(lián)想，由此可分成0≤t<1，1≤t<3，3≤t<4，4≤t<6這四種情況，畫(huà)出相應(yīng)圖形并在各類(lèi)別中任取一個(gè)位置來(lái)體現(xiàn)該類(lèi)圖形的共性，最后再計(jì)算得解.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的聯(lián)想其實(shí)是學(xué)生思維的放飛，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)不斷引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)多角度、多方位、多層次的聯(lián)想并以此促進(jìn)學(xué)生思維與解題能力的不斷攀升.