論高中數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造法的運用

摘要：構(gòu)造法是求解高中數(shù)學(xué)問題常用方法之一，其能更加直觀便捷地解決一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。本文就構(gòu)造法定義進行簡單分析，闡述其特征與研究價值，在此基礎(chǔ)上對如何利用構(gòu)造法解決高中數(shù)學(xué)問題進行實際應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 構(gòu)造法 直觀 實際應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用構(gòu)造法，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維，還能夠提高學(xué)生解題效率，為學(xué)生樹立學(xué)習(xí)信心。因此在日常解題中，應(yīng)該重視構(gòu)造法應(yīng)用，通過構(gòu)造法，將復(fù)雜問題簡單化，進而提高學(xué)習(xí)效率，提高解題質(zhì)量。本文就高中數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造法的運用進行分析。

一、構(gòu)造法的特征及研究價值

構(gòu)造法，是指根據(jù)數(shù)學(xué)問題中已知條件，構(gòu)造出與之相關(guān)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，將問題中未知量轉(zhuǎn)變?yōu)橐阎獌?nèi)容[1]。其特征在于構(gòu)建已知與未知，問題與結(jié)論之間的聯(lián)系，在一定程度上，將比較模糊的關(guān)系變得清晰起來。利用構(gòu)造法可以將復(fù)雜的問題簡單化，提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率。在解題過程中，學(xué)生主要利用數(shù)形結(jié)合或者是圖形的方式表示已知量，在此基礎(chǔ)上進行解題。此外構(gòu)造法在函數(shù)、方程式、不等式等各個方面都可以應(yīng)用，可以將復(fù)雜的問題簡單化，對學(xué)生思維模式和學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)，具有促進作用，有效提高學(xué)生的創(chuàng)造性思維和發(fā)散性思維。

二、高中數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造法的實際應(yīng)用

（一）構(gòu)造函數(shù)

高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題，被認(rèn)為是比較復(fù)雜也相對較難的學(xué)習(xí)內(nèi)容，應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)，不僅可以理清學(xué)生解題思路，也可以提高學(xué)生函數(shù)學(xué)習(xí)能力。在函數(shù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生不僅需要掌握函數(shù)基礎(chǔ)知識，同時需要培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維。對于我們而言，在函數(shù)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)思維十分重要，是解題的關(guān)鍵。在函數(shù)問題中，利用構(gòu)造法解題，不僅可以將抽象的問題直觀化，同時能夠降低問題難度，提高學(xué)生解題效率。

例如，設(shè)函數(shù)f（x）在R上的導(dǎo)函數(shù)是f′（x），且2f（x）+xf（x）>x，2證明不等式f（x）>0在R上恒成立。

解析：從直觀上觀察，條件與結(jié)論之間幾乎沒有聯(lián)系，故采用構(gòu)造函數(shù)法。構(gòu)造函數(shù)g（x）=x2f（x），可知g（x）與f（x）正負(fù)一致，其導(dǎo)函數(shù)為g′（x）=x[2f（x）+xf'（x）]。當(dāng)x=0時，帶入已知條件中，可得f（x）>0;當(dāng)x<0時，已知條件可轉(zhuǎn)換為2f（x）+xf（x）=■>x2，可推出g′（x）<0，即函數(shù)g （x）單調(diào)遞減，故在x<0時，g （x）>g（0）=0，所以f（x）>0;當(dāng)x>0時，已知條件可轉(zhuǎn)換為2f （x）+xf'（x）=■>x2，可推出g′（x）>0，即函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，故在x>0時，g（x）>g（0）=0，所以f （x）>0。綜上所述，在R上f （x）>0。

（二）構(gòu)造方程

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，無論是函數(shù)問題還是幾何問題，在計算過程中，都離不開方程的應(yīng)用，利用已知條件和相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系去構(gòu)造出與結(jié)論相關(guān)的輔助方程，可以建立起未知量與已知量之間的聯(lián)系。通過分析所構(gòu)造輔助方程的性質(zhì)來解決原問題，使解答更加簡潔清晰。

例如，已知a，b，c均為實數(shù)，且a+b=4，2c2-ab=4■c-10，求ab、c2的值。

解析：因為a+b=4，ab=2c2-4■c+10，將a和b看作是一元二次方程的兩個根，可以構(gòu)造輔助方程：x2-（a+b）x+ab=0，將條件帶入可得到：x2-4x，+2c2-4■c+10=0將其轉(zhuǎn)換為（x-2）2+2（c-■）2=0，故（x-2）=0，（c-■）=0，由此可以得出c=■，進而得到ab=4、c2=3。

（三）構(gòu)造幾何圖形

高中數(shù)學(xué)中，圖形問題應(yīng)用比較廣泛，利用圖形可以將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題以直觀的方式呈現(xiàn)出來，使問題更加形象具體，進而提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率[2]。在數(shù)學(xué)問題中利用圖形解題，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生思維能力，也可以培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，利用構(gòu)造幾何圖形法進行解題，可以將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成幾何內(nèi)容，然后利用幾何內(nèi)容基礎(chǔ)知識進行解題。在數(shù)學(xué)問題中靈活應(yīng)用構(gòu)造幾何法，把實際問題中的條件及其相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系直觀地體現(xiàn)在圖形上.使復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)換成簡單的幾何問題，增加了解題的直觀性，可以提高學(xué)生解題效率，提高解題質(zhì)量。

例如，證明■+■>a（a>b>0）。

解析：由題中的a>b>0，以及平方差關(guān)系，容易想到構(gòu)建一個直角三角形ΔABC，令斜邊AB=a，直角邊BC=b，∠C=90°，則有另一條直角AC=■。因為a>b>0，所以2ab-b2>b2。根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，可知■+■>■+b>a，證明完畢。

（四）構(gòu)造情境

在解決高中數(shù)學(xué)問題時，也經(jīng)常根據(jù)對實際問題的理解構(gòu)造出一種真實的情境，并運用所構(gòu)造的情境進行解題。作為一種比較抽象的思維方式，這需要學(xué)生通過日常的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，積累解題經(jīng)驗，強化對基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)和理解，對整個知識體系有較強的觀察力。

例如，已知a，b，c，x均為實數(shù)，且a<b<c，求|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值？

解析：|x-a|所表示的數(shù)學(xué)含義是，在數(shù)軸上，x到a的距離，那么問題所要求解的就是，在數(shù)軸上有a，b，c三個點，再確定一點x，到這三個點的距離之和最小。畫一條數(shù)軸，根據(jù)大小關(guān)系確定a，b，c三點的位置，可以很直觀的看出，只有當(dāng)x與b重合時，距離之和才最小，最小值為c-a。

此外，在解決數(shù)學(xué)問題時，還可以利用構(gòu)造等價命題及實物模型來簡化復(fù)雜問題，降低解題難度。因此在日常學(xué)習(xí)中，應(yīng)該重視構(gòu)造法應(yīng)用，通過靈活應(yīng)用構(gòu)造法，以此提高學(xué)習(xí)效率，提高做題質(zhì)量。

三、結(jié)語

總而言之，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，構(gòu)造法應(yīng)用比較廣泛，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)用較多的一種方法。在日常學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)該重視基礎(chǔ)知識學(xué)習(xí)和積累，根據(jù)問題和學(xué)習(xí)內(nèi)容，可以靈活應(yīng)用解題方法，通過這種方式提高學(xué)習(xí)效率。因此，在日常學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)該重視解題方法應(yīng)用，以此培養(yǎng)自身綜合素質(zhì)，為日后學(xué)習(xí)和發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

參考文獻：

[1]李正臣.高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用構(gòu)造法之實踐[J].科學(xué)大眾（科學(xué)教育），2018，（02）：34.

[2]賈一鳴.構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].學(xué)周刊，2018，（01）：94-95.

（作者簡介：杜昕宸，河北正定中學(xué)，高中學(xué)歷，研究方向：數(shù)學(xué)方向。）