重視培養(yǎng)初中學(xué)生的類比推理能力

李衛(wèi)華

【摘要】類比推理揭示的是A與B如同C與D的命題關(guān)系，在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中發(fā)揮著重要的作用，是學(xué)生學(xué)習(xí)和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的一個(gè)基本方式，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種有效的認(rèn)知策略.初中學(xué)生的類比推理能力需要在數(shù)學(xué)活動(dòng)中形成和發(fā)展，因此，如何通過數(shù)學(xué)課堂教學(xué)來培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力已引起每位數(shù)學(xué)教師的重視.本文結(jié)合實(shí)例說明類比推理的實(shí)質(zhì)，就初中學(xué)生的類比推理能力的培養(yǎng)做一些探討.

【關(guān)鍵詞】類比推理；初中學(xué)生；類比學(xué)習(xí)；類比教學(xué)模式

一、問題的提出

長期以來數(shù)學(xué)教學(xué)注重采用“形式化”的方式，發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力，忽視了合情推理的培養(yǎng)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的狀況并沒有得到多大的改善，教學(xué)效果不盡如人意.歸納推理、類比推理和統(tǒng)計(jì)推理是合情推理的三種重要形式.在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，類比推理往往不被學(xué)生重視，甚至也被教師忽視，許多學(xué)生和教師希望通過做大量的題目來掌握所學(xué)知識(shí)從而提高數(shù)學(xué)成績，然而，數(shù)學(xué)問題浩如煙海，考試時(shí)很難遇到做過的原題，遇到了新題型或只是稍稍變換一下，就不知所措.如何在初中進(jìn)行類比推理能力的培養(yǎng)，使學(xué)生能夠?qū)W得輕松、有效，這是一個(gè)值得研究的現(xiàn)實(shí)問題.

二、類比推理及其重要性

（一）類比推理的內(nèi)涵

類比推理就是根據(jù)一些對(duì)象在某些屬性上相同或相似，從而推出它們?cè)诹硪粚傩陨弦蚕嗤蛳嗨?類比推理也稱作類比法或類推法.類比推理用公式可以表示為：（1）A類對(duì)象具有屬性a，b，c，d；（2）B類對(duì)象具有屬性a′，b′，c′，其中a，b，c分別與a′，b′，c′相同或相似；（3）推出結(jié)論B類對(duì)象（指要研究的對(duì)象）可能具有d′屬性，并且d′與d相同或相似.在類比推理的形式結(jié)構(gòu)中，第一，A事物是我們熟悉的事物，B事物是我們希望說明或深入了解的事物，并且它們?cè)谝恍傩陨暇哂邢嗨菩?；第二，已知A事物的前提與結(jié)論具有真實(shí)的因果聯(lián)系，因此B事物也應(yīng)有相關(guān)的因果聯(lián)系.

（二）類比推理的重要性及其特點(diǎn)

1.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用類比推理，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，有利于解決新問題.首先，數(shù)學(xué)內(nèi)部是互相聯(lián)系的，且各部分之間存在著很多相似性；它與客觀世界的許多事物存在著形式或本質(zhì)上的相似.其次，人們認(rèn)識(shí)新事物的過程本質(zhì)上是一種“同化”過程，也就是新事物納入原有概念框架之中加以消化和理解的過程，人們?cè)诮鉀Q問題時(shí)會(huì)引用存在于長時(shí)記憶中相似問題的策略.教學(xué)中，當(dāng)呈現(xiàn)的新知識(shí)、新問題和原有知識(shí)、信息有相似之處時(shí)，學(xué)生總試圖將新知識(shí)與類似熟悉知識(shí)比較，并用熟悉問題類比新問題，找到解決新問題的方法和構(gòu)建新知識(shí)的框架.因此，重視培養(yǎng)初中學(xué)生類比推理能力是非常必要的.

2.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用類比推理有其顯著特點(diǎn)

① 類比是人們從已經(jīng)掌握了的己知事物的屬性，推測出另一正在被研究的事物的屬性.由于類比推理是把新知識(shí)與原有知識(shí)及生活實(shí)踐相比較，因此，它能使新知識(shí)與學(xué)生的舊知識(shí)及生活經(jīng)驗(yàn)有機(jī)聯(lián)系起來，體現(xiàn)知識(shí)整體性，降低學(xué)習(xí)新知難度，提高課堂教學(xué)效率.如，分式基本性質(zhì)、分式乘除法的教學(xué)可通過分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)、分?jǐn)?shù)乘除法作為類比對(duì)象，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行同化思維，掌握新知，教與學(xué)的效率可得到明顯提高.

② 前提與結(jié)論具有特殊性.類比是從一種己知事物的特殊屬性推測另一事物的特殊屬性，是從個(gè)別到個(gè)別或從特殊到特殊的推理方式，因此，我們這種推理方式的前提與結(jié)論之間必然有一種特殊的線索聯(lián)系，當(dāng)然在類比的過程中其類比指向也不是嚴(yán)格、唯一指定的.如，相似三角形判定定理、性質(zhì)定理與全等三角形判定定理、性質(zhì)定理的類比.相似三角形與全等三角形最重要的聯(lián)系在于全等是相似的一種特殊情況，學(xué)生對(duì)相似三角形與全等三角形的聯(lián)系比較明確后，能比較順利地猜想出相似三角形的判定定理.

③ 或然性.由于類比推理產(chǎn)生于學(xué)習(xí)者個(gè)人的聯(lián)系、猜想，因此，類比推理的條件與結(jié)論之間并不存在一種必然的邏輯關(guān)系，即類比推理出的結(jié)論未必是正確的.類比的結(jié)論的猜測性，不一定可靠，需要證明，但是有發(fā)現(xiàn)功能，原因是對(duì)象之間不僅具有相同性，而且具有差異性.由于類比推理結(jié)論的或然性，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生把或然性的結(jié)論轉(zhuǎn)化為必然的結(jié)果這一過程，是學(xué)生主動(dòng)求知、創(chuàng)新的一個(gè)過程.

三、類比推理的教學(xué)模式

（一）類比推理教學(xué)模式的理論依據(jù)

建構(gòu)主義教學(xué)觀認(rèn)為：教學(xué)內(nèi)容應(yīng)與學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)世界和建構(gòu)活動(dòng)發(fā)生作用；學(xué)生從原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中，組織起相應(yīng)的建構(gòu)原材料，自己去提出問題、選擇方法和探索驗(yàn)證，并去進(jìn)行表達(dá)、交流和修改，從而有效地建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；一個(gè)好的建構(gòu)活動(dòng)應(yīng)建立在問題解決的原則上.

數(shù)學(xué)問題的解決通常是在通過類比、歸納等方法進(jìn)行探測的基礎(chǔ)上，獲得有關(guān)問題的結(jié)論或解決方法的猜想，然后再設(shè)法證明或否定猜想，進(jìn)而達(dá)到解決問題的目的.類比推理的關(guān)鍵是尋找一個(gè)合適的類比對(duì)象，然后進(jìn)行類比.類比是提出假說進(jìn)行猜想的基礎(chǔ)，是各種創(chuàng)造性思維形成的基本要素.通過類比我們可以發(fā)現(xiàn)研究對(duì)象的一些性質(zhì)；如，把數(shù)與代數(shù)式進(jìn)行類比，我們可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式的很多性質(zhì).如，把分式與分?jǐn)?shù)進(jìn)行類比，就可以發(fā)現(xiàn)分式的性質(zhì)；把整數(shù)與整式進(jìn)行類比，就可以發(fā)現(xiàn)整式的性質(zhì).

總而言之，可以說學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為新知識(shí)、新概念的學(xué)習(xí)提供了必要的“認(rèn)知基礎(chǔ)”，而類比法則是通過將新概念、新知識(shí)與熟悉概念的類比，使學(xué)生能更好地去認(rèn)識(shí)、了解新的概念，從而建立起適當(dāng)?shù)男睦肀碚?這種將新舊知識(shí)進(jìn)行類比是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種基本過程，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，構(gòu)建、擴(kuò)充和完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一種基本方法.

（二）類比推理的一般流程.

學(xué)習(xí)都有一定的過程與方法，類比推理也不例外，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，我們?cè)谑褂妙惐韧评頃r(shí)，通常從表層相似關(guān)系出發(fā)，重整走向邏輯相似關(guān)系，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)多個(gè)認(rèn)識(shí)的深化，通常要經(jīng)過如下幾個(gè)相互聯(lián)系的過程.

首先，確立相似的類比問題.根據(jù)所要解決的目標(biāo)問題的性質(zhì)、特征和規(guī)律等信息，尋找一個(gè)與之相似的類比問題.這個(gè)問題必須是學(xué)生熟悉的知識(shí)、實(shí)踐過的經(jīng)驗(yàn)等，它是掌握新知識(shí)的基礎(chǔ).如，學(xué)習(xí)特殊平行四邊形（矩形、菱形、正方形）的性質(zhì)，我們可以以平行四邊形的性質(zhì)為類比問題.這個(gè)過程先可由教師引導(dǎo)啟發(fā)，但隨著學(xué)生對(duì)類比推理這一思維方式的熟悉和知識(shí)、生活經(jīng)驗(yàn)的積累，他們能自覺而恰當(dāng)?shù)卣业教厥馄叫兴倪呅蔚念惐葐栴}.

其次，觀察比較，建立與類比問題的聯(lián)系.如果說類比是通向發(fā)現(xiàn)的階梯，那么細(xì)心的觀察與比較則是基礎(chǔ)，而抓住兩個(gè)問題的相似性與聯(lián)系則是類比順利進(jìn)行的關(guān)鍵所在.特殊平行四邊形（矩形、菱形、正方形）與平行四邊形的最重要聯(lián)系在于矩形、菱形、正方形是平行四邊形的一種特殊情況，通過對(duì)邊、角、對(duì)角線的特殊性的類比，學(xué)生基本上能理解這一點(diǎn).

再次，運(yùn)用類比推理，猜想結(jié)論.把握了類比問題與目標(biāo)問題的聯(lián)系后，可用類比推理的一般形式，引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論，其實(shí)質(zhì)是類比問題的信息向目標(biāo)問題的最直接的遷移.學(xué)習(xí)矩形、菱形、正方形的性質(zhì)，可先復(fù)習(xí)平行四邊形性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生猜想矩形、菱形、正方形的性質(zhì).由于學(xué)生對(duì)特殊平行四邊形（矩形、菱形、正方形）與平行四邊形的聯(lián)系比較明確，都能比較順利地猜想出矩形、菱形、正方形的性質(zhì).這個(gè)結(jié)論是學(xué)生通過自己比較思考發(fā)現(xiàn)的，留給他們的印象比直接由教師給予要深得多，且不知不覺中培養(yǎng)了學(xué)生創(chuàng)新思維能力.學(xué)生為了證明自己猜想的正確性，會(huì)充分調(diào)動(dòng)思維中的積極因素，學(xué)習(xí)效果是十分理想的.

最后，探索“或然”，掌握新知.由于類比推理結(jié)論具有或然性，因此，在得出猜想后要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生用已有知識(shí)來解釋自己的結(jié)論.這樣既培養(yǎng)了思維的創(chuàng)造性、靈活性，又培養(yǎng)了思維的嚴(yán)密性、原則性，同時(shí)鞏固了新知識(shí).在得出矩形、菱形、正方形的性質(zhì)猜想后，讓學(xué)生用已學(xué)過的知識(shí)去證明是十分必要的.當(dāng)然，學(xué)生的有些猜想的解釋，可能會(huì)超出書本或他們現(xiàn)有知識(shí)水平，這正說明了創(chuàng)新思維培養(yǎng)的成功，需要教師合理引導(dǎo)和鼓勵(lì).

四、類比推理的培養(yǎng)途徑

類比是人們從已經(jīng)掌握了的事物屬性出發(fā)，推理正在被研究中的事物的屬性，并做出某種判斷的推理方法.在數(shù)學(xué)中，類比是發(fā)展概念、推導(dǎo)性質(zhì)定理、運(yùn)算的重要手段，也是探索問題、解題的一種重要方法.按照類比對(duì)象的視角不同，類比常分為以下三種類型.

（一）概念——性質(zhì)類比型

概念——性質(zhì)類比型，即數(shù)學(xué)概念的相似得出與概念相關(guān)聯(lián)的性質(zhì)的相似.如果概念相似程度大，則與此相聯(lián)系的性質(zhì)相似程度也大.在推導(dǎo)性質(zhì)教學(xué)中，“分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變”就是由“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母同乘（或除以）一個(gè)不為0的數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變”類比得來.“梯形的中位線性質(zhì)定理”就是由“三角形中位線定理”類比得來.在教學(xué)時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生類比三角形中位線性質(zhì)定理得出，再通過試驗(yàn)驗(yàn)證它正確的可能性，最后師生共同證明.

（二）要素、結(jié)構(gòu)——功能類比型

根據(jù)系統(tǒng)論的知識(shí)可知，決定一個(gè)系統(tǒng)的功能不僅靠要素，更重要的是結(jié)構(gòu).要素結(jié)構(gòu)的相似可推出功能結(jié)論的相似.另外，數(shù)學(xué)同構(gòu)理論也告訴我們，兩個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)如果是同構(gòu)的，其性質(zhì)、功能都有很大相似性.在講有關(guān)運(yùn)算解法教學(xué)時(shí)，“分式的加減乘除運(yùn)算”可由小學(xué)的“分?jǐn)?shù)的加減乘除運(yùn)算”類比得出運(yùn)算法則.在講“一元一次不等式的解法”時(shí)，可通過“一元一次方程的解法”得出其解法步驟.

（三）要素、結(jié)構(gòu)——方法類比型

由類比問題與目標(biāo)問題構(gòu)成要素結(jié)構(gòu)相同，得出具有相同或相似解決方法.對(duì)解題而言，它是一種尋求解題思路、猜測問題答案或結(jié)論的發(fā)現(xiàn)方法.許多數(shù)學(xué)題的解題思路的產(chǎn)生都是一個(gè)類比推理的過程，從條件要達(dá)到結(jié)論的彼岸，如何選擇入口？如何實(shí)現(xiàn)過渡？其表現(xiàn)為善于根據(jù)問題的特征（結(jié)構(gòu)、屬性等），聯(lián)想某一熟悉的問題，依據(jù)它們?cè)谀承┓矫嫦嗨苹蛳嗤?，去推斷解題的方法或思路.

轉(zhuǎn)化類比就是將原命題轉(zhuǎn)化類比為比原命題簡單的問題，以便提供解決思路和方法，最終獲得原命題的解決方案.比如，可先將多元問題轉(zhuǎn)化類比為少元問題，高次問題轉(zhuǎn)化類比為低次問題，普遍問題轉(zhuǎn)化類比為特殊問題，未知問題轉(zhuǎn)化類比為已知問題等.

五、結(jié) 論

類比推理是數(shù)學(xué)中非常重要的推理方法，它對(duì)提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力很有幫助.這是因?yàn)轭惐韧评聿幌駳w納推理那樣局限于同類事物，也不像演繹推理那樣受到一般原理的嚴(yán)格制約.它可以跨越各類事物的界限，進(jìn)行不同事物的類比，既可以比較事物的非本質(zhì)屬性（如形式和研究方法），又可以比較事物的本質(zhì)屬性.從數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)或提出新命題的過程來看，一般是從具體問題或素材出發(fā)，經(jīng)過類比、聯(lián)想、觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納等不同的途徑，形成命題并加以確認(rèn).因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常常運(yùn)用類比推理，抓住其發(fā)生過程、內(nèi)涵、結(jié)構(gòu)、性質(zhì)等方面的相似性來解決問題.在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中，類比推理也是一種被普遍應(yīng)用的方法，這種學(xué)習(xí)方法對(duì)以后繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、提高數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)能力、探索數(shù)學(xué)的奧妙、提高數(shù)學(xué)興趣是十分必要的.

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