初中數(shù)學(xué)開(kāi)放性習(xí)題類型及解題技巧

聞春華

摘 要：開(kāi)放性習(xí)題在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的引入是為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和邏輯思維能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高數(shù)學(xué)教學(xué)的效率及學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量。而開(kāi)放性習(xí)題的類型有很多種，常見(jiàn)的有條件開(kāi)放性、結(jié)論開(kāi)放性、策略開(kāi)放性、綜合開(kāi)放性等等。對(duì)初中數(shù)學(xué)中存在的幾種開(kāi)放性習(xí)題類型進(jìn)行分析，并提出相應(yīng)的解題技巧，進(jìn)而有效推進(jìn)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的改革。

關(guān)鍵詞：開(kāi)放性習(xí)題；解題技巧；分類討論

一、初中數(shù)學(xué)開(kāi)放性習(xí)題的特點(diǎn)以及作用

（一）開(kāi)放性習(xí)題的特點(diǎn)

什么是數(shù)學(xué)開(kāi)放題？對(duì)于數(shù)學(xué)開(kāi)放題目前還沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的定義，但是可以總結(jié)一些開(kāi)放性習(xí)題的特點(diǎn)，比如答案不固定、條件不完整、條件多余、條件不足、多種答案、多種解法等等，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，出現(xiàn)了獨(dú)特設(shè)計(jì)、個(gè)性開(kāi)放的題目，與傳統(tǒng)中規(guī)中矩的題目不同，開(kāi)放性習(xí)題構(gòu)思獨(dú)特，能夠培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，在數(shù)學(xué)教學(xué)中最富有研究?jī)r(jià)值，是應(yīng)試教育向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)變的重要體現(xiàn)。同時(shí)，開(kāi)放性習(xí)題還具有內(nèi)容新穎、條件與結(jié)論不定、解題思路靈活的特點(diǎn)，與學(xué)生的實(shí)際生活貼近。形式也多種多樣，具有可塑性，探索結(jié)論、解法，充分體現(xiàn)出了現(xiàn)代化的教學(xué)氣息。還有一個(gè)明顯的特征就是答案不是唯一的，需要通過(guò)多種思維觀察題目，對(duì)題目進(jìn)行想象、歸納、類比，挖掘多種解題方式，創(chuàng)新性的解題方式能夠滿足現(xiàn)代人才發(fā)展競(jìng)爭(zhēng)要求。

（二）開(kāi)放性習(xí)題的作用

1.對(duì)學(xué)生的教育作用

有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維，讓學(xué)生打破原有的思維模式，通過(guò)聯(lián)想與想象的方式多角度進(jìn)行思考，有助于學(xué)生創(chuàng)造能力以及思維模式的形成。開(kāi)放性習(xí)題的不確定性是教師研究的主要問(wèn)題，通過(guò)師生交流的形式將開(kāi)放性習(xí)題融入課堂中，激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考的能力，讓學(xué)生能夠構(gòu)建知識(shí)形成的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維能力以及創(chuàng)造能力。有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，通過(guò)合作的形式完成學(xué)習(xí)與競(jìng)爭(zhēng)，讓學(xué)生暢所欲言，通過(guò)實(shí)踐的形式進(jìn)行解題，在輕松愉快的氛圍中學(xué)習(xí)，能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力，從而對(duì)學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚的興趣。有利于強(qiáng)化學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，因?yàn)殚_(kāi)放性習(xí)題的答案與模式不固定，學(xué)生需要調(diào)動(dòng)所有的知識(shí)，用多種思維模式對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探索，強(qiáng)化學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與探究能力。

2.對(duì)教師的教學(xué)作用

轉(zhuǎn)變教師的觀念與角色，用動(dòng)態(tài)式、開(kāi)放式的教學(xué)理解數(shù)學(xué)知識(shí)，以學(xué)生作為教育的中心，而不僅僅是一個(gè)知識(shí)的傳授者，對(duì)教學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行設(shè)計(jì)，做課程的組織者與設(shè)計(jì)者，從而大大提高教學(xué)效果。

二、初中數(shù)學(xué)開(kāi)放性習(xí)題類型

（一）結(jié)論開(kāi)放性

結(jié)論開(kāi)放性就是在既定的條件下探索對(duì)象是否真實(shí)存在，分為結(jié)論存在與不存在兩種情況，解題的方法為如果結(jié)論存在，通過(guò)演繹推理的方式得出結(jié)論，從而做出準(zhǔn)確的判斷。

比如，已知⊙O的半徑為5cm，弦AB//CD且AB=6cm，CD=8cm，求出弦AB與CD之間的距離。

由于題目設(shè)定的條件僅僅只有弦AB//CD，并沒(méi)有指出它們與圓心O的位置關(guān)系，因此需要根據(jù)多圖性畫出兩種不同的圖形，如圖1和圖2所示，由圖1可以求出AB與CD之間的距離為1cm；

（二）條件開(kāi)放性

條件開(kāi)放性題型，從結(jié)論出發(fā)，與圖形相結(jié)合，考慮問(wèn)題需要具備的條件，然后進(jìn)行逆向思維挖掘，逐步找出解決問(wèn)題的方法，這類題型考查最多的是對(duì)命題或結(jié)論的判斷，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)題設(shè)條件的多樣化。比如，在平行四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC，請(qǐng)?jiān)偬砑右粋€(gè)條件，使四邊形ABCD是矩形。解答過(guò)程為：因?yàn)锳B=DC，AD=BC，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形定理，得出四邊形ABCD是平行四邊形。又因?yàn)橛幸粋€(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，可以添加條件∠A=90°，或者根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，添加AC=BD，這些都是符合題意的。

（三）策略開(kāi)放性

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中策略開(kāi)放性的數(shù)學(xué)題目，是指解題中所需要的條件是解題的依據(jù)和方法。計(jì)算： + + + + ，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)以下幾種解決方式。

（1）直接通分，相加后再約分；

（2）原式=（ + + + + ）×60× = ；

（3）原式=（1- ）+（ - ）+（ - ）+（ - ）+（ - ）=1- = 。

方法（1）屬于常規(guī)性解題方法；方法（2）屬于一種化歸思想，但是也不簡(jiǎn)單；方法（3）轉(zhuǎn)化為一些互為相反數(shù)的和進(jìn)行計(jì)算，方式新穎，簡(jiǎn)單。那么解決這種問(wèn)題需要采取一定的解題策略進(jìn)行計(jì)算思考，總結(jié)一定的規(guī)律，教師可以進(jìn)行策略性的指導(dǎo)，為學(xué)生在解題過(guò)程中建立一定的思維模式和知識(shí)體系。

（四）條件和結(jié)論同時(shí)開(kāi)放性

條件和結(jié)論同時(shí)開(kāi)放性習(xí)題，這類題型的主要特征就是條件和結(jié)論都沒(méi)有給出，需要學(xué)生在應(yīng)用題中將已有的信息通過(guò)合理分析推理，發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律并進(jìn)行結(jié)論總結(jié)。比如，在下列四個(gè)條件中，以其中兩個(gè)作為已知條件，第三個(gè)作為結(jié)論，推理出一個(gè)準(zhǔn)確的命題。如圖3所示，（1）AE=AD；（2）AB=AC；（3）OB=OC；（4）∠B=∠C，條件與結(jié)論均為開(kāi)放性的試題，要求自行組建命題，掌握三角形的全等判定條件，得出：（1）已知AE=AD，AB=AC，求證∠B=∠C；（2）已知AB=AC，∠B=∠C，求證AE=AD；（3）已知AE=AD，∠B=∠C，求證AB=AC。

三、開(kāi)放性習(xí)題解題技巧

（一）方程（組）開(kāi)放題

方程（組）開(kāi)放題主要以方程和方程組作為知識(shí)背景，探索方程（組）的有解的條件和情況，求出參數(shù)的值。比如關(guān)于x的方程 = 無(wú)解，求a的值。解決這類題型時(shí)，屬于“存在性”開(kāi)放題，解題的一般思路為先假設(shè)滿足條件的結(jié)果存在，其中有一種情況為方程有增根a=2，再根據(jù)掌握的知識(shí)進(jìn)行推理，得到（a-1）x=2，原一次方程無(wú)解，a≠1，得到結(jié)果。由特殊方程轉(zhuǎn)化到一般方程，尋求題目?jī)?nèi)在的規(guī)律。有時(shí)也以實(shí)際問(wèn)題為背景，需數(shù)學(xué)化后建立數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建方程（組），然后再用方程（組）解的情況進(jìn)行分類討論。

（二）函數(shù)開(kāi)放題

以函數(shù)知識(shí)為解題背景，探索函數(shù)解析式中字母系數(shù)的關(guān)系以及滿足條件點(diǎn)的可能性。比如已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），如圖4所示，求出圖象中所顯示的拋物線的特征，得到二次函數(shù)的系數(shù)存在的關(guān)系與結(jié)論。分析（1）a>0；（2）b+2a=0；（3）b2-4ac>0…這類題型屬于典型的圖象信息開(kāi)放題型，只有認(rèn)真觀察圖象上給出的數(shù)據(jù)以及位置特征，靈活運(yùn)用已知的函數(shù)性質(zhì)，從而找出與條件相關(guān)的結(jié)論。數(shù)形結(jié)合是解決此類型重要的思想方法。

（三）幾何開(kāi)放題

以幾何圖形為背景設(shè)置幾何量間的關(guān)系，如圖5所示，在半徑為5的⊙中，弦AB=8，P是弦AB所對(duì)的優(yōu)弧上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP，過(guò)點(diǎn)A做AP的垂線交射線PB于點(diǎn)C，當(dāng)△PAB是等腰三角形時(shí)，求線段BC的長(zhǎng)。這類問(wèn)題屬于條件探索型問(wèn)題，△PAB是等腰三角形，可聯(lián)想到（1）PA=PB；（2）AP=AB；（3）BA=BP三種思路。解決探索型的開(kāi)放性習(xí)題時(shí)，一般的解答方法是執(zhí)果索因，根據(jù)分類討論思想畫出符合條件的圖形，必要時(shí)，需根據(jù)條件中的提示，畫出輔助線，根據(jù)圖形推導(dǎo)出需要增加的條件，為探索結(jié)論做準(zhǔn)備，對(duì)于沒(méi)有結(jié)論的問(wèn)題需要進(jìn)行逆向思維考慮，尋找否定結(jié)論的反例以達(dá)到解題的目的。

（四）綜合性開(kāi)放題

綜合性開(kāi)放題就是將幾何、代數(shù)知識(shí)結(jié)合在一起作為背景，考驗(yàn)學(xué)生的分析能力以及推理能力，綜合運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行解題。這類題型主要有兩大特點(diǎn)，首先是知識(shí)點(diǎn)的綜合，在一道題中涉及大量的子知識(shí)點(diǎn)，解題時(shí)需串聯(lián)起知識(shí)鏈。其次是代數(shù)與幾何的綜合，題中既包含幾何知識(shí)，又需要代數(shù)的知識(shí)。如：如圖，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x，（1）當(dāng)x為何值時(shí)，PQ∥BC？（2）△APQ能否與△CQB相似，若能，求出AP的長(zhǎng)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

這類問(wèn)題看似是幾何圖形問(wèn)題，通過(guò)分析題意可知，它包含的知識(shí)點(diǎn)有動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、兩線平行、特殊三角形、相似三角形、方程等。在（2）中，利用圖中不同的等量關(guān)系，列出方程，把圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題來(lái)解題。這類綜合性開(kāi)放題經(jīng)常出現(xiàn)在中考?jí)狠S題中，它是中考復(fù)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)。解題時(shí)，既要關(guān)注圖形的特征，又要理解它與方程、函數(shù)之間的聯(lián)系。解題思想方法上，不能用單一的方法，而是需將數(shù)形結(jié)合、分類討論等各種思想方法綜合，才能逐步得出結(jié)論。

總之，開(kāi)放性解題實(shí)例，對(duì)初中數(shù)學(xué)開(kāi)放性解題技巧進(jìn)行總結(jié)，從問(wèn)題中給出的特殊的點(diǎn)、數(shù)、線段或者角探索問(wèn)題，尋找題目中存在的客觀規(guī)律，進(jìn)一步挖掘問(wèn)題的本質(zhì)，然后進(jìn)行總結(jié)、概括。利用類比、歸納的解題方法，與相似題目的解題方法進(jìn)行聯(lián)想，通過(guò)類比尋找解決問(wèn)題的途徑。對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類概括，如果遇到命題的條件與結(jié)論無(wú)法統(tǒng)一解答時(shí)，根據(jù)可能出現(xiàn)的情況分類求解，在進(jìn)行分類解題時(shí)不能出現(xiàn)重復(fù)和遺漏的情況，有方法地進(jìn)行分類，最后將得出的結(jié)果進(jìn)行歸納，得到問(wèn)題答案。通過(guò)驗(yàn)證推理的方法，假設(shè)問(wèn)題中存在對(duì)象，根據(jù)題意對(duì)問(wèn)題進(jìn)行構(gòu)造推導(dǎo)，最后利用題設(shè)中的條件進(jìn)行說(shuō)明，對(duì)得出的結(jié)果進(jìn)行肯定或否定，找到解題方法，得出結(jié)果。要想提高學(xué)生開(kāi)放性的解題能力，需要在平時(shí)的教學(xué)中對(duì)學(xué)生的思維進(jìn)行培養(yǎng)，加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)以及對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，在腦中建立清晰的數(shù)學(xué)解題思維，為解決開(kāi)放性試題奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

綜上所述，通過(guò)筆者對(duì)初中數(shù)學(xué)開(kāi)放題的研究，積累了一定的解題經(jīng)驗(yàn)，并在平時(shí)的教學(xué)中進(jìn)行實(shí)踐，激勵(lì)學(xué)生積極主動(dòng)探索數(shù)學(xué)認(rèn)知規(guī)律，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氛圍煥發(fā)新的活力，真正實(shí)現(xiàn)素質(zhì)教育，讓不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展。所以開(kāi)放性習(xí)題在數(shù)學(xué)教學(xué)中的出現(xiàn)正是今后學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，教師要充分正視數(shù)學(xué)教學(xué)工作中學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和邏輯思維能力的培養(yǎng)，努力實(shí)現(xiàn)初中數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)，把教學(xué)改革推上一個(gè)新的臺(tái)階。

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編輯 趙飛飛