我是如何上好“點(diǎn)到直線距離”這節(jié)課的

洪金姬

摘 要： 本節(jié)課采用提出問(wèn)題、探索討論、師生互動(dòng)、生生點(diǎn)評(píng)、教師總結(jié)相結(jié)合的方式，在學(xué)生自主探索討論過(guò)程中，教師循循善誘，學(xué)生拾級(jí)而上，圍繞問(wèn)題進(jìn)行觀察、思考、分析、討論，從而概括、遷移、綜合數(shù)學(xué)方法，推導(dǎo)出點(diǎn)到直線距離公式.

關(guān)鍵詞： 點(diǎn)到直線距離公式 轉(zhuǎn)化與化歸 分類討論 坐標(biāo)法

新課程下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該以學(xué)生發(fā)展為主軸，所創(chuàng)設(shè)的情境是學(xué)生熟悉的，設(shè)計(jì)的問(wèn)題是學(xué)生能解決的，采用的教學(xué)方式是學(xué)生易接受的，符合維果斯基所倡導(dǎo)的“最近發(fā)展區(qū)”理論.通過(guò)特殊的、典型的問(wèn)題，以及學(xué)生共同體的自主探索活動(dòng)，將已解決問(wèn)題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法遷移到更一般的待解決問(wèn)題中，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài).

“點(diǎn)到直線的距離”這一節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)習(xí)直線方程及兩點(diǎn)間的距離公式的基礎(chǔ)上，為以后研究平行直線之間的距離，直線與圓的位置關(guān)系，乃至以后解析幾何中的三角形面積問(wèn)題埋下伏筆.新課程標(biāo)準(zhǔn)要求教學(xué)過(guò)程不僅要重視基礎(chǔ)知識(shí)、技能教學(xué)，更要關(guān)注知識(shí)形成過(guò)程與方法的教學(xué)，也就是不僅知其然，更要知其所以然，因此這節(jié)課的內(nèi)容不僅是公式的運(yùn)用，還要在公式的推導(dǎo)中，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想，鍛煉思維品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，感受數(shù)學(xué)方法的奧妙.

1.教學(xué)課題

人民教育出版社的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（必修）《數(shù)學(xué)2》，第三章第三節(jié)的第三小節(jié)“點(diǎn)到直線的距離”，共1個(gè)課時(shí).

2.教學(xué)對(duì)象

寧波市鄞州區(qū)鄞州高級(jí)中學(xué)高二學(xué)生.

3.設(shè)計(jì)要點(diǎn)

本設(shè)計(jì)以問(wèn)題“求點(diǎn)到直線的距離”為中心，運(yùn)用啟發(fā)式教學(xué)模式，采用提出問(wèn)題—解決問(wèn)題—啟發(fā)遷移—解決問(wèn)題—總結(jié)思想方法的設(shè)計(jì)模式，要求學(xué)生不斷分析、探究問(wèn)題，制定解決問(wèn)題的策略.此外，教師給予適當(dāng)數(shù)學(xué)支持，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo).

4.教學(xué)目標(biāo)

4.1知識(shí)與技能目標(biāo)

4.1.1掌握點(diǎn)到直線距離公式的若干推導(dǎo)方法，體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想方法；

4.1.2能運(yùn)用點(diǎn)到直線距離公式求點(diǎn)到直線距離及與之相關(guān)的問(wèn)題.

4.2過(guò)程與方法目標(biāo)

4.2.1在對(duì)問(wèn)題觀察、思考、分析、討論的過(guò)程中，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、遷移、概括、發(fā)展和應(yīng)用，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力；

4.2.2滲透推導(dǎo)中的數(shù)學(xué)思想方法；

4.2.3通過(guò)對(duì)問(wèn)題的思考、探究交流，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)交流能力，以及形成數(shù)學(xué)知識(shí)的概括能力.

4.3情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)

4.3.1體驗(yàn)獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的成功感受，激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和研究幾何的積極性及對(duì)數(shù)學(xué)的情感；

4.3.2通過(guò)生生、師生之間的交流與配合，在問(wèn)題的探究、討論中，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度及良好的思維習(xí)慣；

4.3.3培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)，個(gè)性品質(zhì)，以及勇于探究的科學(xué)精神.

5.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

5.1教學(xué)重點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式推導(dǎo)及公式的應(yīng)用；

5.2教學(xué)難點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo).

6.教學(xué)方法

研究式與啟發(fā)式并用

7.教學(xué)過(guò)程

7.1小試牛刀——情感體驗(yàn)

一、點(diǎn)到特殊直線的距離問(wèn)題

教師用電腦顯示屏展示以下兩個(gè)問(wèn)題：

以上師生共同歸納完成，具體過(guò)程恕不贅述.

以學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題為情景，學(xué)生自主研究、探索，從而獲得點(diǎn)到特殊直線距離公式的發(fā)生過(guò)程，可采用圖像法，定性地歸納，讓學(xué)生體驗(yàn)獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的信心與樂(lè)趣.

7.2借題引路——授生以漁

教師用電腦顯示屏展示以下四個(gè)問(wèn)題，同時(shí)要求學(xué)生以6人或6人以上為一組，集體探究、討論.

二、點(diǎn)到一般直線的距離問(wèn)題

（2）求點(diǎn)P到直線l的距離.

7.3合作交流——模型遷移

著名心理學(xué)家巴甫洛夫的理論認(rèn)為：創(chuàng)造性思維活動(dòng)稱為原型啟發(fā)，創(chuàng)造性思維通常是在某個(gè)原型的啟發(fā)下形成的.例如偉大的數(shù)學(xué)家笛卡爾在夢(mèng)見(jiàn)蜘蛛“表演”的啟示下，創(chuàng)造了笛卡爾坐標(biāo)系，由此可見(jiàn)，啟發(fā)原型在數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)中有多么重要.

啟發(fā)式教學(xué)就是在教師引導(dǎo)下，要以問(wèn)題為載體，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新素質(zhì)為中心，以學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐、自主探究、合作交流為主要學(xué)習(xí)方式，通過(guò)小組合作學(xué)習(xí)和組間交流競(jìng)爭(zhēng)為主要途徑，實(shí)現(xiàn)全體學(xué)生的主動(dòng)性、社會(huì)性和創(chuàng)造性地和諧發(fā)展的教學(xué)活動(dòng)方式，要體現(xiàn)教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體，思維訓(xùn)練為主線的教育理念.在巡視教室的同時(shí)，教師要給予學(xué)生適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)支持，保持課堂氣氛活躍，使得生生、師生之間產(chǎn)生互動(dòng)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，活躍課堂氣氛，進(jìn)一步發(fā)揮學(xué)生的主體意識(shí)和主觀能動(dòng)性，使學(xué)生從具體問(wèn)題的分析過(guò)程中得到啟發(fā)，從而更好地優(yōu)化課堂教學(xué)，改善課堂教學(xué)效果.

7.4庖丁解?！_(dá)成共識(shí)

7.5生生互評(píng)——對(duì)比總結(jié)

教師：通過(guò)這節(jié)課，我們進(jìn)行了點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)，方法多種多樣，實(shí)際上方法不止十種，由于時(shí)間關(guān)系，在這里僅僅是研究了其中的四種.那么我們?cè)賮?lái)品味一下，每種方法的本質(zhì)，以及蘊(yùn)含著的數(shù)學(xué)思想如何？

眾生議論，每組又派出另外一名代表，針對(duì)推導(dǎo)的方法進(jìn)行總結(jié).

學(xué)生1：方法1是最常規(guī)的，雖然直接求射影運(yùn)算比較繁瑣，但是通過(guò)設(shè)而不求，整體代換，用一種湊的技巧來(lái)求解，使得運(yùn)算簡(jiǎn)化很多.該方法的本質(zhì)，是把點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，也就是直線外一點(diǎn)與該點(diǎn)在直線上射影之間的距離，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸思想.

學(xué)生2：方法2是運(yùn)算相對(duì)比較常規(guī)，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用等積法求點(diǎn)到直線的距離公式，其實(shí)也與方法1類似，體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想.

學(xué)生3：方法3的特點(diǎn)是運(yùn)用向量數(shù)量積的幾何意義，將點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與直線上的點(diǎn)所成的向量在直線法向量方向上投影的長(zhǎng)度，也體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想.

學(xué)生4：方法4的特點(diǎn)是根據(jù)已經(jīng)成立的不等式，將兩點(diǎn)間的距離公式湊成與之結(jié)構(gòu)相應(yīng)的不等式，構(gòu)思非常巧妙，最后用函數(shù)思想求代數(shù)式的最小值，也是將幾何中的最值問(wèn)題化歸為代數(shù)中的最值問(wèn)題.

話音剛落，又有一位學(xué)生舉手欲語(yǔ)，老師示意讓其發(fā)言.

學(xué)生5：我覺(jué)得這四種方法還有內(nèi)在聯(lián)系，不僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思想上的相同，還有這四個(gè)方法都是以坐標(biāo)法為核心的，都需要借助于坐標(biāo)求解或表示相關(guān)量.

7.6教師點(diǎn)評(píng)——課堂小結(jié)

教師：五位同學(xué)的點(diǎn)評(píng)比較到位，也把其中的數(shù)學(xué)思想方法講得比較透徹.通過(guò)點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)，我們用不同技巧方法，不同思維角度進(jìn)行探究，四種方法可謂各有千秋，但是其中蘊(yùn)含的思想方法卻大同小異，借助于特殊問(wèn)題的啟發(fā)，運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想和坐標(biāo)法思想來(lái)推導(dǎo).此外，對(duì)于以上四種方法，其實(shí)方法1、2在細(xì)節(jié)上還要進(jìn)行分類討論，也就是直線方程l：Ax+By+C=0中的A=0，或B=0中有一個(gè)成立的時(shí)候，公式還是成立的，具體操作請(qǐng)同學(xué)們?cè)谡n后完成.

7.7運(yùn)用公式——體會(huì)價(jià)值

例1.（1）求點(diǎn)P（1，-3）到直線l：2x+y-3=0的距離；

（2）求點(diǎn)P（1，-3）到直線l：2x+y+1=0的距離.

例2.已知A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求△ABC的面積.

設(shè)計(jì)這兩個(gè)例題的目的是說(shuō)明點(diǎn)到直線距離公式不僅適用于特殊直線、特殊點(diǎn)、一般直線，還可以應(yīng)用到距離相關(guān)的三角形面積問(wèn)題.具體過(guò)程不再贅述.

7.8課后作業(yè)（略）

參考文獻(xiàn)：

[1]袁振國(guó).當(dāng)代教育學(xué).

[2]黃希庭.心理學(xué).

[3]馮斌，尚俊.等比數(shù)列前n項(xiàng)和的教學(xué)設(shè)計(jì).上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2006，5.