提煉解題模型，突破函數(shù)綜合

王玉荷

[摘? 要] 以拋物線為載體的函數(shù)綜合題是中考的常考題型，該類問(wèn)題具有曲線繁多、形式多樣、綜合性強(qiáng)的特點(diǎn)，求解時(shí)需要借助一定的數(shù)學(xué)模型及方法. 文章以一道中考題為例進(jìn)行分步探究，并開展解后反思，提出相應(yīng)的教學(xué)建議，與讀者交流學(xué)習(xí).

[關(guān)鍵詞] 幾何問(wèn)題;函數(shù)綜合;解題教學(xué);解題策略

第三步，化動(dòng)為靜多解模型構(gòu)建，公式巧用函數(shù)值域分析

最后一步是分析一般情形下的面積最值，P，D，Q三點(diǎn)均為動(dòng)點(diǎn)，坐標(biāo)不確定，僅已知三者之間的坐標(biāo)關(guān)系，研究△DPQ面積的最大值，可以從三者之間的坐標(biāo)關(guān)系入手. 具體求解有以下兩種方法：

2. 于涵定理，三角模型求解

S的形狀會(huì)隨著三動(dòng)點(diǎn)的變化而變化，由于直尺的寬度關(guān)系，使得點(diǎn)之間的橫坐標(biāo)又存在一定的聯(lián)系，因此可以利用于涵定理構(gòu)建關(guān)于三點(diǎn)之間的面積，設(shè)x-x=a，x-x=b，則a+b=x- x=4，而S=2ab=[（a+b）2-（a-b）2]=8-（a-b）2≤8，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，S取得最大值8.

解后反思

1. 求解的關(guān)鍵點(diǎn)

第（2）（3）問(wèn)的求解相對(duì)較為復(fù)雜，但兩者之間存在一定的聯(lián)系，基本都是基于動(dòng)態(tài)三角形構(gòu)建的面積模型. 第二步研究特定情形下的面積最值，解題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是如何構(gòu)建一般三角形的面積模型，二是如何引入動(dòng)點(diǎn)參數(shù)，建立關(guān)于幾何面積的函數(shù)關(guān)系. 上述第二步的求解采用的是面積割補(bǔ)法，利用特殊三角形的組合來(lái)構(gòu)建，然后利用面積公式建立起動(dòng)點(diǎn)參數(shù)與幾何線段之間的聯(lián)系，從而將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較為直接的函數(shù)問(wèn)題，利用函數(shù)的取值模型來(lái)完成面積的最值分析. 第三步則是研究一般情形下的最值問(wèn)題，除了需要構(gòu)建面積模型，聯(lián)系動(dòng)點(diǎn)參數(shù)外，最為關(guān)鍵的一點(diǎn)是如何將動(dòng)態(tài)三角形量化. 上述解題過(guò)程采用了兩種解法，一種是直接設(shè)定動(dòng)態(tài)參數(shù)，分析兩變量之間的關(guān)系;另一種是利用于涵定理關(guān)于動(dòng)態(tài)三角形的面積模型，借助動(dòng)態(tài)坐標(biāo)參數(shù)來(lái)完成.

2. 問(wèn)題的研究模型

本題目的第（2）（3）問(wèn)為根據(jù)拋物線的表達(dá)式求解幾何面積的最值問(wèn)題，解題過(guò)程中使用到了最為常用的數(shù)學(xué)模型，即將一般三角形分割為具有公共底的特殊三角形，然后結(jié)合數(shù)學(xué)的模型思想，利用幾何面積公式、頂點(diǎn)坐標(biāo)建立起三角形面積關(guān)于坐標(biāo)參數(shù)的函數(shù)，然后通過(guò)研究函數(shù)的值域來(lái)求解，這是函數(shù)面積求解的常用模型. 巧解面積模型，構(gòu)造參數(shù)方程，是求解該類問(wèn)題十分有效的策略.

3. 關(guān)于問(wèn)題的變式

含參綜合題是初中數(shù)學(xué)較為典型的問(wèn)題，問(wèn)題類型也都大同小異，具有較為通用的解題思路，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行合理的變式，可以探究問(wèn)題的通性通法.

變式1：當(dāng)P的橫坐標(biāo)為-，且△DPQ是以頂點(diǎn)P為直角的直角三角形時(shí)，試求△DPQ的面積.

解題思路：求解過(guò)程必須強(qiáng)化對(duì)∠P=90°的理解，其指向除了DP⊥PQ，在函數(shù)方面的體現(xiàn)為DP所在直線與PQ所在直線斜率的乘積為-1，即k·k= -1，求解可先設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后分別求出兩條直線的斜率，進(jìn)而確定點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用上述提煉的三角形面積模型，即可完成求解.

變式2：P的橫坐標(biāo)為-，試求當(dāng)△DPQ面積取得最大值時(shí)，的值.

解題思路：該問(wèn)題實(shí)際上就是求△DPQ面積最大時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)，問(wèn)題本質(zhì)與第二步相同，同樣需要構(gòu)建關(guān)于動(dòng)點(diǎn)參數(shù)的面積模型. 通過(guò)研究函數(shù)方程來(lái)確定參數(shù)的取值，即點(diǎn)D的坐標(biāo)，最后再利用兩點(diǎn)之間的距離公式來(lái)求解.

教學(xué)建議

1. 注重引導(dǎo)學(xué)習(xí)，挖掘問(wèn)題本質(zhì)

對(duì)于解題教學(xué)，最為關(guān)鍵的一點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘問(wèn)題的隱含信息，把握問(wèn)題的本質(zhì)內(nèi)容. 如上述考題給出的直尺的寬度，其隱含信息是兩點(diǎn)之間的橫坐標(biāo)差值，而點(diǎn)位于曲線上，表達(dá)的含義是點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線的方程，即可以用一個(gè)坐標(biāo)參數(shù)來(lái)表示點(diǎn)的位置. 對(duì)于問(wèn)題所涉及的內(nèi)容，要逐步引導(dǎo)學(xué)生建立問(wèn)題與條件之間的聯(lián)系. 對(duì)于函數(shù)綜合題，需要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到幾何問(wèn)題與點(diǎn)坐標(biāo)之間的聯(lián)系，如求幾何線段、面積，實(shí)際上就是求點(diǎn)的坐標(biāo)，需建立線段與點(diǎn)坐標(biāo)參數(shù)的關(guān)系. 在引導(dǎo)的過(guò)程中可以適時(shí)展開追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深層思考，把握解題關(guān)鍵點(diǎn)，做到“解題明理”.

2. 充分參與思考，促成方法形成

有效的解題訓(xùn)練應(yīng)該確保學(xué)生充分參與，進(jìn)行思想的交流與碰撞，在思考求解的過(guò)程中促成解題方法的形成. 需要注意的是方法的形成并不完全是教師所指導(dǎo)的解法，而是學(xué)生自我內(nèi)化吸收所形成的適合自己的技巧方法. 這個(gè)過(guò)程中需要教師充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，讓其充分思考問(wèn)題，各抒己見. 交流的過(guò)程中教師也可以準(zhǔn)確把握學(xué)生理解的誤區(qū)，考慮到學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，從而做出針對(duì)性的調(diào)整. 同時(shí)在交流中學(xué)生也可以汲取他人思維上的閃光點(diǎn)，加入自己的理解，形成自己的觀點(diǎn)，自然而然地完成自我解題體系的構(gòu)建.

3. 強(qiáng)化變式學(xué)習(xí)，明一理通類題

解題教學(xué)最為重要的一環(huán)是基于問(wèn)題特點(diǎn)、解法開展的變式教學(xué)，該環(huán)節(jié)是由解題向明理過(guò)渡的重要過(guò)程. 對(duì)考題的變式探究，不僅僅是表面上對(duì)問(wèn)題形式的改變，而是基于問(wèn)題的研究模型、解題的思想方法、思路的構(gòu)建策略來(lái)完成的深度探究. 該環(huán)節(jié)需要教師合理把握變式尺度，既不能超綱偏向，也不能變式過(guò)微失去教學(xué)意義，而應(yīng)是基于學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和解題能力的階段性拓展. 以一些常見的考題類型為參考來(lái)開展的變式，在變式環(huán)節(jié)需要向?qū)W生闡明變式的意圖，以及破題的基本思路，使學(xué)生在基本的思維框架下完成開放問(wèn)題的解答，這樣的解題教學(xué)才能充分利用考題的價(jià)值，拓寬學(xué)生的解題思維.

結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)的諸多問(wèn)題具有一定的關(guān)聯(lián)性，問(wèn)題的研究模型、解題的基本思路存在一定的共性，充分利用這些通性通法，形成合理的解題策略，往往可以取得較好的解題效果. 在解題教學(xué)中，教師需要適時(shí)引導(dǎo)、合理變式，使學(xué)生認(rèn)識(shí)問(wèn)題的本質(zhì)，充分思考內(nèi)涵，掌握基本方法，形成解題策略，實(shí)現(xiàn)“通一題，通類題;明一例，明數(shù)理”的解題目標(biāo).