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    淺析定積分微元法中微元的選取

    2022-05-21 05:27:14詹紫浪
    甘肅高師學(xué)報 2022年2期
    關(guān)鍵詞:曲邊旋轉(zhuǎn)體圓臺

    張 銳,詹紫浪

    (1.蘭州城市學(xué)院 信息工程學(xué)院,甘肅蘭州 730070;2.甘肅高師學(xué)報編輯部,甘肅蘭州 730070)

    1 微元法介紹

    微元法是對定積分定義中分割、作積、求和、取極限四個步驟的進(jìn)一步抽象和歸納,是一元函數(shù)微分和積分聯(lián)合應(yīng)用的成功典范,其方法具有一般性.即如果所求量U 符合下列條件[1]:

    (1)U 是一個與變量的變化區(qū)間[a,b]有關(guān)的量;

    (2)U 對于區(qū)間[a,b]有可加性;

    (3)如果能找到U 在[a,b]的任一小區(qū)間[x,x+dx]上的部分量△U 的近似值

    那么,所求量為

    其中dU=f(x)dx 稱為所求量U 的微元.

    注:(1)△U ≈dU=f(x)dx 要求:△U 與微元f(x)dx 之差是dx 的高階無窮小,即

    (2)微元表達(dá)式f(x)dx 中dx 一定是1 次的(否則就不是定積分).

    以上兩點要求在尋找微元時,涉及到(dx)2、(dx)3、…的項完全可以忽略.

    總之,如果△U 與找出的微元f(x)dx 之差是dx的高階無窮小,那么找出的微元就是正確的,否則就不是真正意義上的微元,需要重新尋找.

    下面通過一些不同場合的面積、體積、側(cè)面積的計算進(jìn)行辨析.

    2 平面圖形的面積

    求由直線x=a,x=b,y=0 及連續(xù)曲線y=f(x)≥0圍成的圖形面積S.

    取面積微元dS=f(x)dx,即用高為f(x),寬為dx的矩形面積代替小曲邊梯形的面積[2].

    下面證明小曲邊梯形ABFE 的面積△S 與微元f(x)dx(矩形ACFE 的面積)之差是dx 的高階無窮?。ㄈ鐖D1).

    圖1 曲邊梯形面積、旋轉(zhuǎn)體體積微元示意圖

    如圖1,易見曲邊三角形ACB 的面積小于矩形ACBD 的面積,又f(x)連續(xù),所以

    所以,面積微元dS=f(x)dx 是正確的,所求面積

    以下幾種情況中假定f(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不恒為0,這樣總可以使f(x)在小區(qū)間[x,x+dx]上單調(diào),便于敘述,不妨設(shè)f(x)在區(qū)間[x,x+dx]上遞增、下凸(其余情況證明類似).

    3 旋轉(zhuǎn)體的體積

    (1)求由直線x=a,x=b,y=0 及曲線y=f(x)≥0 圍成的圖形繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積V.

    取體積微元dV=π[f(x)]2dx,即用矩形ACFE 繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的圓柱體的體積近似代替曲邊梯形ABFE 繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積[3].

    下面證明△V 與找出的微元π[f(x)]2dx 之差是dx 的高階無窮小.

    如圖1,易見曲邊梯形ABFE 繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積△V 小于矩形DBFE 繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體體積π[f(x+dx)]2dx.這時

    所以,取體積微元dV=π[f(x)]2dx 是正確的,所求體積為

    (2)求由直線x=a,x=b,y=0 及曲線y=f(x)≥0 圍成的圖形繞y 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積V.

    如圖1,用矩形ACFE 繞y 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的環(huán)形柱體的體積近似代替曲邊梯形ABFE 繞y 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積△V[4],即

    取體積微元dV=2πxf(x)dx,下面證明△V 與找出的微元2πxf(x)dx 之差是dx 的高階無窮小.

    如圖1,由于曲邊梯形ABFE 繞y 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積△V 小于矩形DBFE 繞y 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積,即

    4 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積

    求由直線x=a,x=b,y=0 及曲線y=f(x)≥0 圍成的圖形繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積S.

    如圖2,考慮用矩形ACFE 繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的圓柱體的側(cè)面積2πf(x)dx 作為面積微元代替曲邊梯形ABFE 繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積△S.

    圖2 旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積微元示意圖

    由于曲線段AB 的長度總大于直線段AB 的長度,所以它們各自繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積也有相應(yīng)的大小關(guān)系.而直線段AB 繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的圓臺體的側(cè)面積為

    因此,用2πf(x)dx 作為面積微元是不正確的.

    如圖2,現(xiàn)在用直邊梯形ABFE 繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的圓臺體的側(cè)面積

    代替曲邊梯形ABFE 繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積△S[5].過A 點作曲線y=f(x)的切線AP,過B 點作曲線y=f(x)的切線交AP 于Q(這可以保證Q在曲線弧AB 下方,且在RT△ACB 內(nèi)部)[6].易見,曲線弧AB 旋轉(zhuǎn)所形成的側(cè)面積△S 小于折線AQB 旋轉(zhuǎn)所形成的側(cè)面積.又線段AQ 繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的圓臺體的側(cè)面積小于以AQ 長為母線,以QG長為底面半徑的圓柱體側(cè)面積;線段QB 繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的圓臺體的側(cè)面積小于以QB 長為母線,以BF 長為底面半徑的圓柱體側(cè)面積,即

    因此旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積的微元可取為

    所以旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積

    通過以上例子對定積分的微元法中微元的取法做了詳盡地分析,著重闡述了微元滿足的條件:△U與微元f(x)dx 之差是dx 的高階無窮小,即

    這為建立微元提出了硬性要求.

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