旋轉(zhuǎn)體內(nèi)切球問(wèn)題與等體積法

衛(wèi)鋒 付瑞

【摘要】高中階段接觸的簡(jiǎn)單空間幾何體主要包括多面體與旋轉(zhuǎn)體，眾所周知，等體積法V=13Sr是處理多面體內(nèi)切球問(wèn)題的重要方法.而同時(shí)，等體積法也可用于處理某些旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球問(wèn)題.本文詳細(xì)介紹了圓柱、圓錐這兩種轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】旋轉(zhuǎn)體；內(nèi)切球；等體積法問(wèn)題

《教學(xué)研究》2015第23期刊登的《探究多面體的體積、表面積及內(nèi)切球半徑之間的關(guān)系》一文已有探討，本文不再贅述.下面本文探討使用等體積法求解一些特殊旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球問(wèn)題.

以圓柱為例，若圓柱存在內(nèi)切球，記其體積、表面積、內(nèi)切球半徑分別為V，S，r.考慮一正n棱柱使該圓柱為其內(nèi)切圓，即此正n棱柱的上下底面所在平面與圓柱的上下底面所在平面重合，此正n棱柱的側(cè)面與圓柱的側(cè)面相切，如圖1所示，容易知道此時(shí)圓柱的內(nèi)切球也正是該正n棱柱的內(nèi)切球.正n棱柱為多面體，故對(duì)該正n棱柱而言，其表面積Sn、體積Vn及內(nèi)切球半徑r滿足Vn=13Snr.當(dāng)n→+∞時(shí)，Sn→S，Vn→V，從而V=13Sr成立，故可利用等體積法Vn=13Snr處理圓柱的內(nèi)切球問(wèn)題.

對(duì)圓錐而言，其體積、表面積、內(nèi)切球半徑分別為V，S，r也符合等體積法V=13Sr.構(gòu)造一正n棱錐使圓錐為其內(nèi)切圓錐，即正n棱錐與圓錐共頂點(diǎn)，且圓錐的底面圓為正n棱錐底面正n邊形的內(nèi)切圓，如圖2所示.易知圓錐的內(nèi)切球即為所構(gòu)造正n棱錐的內(nèi)切球.由于正n棱錐的內(nèi)切球問(wèn)題符合等體積法Vn=13Snr，當(dāng)n→+∞時(shí)，易知圓錐的內(nèi)切球問(wèn)題也符合等體積法V=13Sr.

對(duì)圓臺(tái)而言，構(gòu)造一正n棱臺(tái)使圓臺(tái)為其內(nèi)切圓臺(tái)，即正n棱臺(tái)的上下底面所在平面與圓臺(tái)的上下底面所在平面重合，且圓臺(tái)的上、下底面圓為正n棱臺(tái)上、下底面變形的內(nèi)切圓，如圖3所示，利用極限的思想同理可知圓臺(tái)的內(nèi)切球問(wèn)題也符合等體積法V=13Sr.

以上說(shuō)明了圓柱、圓錐、圓臺(tái)這三種基本的旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球問(wèn)題都符合等體積法V=13Sr的結(jié)論，說(shuō)明其成立的方法是利用共內(nèi)切球的多面體無(wú)限逼近旋轉(zhuǎn)體，體現(xiàn)了極限的思想，這種思路與我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽“割圓術(shù)”探索圓周率有異曲同工之妙，不禁讓人感嘆數(shù)學(xué)之美妙.

很容易有一個(gè)疑問(wèn)，等體積法V=13Sr求內(nèi)切球半徑是否對(duì)所有旋轉(zhuǎn)體都適用呢？如果不是，適用于哪些旋轉(zhuǎn)體呢？這些旋轉(zhuǎn)體有何共同特點(diǎn)？

圖4

等體積法V=13Sr求內(nèi)切球半徑并非適用于所有旋轉(zhuǎn)體，例如，球缺的內(nèi)切球，用代數(shù)方法容易驗(yàn)證其不符合等體積法V=13Sr，此處略去不表.對(duì)比圓柱、圓錐、圓臺(tái)等旋轉(zhuǎn)體用共內(nèi)切球的多面體無(wú)限逼近的思路加以思考，再考慮到球缺上有且僅有其內(nèi)切球的兩個(gè)切點(diǎn)，顯然球缺無(wú)法用共內(nèi)切球的多面體無(wú)限逼近，從而無(wú)法保證等體積法V=13Sr成立.

最終可得如下結(jié)論：若旋轉(zhuǎn)體有內(nèi)切球，且該旋轉(zhuǎn)體可用共內(nèi)切球的多面體無(wú)限逼近，則此旋轉(zhuǎn)體表面積S、體積V及內(nèi)切球半徑r滿足等體積法V=13Sr.旋轉(zhuǎn)體可用共內(nèi)切球的多面體無(wú)限逼近的一個(gè)必要條件是該旋轉(zhuǎn)體上有其內(nèi)切球的無(wú)窮多個(gè)切點(diǎn).

本文結(jié)論在旋轉(zhuǎn)體內(nèi)切球問(wèn)題中有重要應(yīng)用，例如，《數(shù)學(xué)教學(xué)研究》2004年第6期（總第142期）刊登的《體積與表面積等值的旋轉(zhuǎn)體與內(nèi)切球》一文主要提及四條定理：（1）若旋轉(zhuǎn)體的體積與表面積等值，則其內(nèi)切球半徑必為3；（2）若旋轉(zhuǎn)體的體積與表面積等值，則其內(nèi)切球體積與表面積也等值；（3）若旋轉(zhuǎn)體內(nèi)切球的半徑為3，則該旋轉(zhuǎn)體的體積與表面積等值；（4）若旋轉(zhuǎn)體內(nèi)切球的體積與表面積等值，則該旋轉(zhuǎn)體的體積與表面積也等值.由本文結(jié)論可知上述四條定理顯然成立.

【參考文獻(xiàn)】

[1]沈杰.體積與表面積等值的旋轉(zhuǎn)體與內(nèi)切球[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2004（6）：43-44.

[2]向君.探究多面體的體積、表面積及內(nèi)切球半徑之間的關(guān)系[J].教學(xué)研究，2015（23）：24.