問(wèn)題驅(qū)動(dòng)思維，生成直觀想象核心素養(yǎng)

何萍 趙安順

[摘? 要] 文章通過(guò)課例，探討了課堂教學(xué)實(shí)踐落實(shí)直觀想象核心素養(yǎng)培養(yǎng)的途徑：（1）用問(wèn)題串驅(qū)動(dòng)有邏輯的思考，樹(shù)立“用圖形”的意識(shí);（2）問(wèn)題引領(lǐng)感知空間位置變化，體驗(yàn)運(yùn)動(dòng)變化對(duì)應(yīng)思想;（3）聚焦核心問(wèn)題驅(qū)動(dòng)深度思維，積累數(shù)形結(jié)合活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

[關(guān)鍵詞] 問(wèn)題驅(qū)動(dòng);直觀想象;核心問(wèn)題

直觀想象是中學(xué)階段六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一. 直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程. 主要包括：借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律;利用圖形描述和分析數(shù)學(xué)問(wèn)題;建立形與數(shù)的聯(lián)系;構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，探索解決問(wèn)題的思路. 參照《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》和高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組提出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本成分，直觀想象分為空間觀念和幾何直觀. 對(duì)于幾何直觀而言，建立形與數(shù)的聯(lián)系是幾何直觀的內(nèi)核，要以此為基礎(chǔ)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想方法在問(wèn)題解決過(guò)程中的應(yīng)用. 對(duì)于空間想象而言，要在問(wèn)題解決過(guò)程中增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用圖形和空間想象思考問(wèn)題的意識(shí)，促進(jìn)直觀想象核心素養(yǎng)的形成. 那么課堂教學(xué)怎么實(shí)踐落實(shí)直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)呢？下面以“平行線專題復(fù)習(xí)”為例，加以探討.

“平行線專題復(fù)習(xí)”教學(xué)實(shí)踐

1. 內(nèi)容和內(nèi)容解析

本節(jié)課的主要內(nèi)容是在學(xué)習(xí)角平分線、平行線判定和性質(zhì)，以及二元一次方程的基礎(chǔ)上進(jìn)行平行線專題復(fù)習(xí). 這是初中階段學(xué)生初步接觸平面幾何，培養(yǎng)幾何思維習(xí)慣，樹(shù)立應(yīng)用圖形解決問(wèn)題的觀念，形成直觀想象思維能力的關(guān)鍵時(shí)刻. 基于學(xué)生培優(yōu)的需要，根據(jù)上述分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)確定為：在具體情境中運(yùn)用平行線知識(shí)解決問(wèn)題，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想.

2. 目標(biāo)和目標(biāo)解析

（1）通過(guò)在具體情境中解決問(wèn)題，復(fù)習(xí)平行線知識(shí)，構(gòu)建知識(shí)框架圖.

（2）通過(guò)應(yīng)用圖形解決問(wèn)題，體驗(yàn)分類思想，體會(huì)方程模型思想和數(shù)形結(jié)合思想，感受運(yùn)動(dòng)變化對(duì)應(yīng)思想，發(fā)展直觀想象思維能力.

3. 教學(xué)片段呈現(xiàn)

環(huán)節(jié)1：觀察圖形，搭建知識(shí)框架，感受數(shù)形聯(lián)系.

活動(dòng)1：如圖1，AB∥CD，定點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，平行線AB，CD之間有一動(dòng)點(diǎn)P，滿足0°<∠EPF<180°，則∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？

（教師沒(méi)有讓學(xué)生直接求值，而是先提出幾個(gè)問(wèn)題引導(dǎo)思考，問(wèn)題如下）

問(wèn)題1：點(diǎn)P在平行線之間運(yùn)動(dòng)，它的運(yùn)動(dòng)范圍是怎樣的？在這個(gè)過(guò)程中，∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？（復(fù)習(xí)平行線性質(zhì)，并引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察圖形認(rèn)識(shí)事物運(yùn)動(dòng). 當(dāng)學(xué)生只給出點(diǎn)P在直線EF左側(cè)時(shí)的答案時(shí)，教師繼續(xù)引導(dǎo)）

問(wèn)題2：點(diǎn)P在平行線之間運(yùn)動(dòng)，這三個(gè)角還有沒(méi)有可能存在其他數(shù)量關(guān)系？（繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖形變化，啟發(fā)點(diǎn)P的位置變化會(huì)引起三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系的變化. 待學(xué)生解答完整后，教師拖動(dòng)幾何畫板讓學(xué)生觀察圖形變化與數(shù)量變化的聯(lián)系）

教師小結(jié)：兩直線平行，可得到同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系，同樣地，已知這些角的數(shù)量關(guān)系，也可以判定兩直線平行，這說(shuō)明線的位置關(guān)系與角的數(shù)量關(guān)系存在關(guān)聯(lián).

環(huán)節(jié)2：運(yùn)用圖形，感悟分類依據(jù)，感受對(duì)應(yīng)變化思想.

活動(dòng)2：如圖2，AB∥CD，定點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，在平行線AB，CD之間有一動(dòng)點(diǎn)P，滿足0°<∠EPF<180°，QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD.

（1）若∠EPF=60°，則∠EQF=______;

（2）猜想∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;

（3）當(dāng)∠EPF+∠EQF=________時(shí)，∣∠EPF-∠EQF∣=________.

（教師沒(méi)有直接呈現(xiàn)第（1）問(wèn)，而是先在圖1中添加∠PEB和∠PFD的平分線，然后提出問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考，問(wèn)題如下）

問(wèn)題1：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到一個(gè)位置時(shí)，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)著也運(yùn)動(dòng)到一個(gè)位置，一個(gè)位置對(duì)應(yīng)一個(gè)角度，那么當(dāng)∠EPF取一個(gè)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的∠EQF也會(huì)取一個(gè)值. 運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P，使得∠EPF=60°，此時(shí)對(duì)應(yīng)的∠EQF為多少度？（引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖形的變化，初步感受對(duì)應(yīng)變化思想，接著呈現(xiàn)第（1）問(wèn)）

學(xué)生解得∠EQF=150°后，教師針對(duì)分類遺漏的難點(diǎn)繼續(xù)提問(wèn)啟發(fā)觀察.

問(wèn)題2：點(diǎn)P在平行線之間移動(dòng)，滿足∠EPF=60°的位置除了這一個(gè)，還有第二個(gè)位置嗎？請(qǐng)你指出來(lái).（學(xué)生畫出了第二個(gè)位置，教師繼續(xù)啟發(fā)觀察）

問(wèn)題3：你還能畫出第三個(gè)位置嗎？這樣的位置有多少個(gè)？（學(xué)生回答：無(wú)數(shù)個(gè)）

問(wèn)題4：這無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)形成了怎樣的圖形？（有幾個(gè)學(xué)生叫出來(lái)：弧形）

教師用幾何畫板拖動(dòng)點(diǎn)P在平行線之間運(yùn)動(dòng)，直觀呈現(xiàn)運(yùn)動(dòng)軌跡，出現(xiàn)兩條圓弧，啟發(fā)學(xué)生關(guān)注，并將問(wèn)題“點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)為什么會(huì)形成兩條圓弧”作為課后興趣題拓展，然后繼續(xù)提問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生思考.

問(wèn)題5：這無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)P，都使得∠EPF=60°，那么對(duì)應(yīng)的∠EQF都是150°嗎？（引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖形，直觀想象點(diǎn)P的位置變化引起∠EQF的變化，在求得∠EQF的另一個(gè)值為30°的情況下，教師繼續(xù)追問(wèn)）

問(wèn)題6：在這無(wú)數(shù)個(gè)位置中，∠EQF的值只有這兩種情況嗎？你認(rèn)為是什么原因使得∠EQF的值發(fā)生變化？如果讓你來(lái)分類，會(huì)分成幾類？是哪幾類？（啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用圖形將點(diǎn)P分成在EF左邊和EF右邊兩種情況）

教師小結(jié)：點(diǎn)的位置變化往往是產(chǎn)生分類的重要依據(jù).

問(wèn)題7：當(dāng)點(diǎn)P在平行線之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，相對(duì)于P點(diǎn)的其他位置，你還能求得對(duì)應(yīng)的∠EQF的值嗎？（學(xué)生舉了當(dāng)∠EPF=40°時(shí)，∠EQF=160°或20°的例子，這時(shí)有學(xué)生舉手，提出了問(wèn)題8）

問(wèn)題8：我想探究∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系.（教師順勢(shì)呈現(xiàn)第（2）問(wèn)）

學(xué)生很快求得兩種情況下的數(shù)量關(guān)系：∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF. 教師繼續(xù)提出問(wèn)題啟發(fā)學(xué)生探索.

環(huán)節(jié)3：聯(lián)想圖形，構(gòu)建方程模型，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想.

問(wèn)題1：當(dāng)點(diǎn)P在EF左邊時(shí)，有∠EPF+2∠EQF=360°，這是我們非常熟悉的二元一次方程，它有多少個(gè)解？當(dāng)添加條件“∠EPF=60°”時(shí)，就得到了二元一次方程組，我們就能求出∠EQF的值了. 現(xiàn)在改變添加的條件，即當(dāng)∠EPF+∠EQF等于多少度時(shí)，能確定∠EPF，∠EQF的值？（教師呈現(xiàn)第（3）問(wèn)）

學(xué)生添加了以下幾種情況：①當(dāng)∠EPF+∠EQF=150°時(shí)，∣∠EPF-∠EQF∣=50°;②當(dāng)∠EPF+∠EQF=210°時(shí)，∣∠EPF-∠EQF∣=90°或70°;③當(dāng)∠EPF+∠EQF=300°時(shí)，∠EPF，∠EQF不存在. 教師提出問(wèn)題繼續(xù)啟發(fā)學(xué)生思考.

問(wèn)題2：當(dāng)添加的值不同時(shí)，為什么有的時(shí)候存在，有的時(shí)候不存在;有的時(shí)候有一個(gè)解，有的時(shí)候有兩個(gè)解？它們分別對(duì)應(yīng)了哪一種圖形？你能不能確定當(dāng)∠EPF+∠EQF取哪些值時(shí)，解是存在的？取哪些值時(shí)，只有一個(gè)解？取哪些值時(shí)，有兩個(gè)解？（啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想圖形，運(yùn)用圖形解決問(wèn)題）

學(xué)生運(yùn)用圖形猜測(cè)出幾個(gè)關(guān)鍵位置，從而歸納出：當(dāng)0°<∠EPF+∠EQF≤180°時(shí)，有1個(gè)解;當(dāng)180°<∠EPF+∠EQF<270°，有2個(gè)解;當(dāng)∠EPF+∠EQF≥270°時(shí)，無(wú)解. 教師接著提出問(wèn)題3作為課后思考題.

問(wèn)題3：如果∠EQF用∠EPF的代數(shù)式表示，那么∠EPF+∠EQF就可以轉(zhuǎn)化為用∠EPF的代數(shù)式表示，我們由∠EPF的取值范圍，是不是可以求出∠EPF+∠EQF的取值范圍？如果能，請(qǐng)寫出解決問(wèn)題的過(guò)程.

環(huán)節(jié)4：概括小結(jié)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想.

教師呈現(xiàn)本節(jié)課的復(fù)習(xí)框圖（圖3），總結(jié)：在動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中，首先觀察圖形的變化，點(diǎn)的位置的變化是產(chǎn)生分類的重要依據(jù)，可以用方程（組）數(shù)學(xué)模型刻畫數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用圖形建立數(shù)與形的聯(lián)系是問(wèn)題解決的重要方法.

教師布置思考題：如圖4，AB∥CD，定點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，在平行線AB，CD所在的平面上有一動(dòng)點(diǎn)P，滿足0°<∠EPF<180°，QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，猜想∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

問(wèn)題驅(qū)動(dòng)思維，生成直觀想象

核心素養(yǎng)

著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家M·克萊因認(rèn)為：“數(shù)學(xué)不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上. ”國(guó)內(nèi)學(xué)者史寧中也認(rèn)為，在大多數(shù)情況下，數(shù)學(xué)的結(jié)果是“看”出來(lái)的，而不是“證”出來(lái)的. 這種“看”的能力依賴于直觀想象. 直觀想象本質(zhì)上是一種基于圖形展開(kāi)想象的思維能力;是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題、分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ). 直觀想象集中體現(xiàn)在利用幾何直觀與空間想象解決數(shù)學(xué)問(wèn)題上，因此，用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)思維，在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中將問(wèn)題表征、圖式構(gòu)建與學(xué)生思維有機(jī)結(jié)合，能生成直觀想象核心素養(yǎng).

1. 用問(wèn)題串驅(qū)動(dòng)有邏輯的思考，樹(shù)立“用圖形”的意識(shí)

意識(shí)上引起對(duì)圖形的關(guān)注是生成直觀想象的首要條件. 可用教學(xué)內(nèi)容和創(chuàng)設(shè)情境提出的內(nèi)在邏輯關(guān)系的一系列問(wèn)題，去推動(dòng)學(xué)生借助圖形展開(kāi)有邏輯的思考，以此樹(shù)立學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)“用圖形”的意識(shí). 問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)過(guò)程展開(kāi)的內(nèi)在邏輯關(guān)系如圖5. 首先，創(chuàng)設(shè)在兩條平行線之間存在動(dòng)點(diǎn)P，求∠AEP，∠EPF，∠PFC的數(shù)量關(guān)系的情境. 學(xué)生通過(guò)觀察圖形，在運(yùn)用平行線的性質(zhì)獲得三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系的過(guò)程中，初步體會(huì)動(dòng)點(diǎn)的位置變化引起數(shù)量關(guān)系的變化，引出繼續(xù)探索點(diǎn)的位置關(guān)系與角的數(shù)量關(guān)系. 在添加兩條角平分線后，通過(guò)求特殊情況“當(dāng)∠EPF=60°，求∠EQF的值”，進(jìn)一步引出“產(chǎn)生不同數(shù)量關(guān)系與什么有關(guān)”，即“如何分類”這一核心問(wèn)題，想象P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，觀察、運(yùn)用圖形，歸納在無(wú)數(shù)個(gè)滿足∠EPF=60°的點(diǎn)P的位置中，只存在兩種角的不同數(shù)量關(guān)系，從而感受分類的依據(jù)，并進(jìn)一步運(yùn)用圖形，探索一般情況下∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系，從而得到關(guān)于∠EPF與∠EQF的二元一次方程. 接著，為了確定∠EPF，∠EQF的值，在學(xué)生自主探究∠EPF+∠EQF取哪些值的活動(dòng)中，再次聯(lián)想運(yùn)用圖形，驗(yàn)證存在性問(wèn)題. 在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)有層次的、有機(jī)聯(lián)系的一系列問(wèn)題，將教學(xué)內(nèi)容逐步展開(kāi)，每一個(gè)教學(xué)內(nèi)容緊緊圍繞著“基于圖形展開(kāi)想象”的思維活動(dòng)，體會(huì)運(yùn)用圖形想象、思考問(wèn)題的作用，感受數(shù)與形結(jié)合運(yùn)用的價(jià)值，樹(shù)立“用圖形”解決問(wèn)題的意識(shí).

2. 問(wèn)題引領(lǐng)感知空間位置變化，體驗(yàn)運(yùn)動(dòng)變化對(duì)應(yīng)思想

借助空間認(rèn)識(shí)事物的形態(tài)與變化，用問(wèn)題引領(lǐng)感知空間位置變化，體驗(yàn)運(yùn)動(dòng)變化對(duì)應(yīng)思想，是培養(yǎng)直觀想象核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容. 從內(nèi)容性問(wèn)題出發(fā)，我們要思考“教什么”“如何走向深刻”. 根據(jù)本課的選題，從平行線的知識(shí)出發(fā)，在探究角的數(shù)量關(guān)系中，通過(guò)例題的三個(gè)問(wèn)題引導(dǎo)，經(jīng)歷了從特殊到一般，從方程思想到函數(shù)思想的過(guò)程，又滲透了函數(shù)與方程的關(guān)系，能幫助學(xué)生真正理解相關(guān)知識(shí)內(nèi)容的同時(shí)，讓學(xué)生體驗(yàn)到運(yùn)動(dòng)變化對(duì)應(yīng)思想. 站在運(yùn)動(dòng)變化的高度認(rèn)識(shí)事物，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)，高屋建瓴，既能為后續(xù)學(xué)習(xí)做鋪墊，也能為今后進(jìn)一步在復(fù)雜情境中探索事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律積累直觀想象經(jīng)驗(yàn).

3. 聚焦核心問(wèn)題驅(qū)動(dòng)深度思維，積累數(shù)形結(jié)合的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)教育的主要任務(wù)應(yīng)是促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，特別地，應(yīng)通過(guò)教師的教學(xué)幫助學(xué)生逐步學(xué)會(huì)更清晰、更深入、更全面、更合理地進(jìn)行思考. 因此，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)中要關(guān)注兩個(gè)問(wèn)題：一是學(xué)科層面的本原問(wèn)題，二是教學(xué)層面的核心問(wèn)題. “核心問(wèn)題指向所學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，通過(guò)它，學(xué)生能理解所學(xué)知識(shí)的要點(diǎn). 核心問(wèn)題是整合數(shù)學(xué)內(nèi)容的關(guān)鍵和重點(diǎn)，其他問(wèn)題由它派生出來(lái)，并與它有著內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，通過(guò)它，學(xué)生能實(shí)現(xiàn)知識(shí)的整體建構(gòu);核心問(wèn)題是思考的動(dòng)力，是知識(shí)學(xué)習(xí)的大綱. 提煉核心問(wèn)題，要在知識(shí)理解的關(guān)鍵. ”核心問(wèn)題是基于本原問(wèn)題又超越本原問(wèn)題的一種課堂呈現(xiàn)，教師根據(jù)因材施教的原則挖掘出核心問(wèn)題，既有利于發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，也有助于充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性. 課堂上呈現(xiàn)的是顯性的教學(xué)組織上的核心問(wèn)題，但是背后的支撐離不開(kāi)對(duì)學(xué)科本原性問(wèn)題的準(zhǔn)確把握. 聚焦核心問(wèn)題，關(guān)注“教什么”“如何走向深刻”，思考“怎么教”“如何走向生動(dòng)”，驅(qū)動(dòng)學(xué)生深度思維，積累數(shù)形結(jié)合的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，是生成直觀想象核心素養(yǎng)的必要途徑.

本課選題來(lái)源于初中階段的動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題教學(xué). 動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題教學(xué)的核心問(wèn)題應(yīng)該是，通過(guò)某個(gè)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解決，提煉、歸納出動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的一般思考方法，使學(xué)生掌握舉一反三解決問(wèn)題的能力，并獲得思考數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般結(jié)構(gòu)和方法. 基于初一學(xué)生的認(rèn)知能力和水平，選取“如何分類”作為本課的核心問(wèn)題，以平行線為載體，通過(guò)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，教會(huì)學(xué)生思考. 首先，清晰運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和路徑;然后，清晰哪些量引起了圖形或數(shù)量關(guān)系的變化，找到變化中的規(guī)律，即不變的本質(zhì);最后，構(gòu)建合適的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解決. 為了解決核心問(wèn)題，教師不停地“挑起事端”：點(diǎn)P在平行線之間運(yùn)動(dòng)，它的運(yùn)動(dòng)范圍是怎樣的？點(diǎn)P在平行線之間運(yùn)動(dòng)，這三個(gè)角還有沒(méi)有可能存在其他數(shù)量關(guān)系？點(diǎn)P在平行線之間移動(dòng)，滿足∠EPF=60°的位置除了這一個(gè)，還有第二個(gè)位置嗎？你還能畫出第三個(gè)位置嗎？這樣的位置有多少個(gè)？這無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)形成了怎樣的圖形？這無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)P，都使得∠EPF=60°，那么對(duì)應(yīng)的∠EQF都是150°嗎？在這無(wú)數(shù)個(gè)位置中，∠EQF的值只有這兩種情況嗎？你認(rèn)為是什么原因使得∠EQF的值發(fā)生變化？如果讓你來(lái)分類，會(huì)分成幾類？是哪幾類？這些問(wèn)題能讓學(xué)生在情境中發(fā)現(xiàn)并提出核心問(wèn)題，能充分運(yùn)用圖形進(jìn)行思考，形成自己對(duì)問(wèn)題的想法，充分表達(dá)自己的想法，傾聽(tīng)、捕捉?jīng)_突點(diǎn)，引發(fā)思維碰撞，主動(dòng)探索數(shù)量關(guān)系，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想.