淺談模型思想在數(shù)學教學中的滲透策略

謝文鋒

數(shù)學模型是隱含的、內(nèi)斂的、不易感知的一種數(shù)量關(guān)系，致使許多一線教師在實際教學中，似無意又有意忽略了對模型思想的滲透。在蘇教版教材一系列“解決問題的策略”的教學內(nèi)容中，便蘊含著模型思想，是教師們培養(yǎng)學生模型意識、滲透模型思想的良好素材。如果用得恰當，會起到事半功倍的作用。下面，筆者就結(jié)合蘇教版六上“解決問題的策略”為例，談?wù)勛约旱目捶ā?/p>

一、多種方式循序漸進，精準構(gòu)建數(shù)學模型

在課堂中，首先要盡快抓住模型的特征，讓學生直觀感受到模型的特點，為建立清晰、完整的模型思想奠定基礎(chǔ)。

1. 自主探究，嘗試建構(gòu)。自主探索與合作交流是重要的學習方式，創(chuàng)造學生主動參與的課堂環(huán)境，讓學生經(jīng)歷模型的再創(chuàng)造過程，這樣的模型建構(gòu)才越有效。

例如，在課的一開始，筆者先出示一道復習題：小明把720毫升果汁倒入9個同樣的杯子里，每個杯子的果汁是多少毫升？學生解答完之后，出示例題：小明把720毫升果汁倒入6個小杯和1個大杯，小杯的容量是大杯的，小杯和大杯的容量各是多少毫升？學生讀完題后，筆者提問：“通過讀題，這道題是不是比上一題難，那么難在哪呢？”學生順勢展開思考，經(jīng)過師生、學生之間的互動與引導，學生有了如下的感受：一是這個問題含有兩個未知量，前面的復習題只有一個未知量;二是兩個未知量之間存在相關(guān)數(shù)量關(guān)系。

當學生已經(jīng)知道要求兩個杯子的容量應(yīng)圍繞兩個特征展開時，筆者引導學生獨立思考，并在讓其與同桌討論、交流的基礎(chǔ)上，整理出如下兩種方法。

方法一：假設(shè)把720 mL的果汁全部倒入大杯，因為一個大杯等于3個小杯，就可以看作一共有大杯：6÷3+1=3（個），這時就能求出一個大杯的容量是：720÷3=240（mL），小杯的容量是：240÷3=80（mL）。

方法二：假設(shè)把720 mL果汁全部倒入小杯，因為一個大杯等于3個小杯，所以一共就有小杯：6+1×3=9（個），一個小杯的容量是：720÷9=80（mL），大杯容量就是：80×3=240（mL）。

接著引導學生共同分析這兩種解法有什么不同和相同的地方，這兩種解法都運用了什么樣的方法？在學生回答的基礎(chǔ)上，筆者進一步指出并明確：“同學們解答這道題就用了今天所學習的內(nèi)容——假設(shè)策略?！边@樣的過程，既讓學生自主經(jīng)歷探索模型ax=c的構(gòu)建過程，又能激發(fā)學生對數(shù)學學習的興趣與自信心。

2. 重視語言表達，促進建構(gòu)模型。小學生在理解、掌握、運用數(shù)學模型的過程中，要充分發(fā)揮語言的作用，讓模型以完整的姿態(tài)出現(xiàn)在學生腦海中，才能對所學模型有深刻的認識。在本課例中，筆者就使用了描述性語言幫助學生建構(gòu)模型。

學生在用前面的兩種方法解答出所求問題后，筆者接連出示如下問題：（1）這道題為什么用假設(shè)策略？（2）根據(jù)什么來假設(shè)？（3）你認為解答什么樣的問題要用到假設(shè)策略？筆者組織小組與小組進行辯論，最終學生就用語言完整、清晰地描述出數(shù)學模型：使用假設(shè)策略的問題必須要含有兩個未知量，同時這兩個未知量之間還要存在一定的聯(lián)系。

3. 重視對比，內(nèi)化模型。在課堂教學中可以運用對比的方式，讓學生在對比中辨別數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)，使得模型的內(nèi)涵更加突顯，以便學生對模型的理解更精確。

例如，學生在掌握策略之后，筆者出示如下三道題。

（1）8輛小貨車和1輛大貨車共載貨48噸，1輛大貨車的載重量是小貨車的4倍，那么小貨車和大貨車的載重量分別是多少噸？

（2）__________________一支鋼筆與鉛筆各是多少元？

（3）明明有蘭花6朵，軍軍的蘭花是明明的3倍，冬冬的蘭花是軍軍的4倍。軍軍和冬冬各有蘭花多少朵？

在學生完成三道題的解答后，筆者提問：“同學們，做完這三道題，你有什么想說的？”

生1：第一道題能用假設(shè)策略解答，第二道題和第三道題不能用假設(shè)策略解答。

生2：第二道題如果加上“一支鋼筆的價格是鉛筆的幾倍”也可以用假設(shè)策略解答了。

師：看來要用假設(shè)策略解答問題，必需滿足什么樣的條件？

生1：問題中除了要有兩個未知數(shù)，而且兩個未知數(shù)之間一定要有關(guān)系。

師：第三個問題也有兩個未知數(shù)，兩個未知數(shù)之間也有關(guān)系，怎么就不用呢？

在學生不斷地思考和筆者的引導下，就有以下的結(jié)論。

生3：這道題按照條件一步步算下去，就非常容易解決了，沒有必要再用假設(shè)的方法來解決。

生4：前面用假設(shè)策略解決的問題中，兩個未知量與總量之間有關(guān)系，這道題中總量與這兩個未知數(shù)沒有聯(lián)系，所以就不能用假設(shè)策略。

到此，學生對假設(shè)策略的理解就更進一步了，這歸功于學生在對比中辨別題目中兩個未知量a、b的數(shù)量對應(yīng)關(guān)系，最終在對比中提升對數(shù)學模型ax=c的再認識。

二、拓寬學習厚度，靈活運用模型

模型源于生活，它是將抽象的數(shù)學問題進行簡化構(gòu)建，以利于實際問題的有效解決。因此，學生在掌握模型之后，應(yīng)適當拓寬學生的眼界，幫助他們溝通模型的內(nèi)在聯(lián)系，并能靈活應(yīng)用模型解決生活中的實際問題。

1. 縱向拓寬，溝通知識的內(nèi)在本質(zhì)。教師可以通過挖掘相關(guān)的知識，讓學生感受模型的多樣性與靈活性。

例如，下面的環(huán)節(jié)設(shè)計就充分考慮這方面因素。教師出示三種不同的假設(shè)：（1）計算除數(shù)是兩位數(shù)的除法;（2）整數(shù)相乘的估算;（3）已知兩數(shù)的和與差，分別求兩數(shù)的問題。筆者啟發(fā)學生思考：“同學們，看到這些，你們有什么想說的呢？”經(jīng)過交流，學生對假設(shè)思想就有了更深的體會：（1）假設(shè)思想可以運用在不同的地方;（2）假設(shè)策略的表現(xiàn)形式靈活多樣，既可以用圖形來表達，也能用線段圖表達，還能在計算中表達。

2. 變化問題情境，深刻體會模型要素。模型運用的廣泛性決定了其表現(xiàn)的多樣性。因此，應(yīng)通過讓學生在不同的問題情境中應(yīng)用模型，從多樣性的情境中感悟、把握模型的本質(zhì)特征，使學生體會到變的是外形，不變的是模型本質(zhì)。教師可設(shè)計如下的課堂鞏固練習。

（1）右邊木架子的藥水共有1690毫升，每個小瓶里的藥水是大瓶子的。每個大瓶子里的藥水有多少毫升？每個小瓶呢？

甲、乙兩車載重量各是多少噸？

以上習題的設(shè)置，一方面讓學生體會到：雖然情境及問題不同，但它們之間的本質(zhì)是相同的，都可以運用假設(shè)的策略來解答。另一方面，通過練習，學生運用模型解決實際問題的靈活性與自覺性得以培養(yǎng)，有助于學生把模型思想內(nèi)化為一種能夠?qū)?shù)學學習起支撐作用的觀念和意識。

（作者單位：福建省霞浦縣教師進修學校 責任編輯：王振輝）